Slumpförsök i flera steg

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.
Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Bowl with red and purple marble.svg

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då 00: P(lila, om 1:a lila)=0. P(\text{lila, om 1:a lila})=0.

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.
Uppgift

Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?

Lösning

Vi går igenom situationerna, en i taget.

Exempel

Dragning ur kortlek utan återläggning


En kortlek består av 5252 kort varav 44 är ess, så sannolikheten att dra ett ess är 452.\frac{4}{52}. Drar man ett nytt kort finns det dock bara 5151 kort kvar i kortleken, och bara 33 av dessa är ess. Sannolikheten att få ett ess när man drar det andra kortet är då 351.\frac{3}{51}. Sannolikheten för att få ess i andra dragningen påverkas alltså av resultatet från den första, vilket innebär att händelserna måste vara beroende.

Exempel

Tärningskast

När man slår en tärning är sannolikheten 16\frac{1}{6} att tärningen visar en 11:a. När tärningen slås andra gången har antalet sidor inte förändrats och det är fortfarande bara en av dem som har en 11:a. Det första kastet påverkar alltså inte sannolikheten för att få en 11:a i andra kastet och då är de två händelserna oberoende.

Exempel

Trisslott

Ett typiskt lotteri består av ett stort antal lotter där en mindre andel av dessa är vinstlotter. Skrapar man en lott som ger vinst finns det en vinstlott färre i lotteriet. Att skrapa en vinstlott påverkar alltså både antalet lotter i lotteriet och även antalet lotter som är vinstlotter. Att få vinst på två trisslotter är därför beroende händelser.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse AA och B,B, från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A och B)=P(A)P(B)P(A \text{ och } B) = P(A) \cdot P(B)

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

  • krona i båda kasten
  • klave i båda kasten
  • först krona och sedan klave
  • först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

Sannolikhet for flera slumpforsok 2.svg

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4. P(Kr, Kr)=14. P(\text{Kr, Kr}) = \frac{1}{4}. Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet. P(Kr, Kr)=P(Kr)P(Kr)=1212=14. P(\text{Kr, Kr}) = P(\text{Kr}) \cdot P(\text{Kr}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.

Uppgift

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Lösning

I en kortlek finns det 5252 kort med 1313 av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är P(Spader)=1352. P(\text{Spader}) = \frac{13}{52}. Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt 5151 kort kvar varav 1212 är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader P(Spader, om 1:a spader)=1251. P(\text{Spader, om 1:a spader}) = \frac{12}{51}. Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

13521251\dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51}
13125251\dfrac{13\cdot12}{52\cdot51}
12451\dfrac{12}{4\cdot51}
351\dfrac{3}{51}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså 351\frac{3}{51}.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Du singlar en slant två gånger och låter AA vara händelsen att få en klave i första kastet och BB vara händelsen att få en klave i andra kastet. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

b

Du drar två strumpor ur en byrålåda som är full av svarta och vita strumpor utan att lägga tillbaka dem. AA är händelsen att dra en svart strumpa första gången och BB är händelsen att dra en svart strumpa andra gången. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

c

Låt AA vara händelsen att en aktie ökar i värde en dag och BB vara händelsen att aktien ökar dagen efter. Är AA och BB beroende eller oberoende händelser?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fotbollsspelare ska skjuta två straffar. Spelarens målhistorik visar att han brukar sätta 8 av 10 straffar. Hur sannolikt är det att han missar två straffar i rad om man utgår från målstatistiken?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är sannolikheten att få tre klavar när en slant singlas tre gånger? Svara i procent.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en fruktskål finns det fyra apelsiner och sju äpplen. Mustafa tar först slumpmässigt en frukt ur skålen och sedan tar Leila en frukt slumpmässigt. Vad är sannolikheten att Leila tar ett äpple om Mustafa tar

a

en apelsin?

b

ett äpple?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På vägen hem passerar Bosse tre trafikljus, och baserat på tidigare erfarenhet vet han att sannolikheten att det kommer att vara grönt när han kommer fram till det första är 35%35\, \%, 60%60\, \% för det andra och 45%45\, \% för det tredje. Vad är sannolikheten att Bosse får grönt ljus hela vägen hem? Avrunda till hela procent.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kaj ska fria till sin flickvän Erika. Han är väldigt nervös och vill känna sig säker på att hon svarar ja innan han frågar henne. Kaj inbillar sig att om han slumpmässigt lyckas dra tre rosor från en vas är det ett starkt tecken på att Erika svarar ja. I vasen med 2424 blommor står det lika många rosor, tulpaner och nejlikor. Vad är sannlikheten att Kaj tar tre rosor från vasen? Avrunda till hela procent.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lyckohjulet ger vinst om det hamnar på ett primtal. Vad är sannolikheten att vinna tre gånger i rad?

Exercise238 1.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vladimir drar ett kort ur en kortlek och lägger undan det utan att titta på det. När han sedan drar ett andra kort är sannolikheten 1351\frac{13}{51} att det är spader och sannolikheten att det är en kung är 351.\frac{3}{51}.

a

Vad kan man säga om första kortets färg, alltså om det är hjärter, spader, ruter eller klöver?

b

Vad kan man säga om första kortets valör?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett tråg ligger det 55 gröna och 55 röda paprikor. Vad är sannolikheten att ta 33 röda paprikor i rad om man målar om de paprikor man tar i den andra färgen och sedan lägger tillbaka i tråget?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Georgina och Trevor ska blåsa upp ballonger och tar dem från en påse som innehåller 5050 guldfärgade och 5050 turkosa ballonger. Georgina drar först en slumpvis vald ballong och blåser upp den. Trevor tar sedan en ballong av den andra färgen och blåser upp den.

a

Är att Georgina drar en turkos ballong och att Trevor drar en guldfärgad ballong beroende händelser? Motivera.

b

Efter att Trevor har blåst upp sin ballong drar Georgina ytterligare en slumpvis vald ballong. Är att Georgina först drar en turkos ballong och sedan drar en till turkos ballong beroende händelser? Motivera.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De gröna fälten i nedanstående lyckohjul ger vinst.

Exercise239 123.svg

Vinklarna vv är lika stora. Vilken vinkel bör vv vara om sannolikheten för två vinster i rad ska vara 1 %?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tina suckar och säger till sin arbetskollega Henrik att sannolikheten att hennes favoritlag förlorar en match är ca 60 %. Hon fortsätter klaga och säger att av de matcher som laget inte förlorar är sannolikheten att de spelar oavgjort 70 %. Uppskatta hur många matcher laget måste spela för att komma upp i 100 vunna matcher om de fortsätter spela på samma sätt.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oleg har två lika stora rulltårtor: en med smak av hallon och en med smak av fläder. Han placerar dessa ände till ände och sätter slumpvis ner sin hand någonstans längs med deras kombinerade längd. Den rulltårta han petar på äter han upp hälften av. Han lägger tillbaka det som blir kvar och väljer tårta igen på samma sätt. Vad är sannolikheten att Oleg får äta två bitar hallonrulltårta? Svara i hela procent.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}