body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 3c /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

$\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}$

$A$ , $B$ och $C$ är triangelns vinklar medan $a$ , $b$ och $c$ är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ}

finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )} = \frac{c}{sin ( C )},

vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna

b

och

c

blir

A

mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas

Area = \frac{b c sin ( A )}{2} .

Utgår man istället ifrån vinkel

B

respektive

C

får man två nya samband som beskriver samma area:

Area = \frac{a c sin ( B )}{2} och Area = \frac{a b sin ( C )}{2} .

Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.

\frac{b c sin ( A )}{2} = \frac{a c sin ( B )}{2} = \frac{a b sin ( C )}{2}

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

b c sin (A) = a c sin (B) = a b sin (C)

DivEqn

$VL / a b c = HL / a b c$

\frac{b c sin ( A )}{a b c} = \frac{a c sin ( B )}{a b c} = \frac{a b sin ( C )}{a b c}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}

Detta är alltså sinussatsen.

Q.E.D.

Bestäm sidan med sinussatsen

fullscreen

Bestäm sidan $x .$ Avrunda till en decimal.

Visa Lösning

Enligt sinussatsen gäller sambandet

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )} = \frac{c}{sin ( C )},

där

A,

B

och

C

är vinklar och

a,

b

och

c

är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till

x

med hjälp av triangelns vinkelsumma:

18 0^{\circ} - 7 9^{\circ} - 4 1^{\circ} = 6 0^{\circ} .

Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln.

Vi sätter in värden på vinklar och sidor i sinussatsen och löser ut

x .

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )}

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{x}{sin ( 6 0 ^{\circ} )} = \frac{1 . 7}{sin ( 7 9 ^{\circ} )}

MultEqn

$VL \cdot sin (6 0^{\circ}) = HL \cdot sin (6 0^{\circ})$

x = \frac{1 . 7}{sin ( 7 9 ^{\circ} )} \cdot sin (6 0^{\circ})

UseCalc

Slå in på räknare

x = 1.49979 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx 1.5

Sidan

x

är alltså ca

1.5

le.

Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna $X$ och $Y$ i triangeln $X Y Z$ när man vet att motstående sida till $X$ är $x = 10$ mm och att $Z = 3 0^{\circ}$ är motstående vinkel till sidan $z = 7$ mm.

Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen

Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna

x

och

z

samt vinkeln

Z .

Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen:

\frac{sin ( X )}{1 0} = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7} .

Lös ut den okända vinkeln

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

\frac{sin ( X )}{1 0} = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7}

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

sin (X) = \frac{1 0 sin ( 3 0 ^{\circ} )}{7}

Sin

sin (X) = \frac{1 0 \cdot \frac{1}{2}}{7}

Multiply

Multiplicera faktorer

sin (X) = \frac{5}{7}

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

X = arcsin (\frac{5}{7})

UseCalc

Slå in på räknare

X = 45.58469 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

X \approx 4 6^{\circ}

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: $X \approx 4 6^{\circ} .$ Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, $Y,$ är $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 10 4^{\circ} .$

Bestäm vinkeln

18 0^{\circ} - v

Mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ}

finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är

18 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 13 4^{\circ} .

Både

X = 4 6^{\circ}

och

X = 13 4^{\circ}

är alltså lösningar på ekvationen

\frac{s i n ( X )}{1 0} = \frac{s i n ( 3 0 ^{\circ} )}{7} .

Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln

X

är

13 4^{\circ}

. Vi kontrollerar detta geometriskt.

Är vinkeln

18 0^{\circ} - v

rimlig?

För att undersöka om

13 4^{\circ}

är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av

13 4^{\circ}

och

3 0^{\circ}

är mindre än triangelns vinkelsumma:

13 4^{\circ} + 3 0^{\circ} = 16 4^{\circ} .

Eftersom summan av vinklarna är mindre än

18 0^{\circ}

finns det "grader över" till triangelns sista vinkel,

Y = 18 0^{\circ} - 16 4^{\circ} = 1 6^{\circ} .

Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än

18 0^{\circ}

skulle det inte gå att bilda en triangel där

X = 13 4^{\circ}

och

Y = 1 6^{\circ} .

Då hade triangeln där

X = 4 6^{\circ}

och

Y = 10 4^{\circ}

varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar:

X = 4 6^{\circ} X = 13 4^{\circ} och Y = 10 4^{\circ} eller och Y = 1 6^{\circ} .

Bestäm vinkeln med sinussatsen

fullscreen

I triangeln

A B C

är

A

är motstående vinkel till sida

a,

att

B

är motstående vinkel till sida

b,

osv. Bestäm vinkel

A

givet att

a = 5, b = 8 och B = 9 9^{\circ} .

Avrunda

A

till närmaste heltal.

Visa Lösning

Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen.

\frac{sin ( A )}{5} = \frac{sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel

A .

\frac{sin ( A )}{5} = \frac{sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

MultEqn

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

sin (A) = \frac{5 sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8}

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

A = arcsin (\frac{5 sin ( 9 9 ^{\circ} )}{8})

UseCalc

Slå in på räknare

A = 38.11961 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

A \approx 3 8^{\circ}

Ett värde på

A

är alltså

3 8^{\circ} .

Vi undersöker nu om vinkeln

18 0^{\circ} - A,

dvs.

18 0^{\circ} - 3 8^{\circ} = 14 2^{\circ},

också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln,

9 9^{\circ}

14 2^{\circ} + 9 9^{\circ} = 24 1^{\circ} .

Summan överstiger triangelns vinkelsumma på

18 0^{\circ} .

Då kan vinkel

A

inte vara

14 2^{\circ},

utan det enda rimliga svaret är

3 8^{\circ} .

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Bevis

Exempel

Bestäm sidan med sinussatsen

Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

Exempel

Bestäm vinkeln med sinussatsen