Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Talföljder och mönster


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Teori

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är 1,4,7,10,13, 1,\, 4, \, 7, \, 10, \, 13, \ldots

där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.
Begrepp

Mönster

I matematiken beskriver ett mönster en förändring som upprepas. I exemplet visas tändstickor som placerats i tre figurer.

Monster1.svg

Går det att hitta ett mönster? För varje figur läggs det på en triangel. Det måste alltså skapas en ny triangel i nästa figur.

Monster 684685.svg

Antalet stickor ökar med 2, och det mönstret kommer fortsätta för nästkommande figurer. I ord kan antalet stickor i mönstret beskrivas som "ökar med 2 för varje figur". Den första figuren har 3 stickor, den andra 5 osv.

Monster 2.svg

Med mönstret räknar vi ut att fjärde figuren har 9 stickor, den femte har 11, den sjätte har 13 osv. Vi kan beskriva detta med den aritmetiska talföljden

3,5,7,9,11,13, 3,5,7,9,11,13,\ldots
Begrepp

Från mönster till formel

Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, n,n, där nn är positiva heltal 1, 2, 3, 4, osv. Elementen betecknas ana_n och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas a1,a_1, andra a2a_2, tredje a3a_3 osv.

Monstertillformel 1.svg

Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet a1a_1 och steglängden dd mellan elementen.

Dfggdd.svg

Talföljden 3,5,7,9,3, \, 5, \, 7, \, 9, \ldots börjar på a1=3a_1=3 och ökar med 2 för varje element, dvs. d=2.d=2. Talföljden kan då beskrivas med formeln an=3+(n1)2a_n = 3 + (n-1)\cdot 2, som kan förenklas till an=1+2n, a_n=1 + 2n,

om 2:an multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal, an,a_n, i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret n=5n = 5 i formeln får man ut vilket det femte elementet är.
Uppgift

Beräkna det femte elementet i talföljden an=3n1.a_n=3n-1.

Lösning

För att beräkna det femte elementet sätter vi in n=5n=5 i formeln och förenklar HL.

an=3n1a_n=3n-1
a5=351a_{{\color{#0000FF}{5}}}=3\cdot{\color{#0000FF}{5}}-1
a5=151a_5=15-1
a5=14a_5=14

Det femte elementet är 1414.

info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Ställ upp en formel för talföljden 2,7,13,18,23,2,7,13,18,23,\ldots

Lösning
Skillnaden mellan varje element är 55 vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formelnan=a1+(n1)d a_n=a_1+(n-1)d där a1a_1 är första element, dd är steglängden och nn är platsnumret. Vi sätter in första värdet 2 och steglängden 5 i formeln och förenklar.
an=a1+(n1)da_n=a_1+(n-1)d
an=2+(n1)5a_n={\color{#0000FF}{2}}+(n-1)\cdot {\color{#009600}{5}}
an=2+n515a_n=2+n\cdot5-1\cdot5
an=2+5n5a_n=2+5n-5
an=5n3a_n=5n-3

Talföljdens element kan beräknas med formeln an=5n3.a_n=5n-3.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward