Slumpförsök i flera steg

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.
Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Bowl with red and purple marble.svg

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då 00: P(lila, om 1:a lila)=0. P(\text{lila, om 1:a lila})=0.

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.
Uppgift

Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?

Lösning

Vi går igenom situationerna, en i taget.

Exempel

Dragning ur kortlek utan återläggning


En kortlek består av 5252 kort varav 44 är ess, så sannolikheten att dra ett ess är 452.\frac{4}{52}. Drar man ett nytt kort finns det dock bara 5151 kort kvar i kortleken, och bara 33 av dessa är ess. Sannolikheten att få ett ess när man drar det andra kortet är då 351.\frac{3}{51}. Sannolikheten för att få ess i andra dragningen påverkas alltså av resultatet från den första, vilket innebär att händelserna måste vara beroende.

Exempel

Tärningskast

När man slår en tärning är sannolikheten 16\frac{1}{6} att tärningen visar en 11:a. När tärningen slås andra gången har antalet sidor inte förändrats och det är fortfarande bara en av dem som har en 11:a. Det första kastet påverkar alltså inte sannolikheten för att få en 11:a i andra kastet och då är de två händelserna oberoende.

Exempel

Trisslott

Ett typiskt lotteri består av ett stort antal lotter där en mindre andel av dessa är vinstlotter. Skrapar man en lott som ger vinst finns det en vinstlott färre i lotteriet. Att skrapa en vinstlott påverkar alltså både antalet lotter i lotteriet och även antalet lotter som är vinstlotter. Att få vinst på två trisslotter är därför beroende händelser.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse AA och B,B, från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel

P(A och B)=P(A)P(B)P(A \text{ och } B) = P(A) \cdot P(B)

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

  • krona i båda kasten
  • klave i båda kasten
  • först krona och sedan klave
  • först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

Sannolikhet for flera slumpforsok 2.svg

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4. P(Kr, Kr)=14. P(\text{Kr, Kr}) = \frac{1}{4}. Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet. P(Kr, Kr)=P(Kr)P(Kr)=1212=14. P(\text{Kr, Kr}) = P(\text{Kr}) \cdot P(\text{Kr}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.

Uppgift

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Lösning

I en kortlek finns det 5252 kort med 1313 av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är P(Spader)=1352. P(\text{Spader}) = \frac{13}{52}. Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt 5151 kort kvar varav 1212 är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader P(Spader, om 1:a spader)=1251. P(\text{Spader, om 1:a spader}) = \frac{12}{51}. Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

13521251\dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51}
13125251\dfrac{13\cdot12}{52\cdot51}
12451\dfrac{12}{4\cdot51}
351\dfrac{3}{51}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså 351\frac{3}{51}.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}