System av olikheter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ett system av olikheter är två eller flera olikheter som ska gälla samtidigt. Exempelvis anger följande system av olikheter tre krav som ställs på de två variablerna som ingår, xx och y.y. {y-0.5x+3y>1x0 \begin{cases}y \leq \text{-} 0.5x+3 \\ y > 1 \\ x \geq 0 \end{cases} System av olikheter illustreras ofta grafiskt i ett koordinatsystem, där olikheterna tillsammans definierar det område där alla är uppfyllda samtidigt.

Metod

Rita område utifrån system av olikheter

Enskilda olikheter kan tolkas grafiskt som området över eller under en kurva i ett koordinatsystem. Genom att rita ut dessa områden för alla olikheter i ett system av olikheter kan man hitta det område som uppfyller alla samtidigt. Exempelvis kan man rita och markera området som representeras av {x+y<7x+2y<10x2y1 \begin{cases}x+y<7 \\ x+2y<10 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} med denna metod.

1

Lös ut yy ur alla olikheter där det går

För att enklare kunna rita olikheterna löser man ut yy ur de olikheter där det är möjligt. Den tredje olikheten innehåller inget yy så den låter man vara.

{x+y<7(I)x+2y<10(II)x2(III)y1(IV)\begin{cases}x+y<7 & \, \, \, \, \text {(I)}\\ x+2y<10 & \, \, \, \text {(II)}\\ x \geq 2 & \, \, \text {(III)}\\ y \geq 1 & \, \, \text {(IV)}\end{cases}
{y<-x+72y<-x+10x2y1\begin{cases}y<\text{-} x + 7 \\ 2y<\text{-} x + 10 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}
{y<-x+7y<-0.5x+5x2y1\begin{cases}y<\text{-} x + 7 \\ y<\text{-} 0.5x + 5 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}

2

Rita olikheterna i ett koordinatsystem

För att rita en olikhet börjar man med randen. Om det är en strikt olikhet ritas en streckad linje och annars är den heldragen. Beroende på vilken sorts olikhet det är markerar man sedan området på ena eller andra sidan om linjen. I det här fallet kan man exempelvis börja med den tredje olikheten, som anger att xx ska vara större än eller lika med 2,2, vilket motsvaras av området till höger om x=2.x=2.

Enligt den fjärde olikheten ska yy vara större än eller lika med 1,1, vilket man markerar i samma koordinatsystem. Det mörkaste området anger då där båda villkoren är uppfyllda.

Olikheten y<-x+7y<\text{-} x + 7 tolkas som området där yy är mindre än värdet på y=-x+7y=\text{-} x + 7 för ett visst x.x. Man börjar alltså med att rita ut linjen y=-x+7y = \text{-} x + 7 och markerar sedan området under denna. Eftersom olikheten är strikt ritas linjen streckad.

På motsvarande sätt tolkas olikheten y<-0.5x+5y<\text{-} 0.5x + 5 som området under den räta linjen y=-0.5x+5.y=\text{-} 0.5x + 5. Även detta område markeras i koordinatsystemet.

Det går även att genomföra det här steget genom att rita in olikheterna på en räknare.

3

Markera området som uppfyller alla olikheter

När alla olikheter är markerade har man hittat det område som uppfyller alla samtidigt. Det är det mörkaste området, dvs. området i figuren nedan.

För att rita en olikhet på räknare börjar man på samma sätt som när man ritar en graf på räknare. Vill man t.ex. rita olikheten y-x+5y \leq \text{-} x+5 trycker man på knappen Y= och skriver in -x+5.\text{-} x+5.

Fönster med funktioner

Därefter använder man vänsterpilen för att markera ikonen som står före Y1._1. Med ENTER-knappen kan man bläddra mellan olika alternativ.

välja skuggning på olikhet

Om man har en "mindre än"-olikhet väljer man ikonen som visar skugga under graf, har man en "större än"-olikhet väljer man den som visar skugga över graf.

Fönster med funktioner

För att rita upp olikheten trycker man på GRAPH. Om den inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf
Digitala verktyg

Rita system av olikheter

Om man vill rita ett system av olikheter går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader.

TI-räknare med funktionsuttryck

Trycker man nu på GRAPH kommer alla olikheter man skrivit in att ritas upp, och områdena kommer att markeras med olika typer av mönster. Det område som har alla mönster är det där alla olikheter gäller samtidigt.

Fönster med en graf
Uppgift


Ange ett system av olikheter som beskriver det markerade området.

Lösning

För att bestämma de olikheter som tillsammans beskriver området börjar vi med att undersöka vilka linjer som ramar in det. Vi ser att randen på området består av en vertikal linje längs yy-axeln, en horisontell linje samt en rät linje med negativ lutning.

Den streckade horisontella linjen kan beskrivas med ekvationen y=-2,y=\text{-}2, och den vertikala linjen ligger på x=0.x=0. För linjen med negativ lutning kan vi läsa av mm-värdet som 55 och kk-värdet som -2,\text{-}2, vilket ger ekvationen y=-2x+5.y=\text{-}2x+5.

Genom att undersöka på vilken sida om linjerna som området ligger kan vi nu avgöra olikheterna. Vi ser att det sökta området ligger på och under linjen y=-2x+5,y=\text{-} 2x+5, vilket innebär att första olikheten blir y-2x+5. y \leq \text{-} 2x+5. Vidare så ligger området till höger om linjen x=0,x=0, dvs. området motsvarar xx-värden som är större än eller lika med 00 vilket ger oss olikheten x0. x \geq 0. Slutligen ligger området ovanför, men inte på, linjen y=-2.y=\text{-} 2. Den streckade linjen innebär alltså att det är en strikt olikhet: y>-2. y > \text{-}2. Dessa tre olikheter beskriver tillsammans området i figuren, så det system av olikheter vi söker är alltså {y-2x+5x0y>-2. \begin{cases}y \leq \text{-}2x+5 \\ x \geq 0 \\ y > \text{-}2. \end{cases}

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita områdena som följande olikheter beskriver.

a

x>2x>2

b

y-1y\geq \text{-} 1

c

y<-3x+2y<\text{-} 3x+2

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken olikhet beskriver det markerade området?

a
b
c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa ett system av olikheter som beskriver det markerade området i koordinatsystemet.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller följande system av olikheter.

a

{x2y>5\begin{cases}x\geq 2 \\ y>5 \end{cases}

b

{x2y<3x>-3\begin{cases}x\leq 2 \\ y<3 \\ x>\text{-} 3 \end{cases}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Motivera varför de två systemen av olikheter {y-x+4x0y0och{y-x+4yx+5x0y0 \begin{cases}y \leq \text{-} x + 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \quad \text{och} \quad \begin{cases}y \leq \text{-} x + 4 \\ y \leq x + 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} definierar samma område.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Markera i ett koordinatsystem det område som uppfyller följande system av olikheter. {yx2xyy+x<3\begin{cases}y\geq x \\ 2x\leq y \\ y+x < 3 \end{cases}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör vilka av punkterna (0,0),(0,0), (4,-1),(4,\text{-}1), (-1,3)(\text{-}1,3) och (3,-1)(3, \text{-}1) som ingår i området definierat av olikheten 9y+3>157x. 9y + 3 > 15 - 7x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa ett system av olikheter som beskriver det markerade området i koordinatsystemet.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En triangel har sina hörn i punkterna (-1,3),(\text{-}1, 3), (4,0)(4,0) och (4,7).(4, 7). Bestäm det system av olikheter som beskriver triangelns yta och rand.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett område definieras av följande system av olikheter. {yxy-0.5xy0.34375x+2.3625 \begin{cases}y \geq x \\ y \geq \text{-}0.5x \\ y \leq 0.34375x + 2.3625 \end{cases} Vad är de högsta och lägsta värdena för xx respektive yy inom området?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}