Talföljder och mönster

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är 1,4,7,10,13, 1,\, 4, \, 7, \, 10, \, 13, \ldots

där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.
Begrepp

Mönster

I matematiken beskriver ett mönster en förändring som upprepas. I exemplet visas tändstickor som placerats i tre figurer.

Monster1.svg

Går det att hitta ett mönster? För varje figur läggs det på en triangel. Det måste alltså skapas en ny triangel i nästa figur.

Monster 684685.svg

Antalet stickor ökar med 2, och det mönstret kommer fortsätta för nästkommande figurer. I ord kan antalet stickor i mönstret beskrivas som "ökar med 2 för varje figur". Den första figuren har 3 stickor, den andra 5 osv.

Monster 2.svg

Med mönstret räknar vi ut att fjärde figuren har 9 stickor, den femte har 11, den sjätte har 13 osv. Vi kan beskriva detta med den aritmetiska talföljden

3,5,7,9,11,13, 3,5,7,9,11,13,\ldots
Begrepp

Från mönster till formel

Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, n,n, där nn är positiva heltal 1, 2, 3, 4, osv. Elementen betecknas ana_n och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas a1,a_1, andra a2a_2, tredje a3a_3 osv.

Monstertillformel 1.svg

Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet a1a_1 och steglängden dd mellan elementen.

Dfggdd.svg

Talföljden 3,5,7,9,3, \, 5, \, 7, \, 9, \ldots börjar på a1=3a_1=3 och ökar med 2 för varje element, dvs. d=2.d=2. Talföljden kan då beskrivas med formeln an=3+(n1)2a_n = 3 + (n-1)\cdot 2, som kan förenklas till an=1+2n, a_n=1 + 2n,

om 2:an multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal, an,a_n, i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret n=5n = 5 i formeln får man ut vilket det femte elementet är.
Uppgift

Beräkna det femte elementet i talföljden an=3n1.a_n=3n-1.

Lösning

För att beräkna det femte elementet sätter vi in n=5n=5 i formeln och förenklar HL.

an=3n1a_n=3n-1
a5=351a_{{\color{#0000FF}{5}}}=3\cdot{\color{#0000FF}{5}}-1
a5=151a_5=15-1
a5=14a_5=14

Det femte elementet är 1414.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Ställ upp en formel för talföljden 2,7,13,18,23,2,7,13,18,23,\ldots

Lösning
Skillnaden mellan varje element är 55 vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formelnan=a1+(n1)d a_n=a_1+(n-1)d där a1a_1 är första element, dd är steglängden och nn är platsnumret. Vi sätter in första värdet 2 och steglängden 5 i formeln och förenklar.
an=a1+(n1)da_n=a_1+(n-1)d
a1=2a_1={\color{#0000FF}{2}}, d=5d={\color{#009600}{5}}
an=2+(n1)5a_n={\color{#0000FF}{2}}+(n-1)\cdot {\color{#009600}{5}}
an=2+n515a_n=2+n\cdot5-1\cdot5
an=2+5n5a_n=2+5n-5
an=5n3a_n=5n-3

Talföljdens element kan beräknas med formeln an=5n3.a_n=5n-3.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är talföljderna aritmetiska? Motivera ditt svar.


a

4,9,14,19,24,4, \, 9, \, 14, \, 19, \, 24, \, \ldots

b

2,3,5,8,12,2, \, 3, \, 5, \, 8, \, 12, \, \ldots

c

10,8,6,4,2,10, \, 8, \, 6, \, 4, \, 2, \, \ldots

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur fortsätter talföljden? Ange de fem element som följer efter elementet 13.13. 1,4,7,10,13,... 1, 4, 7, 10, 13, ...

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka är de tre nästkommande talen i talföljden?


a

2,6,10,14,2, \, 6, \, 10, \, 14, \, \ldots

b

118,109,100,91,118, \, 109, \, 100, \, 91, \, \ldots

c

2,3,5,7,11,2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11, \, \ldots

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En aritmetisk talföljd beskrivs med formeln an=6n+5.a_n = 6n + 5. Beräkna de fem första elementen i talföljden.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna det sjunde elementet i talföljden som beskrivs av formeln.

a

an=8n5a_n = 8n - 5

b

an=32n4a_n = 3 \cdot 2^{n-4}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Yngve bildar olika figurer med hjälp av tändstickor. Han har skapat tre redan och tänker fortsätta att bygga fler enligt samma mönster.

Exercise talfoljder 07.svg

Hur många tändstickor innehåller figur 21?21?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Undersök mönstret och ange det tal som är utelämnat. 359152333 3 \quad 5 \quad 9 \quad 15 \quad \fbox{\phantom{23}} \quad 33

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange det femte elementet i talföljderna.


a

an=5n+2a_n=5n+2

b

an=42n3a_n=4\cdot 2^{n-3}

c

an=1n3+3n5a_n=\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3n}{5}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita de tre första figurerna i ett mönster med cirklar som följer formeln 4n3.4n-3.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En talföljd beskrivs med formeln an=6n+5. a_n = 6n + 5. Avgör om talet 371371 är ett element i talföljden.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En pyroman har placerat tändstickor i grupper som nedan. Hen har börjat med tre grupperingar men tänker göra fler.

Exercise546 1.svg


a

Beskriv antalet stickor, an,a_n, i figur n med en formel.

b

Hur många stickor ska placeras i den tionde gruppen?

c

En grupp har 61 tändstickor. Vilken figur i ordningen är det?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En biosalongs tre första rader ser ut som i nedanstående figur. Totalt finns det 15 rader.

Exercise548 1.svg


a

Hur många stolar är det i biosalongens sista rad?

b

Tre par har satt sig i den mittersta raden. Hur många par till kan sätta sig på samma rad?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sara har samlat ett gäng tandpetare i högar enligt formeln 3n2. 3n-2.

a

Ange antalet tandpetare i de tre första högarna.

b

Vad blir formeln om Sara har lagt fem tandpetare i första högen och allt annat är lika?

c

Vad blir formeln om Sara ökar antalet tandpetare med nio per hög och allt annat är lika?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Betrakta nedanstående figurer.

Exercise554 1.svg


a

Ange en formel som beskriver antalet prickar i figur n.n.

b

Finns det en figur med 169 prickar?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En oändlig talföljd beskrivs med formeln an=3n+23. a_n=3n+23.


a

Beskriv talföljden med ord.

b

Vilket platsnummer har elementet 116 i talföljden?

c

Ingår talet 1023 i talföljden?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kalle ser ett par tändsticksfigurer och skriver en talföljd som beskriver vad han ser: 7,5,3,1. 7, \, 5, \, 3, \, 1. Kalle tecknar även en formel som han tror beskriver figurerna: 72n. 7-2n.


a

Tolka talföljden.

b

Är formeln korrekt?

c

Vilka begränsningar har den korrekta formeln?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har följande tre figurer.

Exercise 549 1.svg


a

Hur många bollar finns det i den n:te figuren?

b

Hur många svarta bollar finns det i den n:te figuren?

c

Hur många röda bollar finns det i den n:te figuren?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många blå kvadrater är det i figuren med platsnummer 1284?1284?

Exercise552 1.svg
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många procent av cirklarna är blå i den 25:e figuren?

Exercise553 1.svg
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har två talföljder som beskrivs med formlerna an=5n+2ochbn=3n1. a_n = 5n + 2 \quad\text{och} \quad b_n = 3n - 1. En tredje talföljd beskrivs som cn=anbn. c_n = a_n - b_n.

a

Ange en formel för talföljden cn.c_n.

b

Beräkna c100.c_{100}.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}