body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Asymptoter är ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort, vilket t.ex. derivatans nollställen inte gör.

Metod

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Med hjälp av en funktions derivata samt eventuella asymptoter kan man få en relativt tydlig bild av hur grafen till en funktion ser ut. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen

f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}

med dessa verktyg.

Derivera funktionen och bestäm dess stationära punkter

Till att börja med avgör man var funktionen har stationära punkter. Dessa finns där derivatan är

0

så funktionen deriveras.

f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (\frac{x ^{2} + x}{x - 1})

DeriveQuot

$D (\frac{f}{g}) = \frac{D ( f ) \cdot g - f \cdot D ( g )}{g ^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{D ( x ^{2} + x ) \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} + x ) \cdot D ( x - 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}

Derivera

DeriveSum

Derivera term för term

f^{'} (x) = \frac{( D ( x ^{2} ) + D ( x ) ) \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} + x ) \cdot ( D ( x ) - D ( 1 ) )}{( x - 1 ) ^{2}}

DeriveX

$D (x) = 1$ , $D (a) = 0$

f^{'} (x) = \frac{( D ( x ^{2} ) + 1 ) \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} + x )}{( x - 1 ) ^{2}}

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 1 ) \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} + x )}{( x - 1 ) ^{2}}

Förenkla

ExpandPar

Multiplicera parenteser

f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - 2 x + x - 1 - ( x ^{2} + x )}{( x - 1 ) ^{2}}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - 2 x + x - 1 - x ^{2} - x}{( x - 1 ) ^{2}}

SimpTerms

Förenkla termer

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

För att hitta

x

-värdena i de stationära punkterna sätter man derivatan lika med

0

och löser ekvationen. I exemplet sker detta bara då täljaren antar värdet

0

x^{2} - 2 x - 1 = 0

Lös med

p q

-formeln

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 2, q = - 1$

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - (- 1)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 1) \pm (- 1)^{2} - (- 1)

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 1 \pm (- 1)^{2} - (- 1)

CalcPow

Beräkna potens

x = 1 \pm 1 - (- 1)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = 1 \pm 2

Funktionen har alltså stationära punkter där

x = 1 - 2 \approx - 0.4

och

x = 1 + 2 \approx 2.4 .

Punkternas

y -

värden hittar man genom att sätta in

x -

värdena i funktionsuttrycket. Eftersom man bara ska skissa grafen behöver koordinaterna inte vara exakta, utan det går bra att använda de avrundade värdena

- 0.4

respektive

2.4 .

f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}

$x \approx - 0.4$

f (- 0.4) \approx \frac{( - 0 . 4 ) ^{2} + ( - 0 . 4 )}{- 0 . 4 - 1}

UseCalc

Slå in på räknare

f (- 0.4) \approx 0.17142 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

f (- 0.4) \approx 0.2

Koordinaterna för funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär

(- 0.4, 0.2) .

f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}

$x \approx 2.4$

f (2.4) \approx \frac{( 2 . 4 ) ^{2} + 2 . 4}{2 . 4 - 1}

UseCalc

Slå in på räknare

f (2.4) \approx 5.82857 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

f (2.4) \approx 5.8

Koordinaterna för den andra stationära punkten är ungefär

(2.4, 5.8) .

Bestäm de stationära punkternas karaktär och markera dem i ett koordinatsystem

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}})

DeriveQuot

$D (\frac{f}{g}) = \frac{D ( f ) \cdot g - f \cdot D ( g )}{g ^{2}}$

f^{''} (x) = \frac{D ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot D ( ( x - 1 ) ^{2} )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

Derivera

DeriveSum

Derivera term för term

f^{''} (x) = \frac{( D ( x ^{2} ) - D ( 2 x ) - D ( 1 ) ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot D ( ( x - 1 ) ^{2} )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

DeriveXCo

$D (a x) = a$ , $D (a) = 0$

f^{''} (x) = \frac{( D ( x ^{2} ) - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot D ( ( x - 1 ) ^{2} )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot D ( ( x - 1 ) ^{2} )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

DeriveMonomChain

$D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot 2 ( x - 1 ) \cdot D ( x - 1 )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

DeriveSum

Derivera term för term

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot 2 ( x - 1 ) \cdot ( D ( x ) - D ( 1 ) ) )}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

DeriveX

$D (x) = 1$ , $D (a) = 0$

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot 2 ( x - 1 ) \cdot 1}{( ( x - 1 ) ^{2} ) ^{2}}

Förenkla

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot 2 ( x - 1 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{4}}

ReduceFrac

Förkorta med $(x - 1)$

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} - 2 x - 1 ) \cdot 2 \cdot 1}{( x - 1 ) ^{3}}

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (x) = \frac{( 2 x - 2 ) \cdot ( x - 1 ) - 2 ( x ^{2} - 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{3}}

FactorOut

Bryt ut $2$

f^{''} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) \cdot ( x - 1 ) - 2 ( x ^{2} - 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{3}}

ProdToPowTwoFac

$a \cdot a = a^{2}$

f^{''} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ^{2} - 2 ( x ^{2} - 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{3}}

När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas $x -$ värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade $x -$ värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.

f^{''} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ^{2} - 2 ( x ^{2} - 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{3}}

Substitute

$x = 1 - 2$

f^{''} (1 - 2) = \frac{2 ( 1 - 2 - 1 ) ^{2} - 2 ( ( 1 - 2 ) ^{2} - 2 ( 1 - 2 ) - 1 )}{( 1 - 2 - 1 ) ^{3}}

UseCalc

Slå in på räknare

f^{''} (1 - 2) = - 1.41421 \dots

Andraderivatan då $x = 1 - 2$ är negativ, så det finns en maximipunkt där.

f^{''} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ^{2} - 2 ( x ^{2} - 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{3}}

Substitute

$x = 1 - 2$

f^{''} (1 + 2) = \frac{2 ( 1 + 2 - 1 ) ^{2} - 2 ( ( 1 + 2 ) ^{2} - 2 ( 1 + 2 ) - 1 )}{( 1 + 2 - 1 ) ^{3}}

UseCalc

Slå in på räknare

f^{''} (1 + 2) = 1.41421 \dots

När $x = 1 + 2$ är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna $(- 0.4, 0.2)$ och $(2.4, 5.8)$ som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.

Bestäm och markera eventuella vertikala asymptoter

Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är $f (x)$ en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då $x = 1 .$ När $x$ går mot $1$ går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten $x = 1 .$ Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in $x -$ värden närmare och närmare $1$ i funktionsuttrycket.

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$1.0001$	$\to 1^{+}$
$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$23.1$	$203.01$	$2003.001$	$20003.0001$	$\to \infty$

Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.

Bestäm och markera eventuella sneda asymptoter

Man avgör om en funktion har en sned asymptot genom att först beräkna gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} .

Om gränsvärdet existerar motsvarar det en eventuell asymptots

k -

värde.

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x}{x - 1} / x

DivFracSL

$\frac{a}{b} / c = \frac{a}{b \cdot c}$

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x}{x ( x - 1 )}

ReduceFrac

Förkorta med $x$

x \to \infty lim \frac{x + 1}{x - 1}

Man undersökar ofta vad som händer med en gränsvärdeskvot när

x

går mot oändligheten genom att förkorta med termen av högst grad. Här ska alltså bråket förkortas med

x .

x \to \infty lim \frac{x + 1}{x - 1}

ReduceFrac

Förkorta med $x$

x \to \infty lim \frac{( x + 1 ) / x}{( x - 1 ) / x}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

När

x

nu går mot oändligheten kommer bråken med

x

i nämnaren gå mot

0 .

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

$x \to \infty$

\frac{1 + 0}{1 - 0}

AddSubTerms

Förenkla termer

\frac{1}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

1

Om funktionen har en sned asymptot är dess

k -

värde

1 .

Man beräknar nu gränsvärdet

x \to \infty lim (f (x) - k x) .

Om det existerar är det asymptotens

m -

värde.

x \to \infty lim (f (x) - k x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x \to \infty lim (\frac{x ^{2} + x}{x - 1} - 1 \cdot x)

Beräkna gränsvärde

MultByOne

$a \cdot 1 = a$

x \to \infty lim (\frac{x ^{2} + x}{x - 1} - x)

NumberToFrac

$a = \frac{( x - 1 ) \cdot a}{( x - 1 )}$

x \to \infty lim (\frac{x ^{2} + x}{x - 1} - \frac{x ( x - 1 )}{x - 1})

SubFrac

Subtrahera bråk

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x - x ( x - 1 )}{x - 1}

Distr

Multiplicera in $x$

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x - ( x ^{2} - x )}{x - 1}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x - x ^{2} + x}{x - 1}

SimpTerms

Förenkla termer

x \to \infty lim \frac{2 x}{x - 1}

ReduceFrac

Förkorta med $x$

x \to \infty lim \frac{2 x / x}{( 1 - x ) / x}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{2 x / x}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{2}{1 - \frac{1}{x}}

ToInfty

$x \to \infty$

\frac{2}{1 - 0}

SubTerm

Förenkla termer

\frac{2}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

2

Funktionens sneda asymptot är alltså den räta linjen

y = x + 2 .

Även denna markeras i koordinatsystemet.

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några $x -$ värden omkring extrempunkterna.

$x$	$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$f (x)$
$- 2$	$\frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 2 )}{- 2 - 1}$	$\sim - 0.67$
$0.5$	$\frac{0 . 5 ^{2} + 0 . 5}{0 . 5 - 1}$	$- 1.5$
$1.5$	$\frac{1 . 5 ^{2} + 1 . 5}{1 . 5 - 1}$	$7.5$
$4$	$\frac{4 ^{2} + 4}{4 - 1}$	$\sim 6.67$

När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.

Skissa grafen

Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till $f (x) = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}$ ser alltså ut på följande vis.

Det här är bra riktlinjer när man ska skissa grafer. I vissa fall kan det dock vara lämpligt att göra dessa steg i en annan ordning.

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Metod

Skissa en graf med derivata och asymptoter