{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Egenskaper hos funktioner

Välj kurs
Matte 4
Egenskaper hos funktioner
Sinus- och cosinuskurvor

Sinus- och cosinuskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Sinus- och cosinusfunktioner

Sinus och cosinus har flera tolkningar, bl.a. som sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. Eftersom man för varje vinkel får ut exakt ett värde är sinus och cosinus även matematiska funktioner: y=sin⁡(x)ochy=cos⁡(x). y=\sin(x) \quad \text{och} \quad y=\cos(x).

Man kan beräkna sinus- och cosinusvärden för alla x,x, så definitionsmängden för dessa funktioner är alla reella tal. Värdemängden för både sin⁡(x)\sin(x) och cos⁡(x)\cos(x) är -1≤y≤1\text{-}1 \leq y \leq1, eftersom sinus och cosinus varierar mellan just -1\text{-}1 och 11.
Uppgift

Vattendjupet i en vik påverkas av tidvatten och kan under vissa perioder beskrivas med funktionen d(t)=2cos⁡(πt6)+2d(t) = 2\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 2, där tt är tiden i timmar efter midnatt och dd är vattendjupet i meter. Med hjälp av funktionen, svara på följande frågor.

  • Vad är vattendjupet i viken klockan 55 på eftermiddagen?
  • Vad är det största vattendjupet?
  • När är vattendjupet som störst?
Lösning
Exempel

Vattendjupet klockan 55

För att bestämma djupet vid en viss tidpunkt behöver vi först bestämma hur många timmar det har gått sedan midnatt. Klockan 55 på eftermiddagen har det gått 1717 timmar, så vi söker funktionsvärdet d(17)d(17).
d(t)=2cos⁡(πt6)+2d(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 2
t=17t={\color{#0000FF}{17}}
d(17)=2cos⁡(π⋅176)+2d({\color{#0000FF}{17}}) = 2\cos\left(\dfrac{\pi \cdot {\color{#0000FF}{17}}}{6}\right) + 2
Slå in på räknare
d(17)=0.26794…d(17) = 0.26794\ldots
Avrunda till 22
d(17)≈0.27d(17) \approx 0.27
Vattendjupet är cirka 0.270.27 m klockan 55 på eftermiddagen.
Exempel

Största vattendjupet

Det största vattendjupet, som vi kan kalla dmax,d_{\text{max}}, motsvarar det största värdet på d(t).d(t). Detta får man då cosinusvärdet i funktionsuttrycket är så stort som möjligt, dvs. 1.1. Vi behöver alltså bara sätta in 11 i funktionsuttrycket för att beräkna maxdjupet: dmax=2⋅1+2=4. d_{\text{max}} = 2 \cdot 1 + 2 = 4. Det största vattendjupet är 44 meter.

Exempel

Tidpunkt för största vattendjupet

För att hitta den eller de tidpunkter då vattendjupet är som störst sätter vi funktionen som beskriver vattendjupet, d(t),d(t), lika med 44 och löser ut tt.
2cos⁡(πt6)+2=42\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 2 = 4
Lös ekvationen
VL−2=HL−2\text{VL}-2=\text{HL}-2
2cos⁡(πt6)=22\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 2
VLundefined2=HLundefined2\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.
cos⁡(πt6)=1\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 1
arccos⁡(VL)=arccos⁡(HL)\arccos(\text{VL}) = \arccos(\text{HL})
πt6=±arccos⁡(1)+n⋅2π\dfrac{\pi t}{6} = \pm \arccos(1) + n \cdot 2\pi
πt6=±0+n⋅2π\dfrac{\pi t}{6} = \pm 0 + n \cdot 2\pi
Förenkla termer
πt6=n⋅2π\dfrac{\pi t}{6} = n \cdot 2\pi
VL⋅6=HL⋅6\text{VL} \cdot 6=\text{HL}\cdot 6
πt=n⋅12π\pi t = n \cdot 12\pi
VLundefinedπ=HLundefinedπ\left.\text{VL}\middle/\pi\right.=\left.\text{HL}\middle/\pi\right.
t=n⋅12t = n \cdot 12
Vi vet nu att vattennivån är som störst då t=n⋅12,t = n \cdot 12, där n≥0.n\geq0. Det motsvarar timme 0,0, 12,12, 2424 osv. efter midnatt. Djupet är alltså som störst klockan 1212 på natten och klockan 1212 på dagen.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Sinus- och cosinuskurvor

Att sinus och cosinus är funktioner innebär också att de kan representeras som grafer. Men hur ser de ut? Med en värdetabell kan man bestämma några punkter som grafen till y=sin⁡(x)y=\sin(x) går genom.

Här kan man se att sinusvärdenas variation mellan -1\text{-}1 och 11 skapar ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1\text{-}1 till 00 för att fortsätta stiga upp till 11 och sedan sjunka ner till 00 och -1\text{-}1 igen. Mönstret fortsätter därefter upprepas med perioden 2π2\pi. Själva kurvan kommer att bli en mjuk periodisk vågrörelse.

Sinusfunktioner kan användas för att beskriva många förlopp, bl.a. inom fysiken. Den här typen av svängningar har därför fått ett eget namn, sinusvåg. Att grafen är just vågformad kan man förstå med hjälp av enhetscirkeln. Nedan illustreras hur sinusvärdet för en vinkel xx i enhetscirkeln representeras i ett koordinatsystem.

Med ett liknande resonemang kan man ta reda på hur grafen till cos⁡(x)\cos(x) ser ut. Man inser då att kurvan för cos⁡(x)\cos(x) är identisk med den för sin⁡(x)\sin(x), men förskjuten i x-x\text{-}led.

Metod

Läsa av period

Med hjälp av grafen till en sinus- eller cosinusfunktion kan man bestämma funktionens period. Eftersom en hel våg motsvarar en period kan man bestämma den genom att läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. I följande figur kan man exempelvis se att cosinus har perioden 2π2\pi.

Om det är svårt att läsa av x-x\text{-}värdena i vågornas toppar eller dalar kan man välja andra punkter. För att läsa av en period är det viktiga att man väljer motsvarande punkter på intilliggande vågor.

Ibland är det inte möjligt eller praktiskt att välja punkter med en periods mellanrum — då kan man istället välja punkter med ett större eller mindre avstånd. Så länge man vet precis hur många perioder det är mellan punkterna kan man bestämma funktionens period.
Uppgift

Graferna till två funktioner har ritats i figuren. Bestäm deras perioder.

Lösning

För att bestämma perioden för en funktion kan man t.ex. läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. Vi börjar med den blå grafen, där det finns två toppar men endast en dal. Det är därför lämpligt att undersöka avståndet mellan topparna.

Avståndet mellan dem är 4π,4\pi, vilket innebär att funktionen till den blå grafen har perioden 4π.4\pi. Den röda grafen har gott om både toppar och dalar, men topparna ligger inte på värden som är lätta att läsa av. Vi väljer därför två dalar bredvid varandra och läser av avståndet.

Funktionen till den röda grafen har alltså perioden π2\frac{\pi}{2}.


Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa trigonometriska ekvationer grafiskt

Ibland kan det vara lämpligt att lösa trigonometriska ekvationer grafiskt. Då tolkar man ekvationens led som två funktionsuttryck, där skärningspunkternas xx-värden anger lösningarna. På grund av de trigonometriska funktionernas periodicitet finns det ofta ett oändligt antal skärningspunkter som man måste ta hänsyn till när man anger lösningarna. Exempelvis kan ekvationen 5sin⁡(2x)−3=0 5 \sin(2x) - 3 = 0 lösas grafiskt. Här används en grafräknare för att rita grafer och bestämma skärningspunkter, men det går även bra med andra digitala verktyg som t.ex. Geogebra.

1

Lös ut den trigonometriska termen
Till att börja med löser man ut den trigonometriska termen så att den står ensam i höger- eller vänsterledet.
5sin⁡(2x)−3=05 \sin(2x) - 3 = 0
VL+3=HL+3\text{VL}+3=\text{HL}+3
5sin⁡(2x)=35 \sin(2x) = 3
VLundefined5=HLundefined5\left.\text{VL}\middle/5\right.=\left.\text{HL}\middle/5\right.
sin⁡(2x)=35\sin(2x) = \dfrac{3}{5}

2

Rita graferna till vänster- och högerledet

Man ser sedan höger- och vänsterledet som två olika funktionsuttryck och ritar graferna till dessa. Det kan vara svårt att skissa sinuskurvor för hand, så man bör använda något sorts digitalt verktyg. I det här fallet ger vänsterledet en sinuskurva och högerledet en horisontell linje.

sinuskurva på TI-82-räknare

Eftersom sinusfunktionen som störst blir 11 kan man behöva ändra på yy-axelns skala för att bättre kunna se graferna när man ritar ut dem på en räknare.

3

Bestäm skärningspunkter mellan graferna

Det kan finnas många skärningspunkter mellan graferna, men det räcker oftast att bestämma alla inom en period. På räknare använder man kommandot intersect för att bestämma skärningspunkter.

skärningspunkt med sinuskurva på TI-82-räknare

I det här fallet finns det två skärningspunkter i varje period. I första perioden till höger om yy-axeln kan man hitta lösningarna x≈0.32ochx≈1.25. x\approx0.32\quad\text{och}\quad x\approx1.25. För att underlätta när man ska bestämma den trigonometriska funktionens period är det också bra att bestämma ytterligare en punkt i en intilliggande period.


4

Bestäm den trigonometriska funktionens period

För att kunna ange hela lösningsmängderna måste man bestämma den trigonometriska funktionens period. Det kan man göra genom en direkt avläsning i grafen eller genom att beräkna avståndet mellan två motsvarande skärningspunkter. För exemplet bestäms perioden med hjälp av skärningspunkterna från förra steget: 3.46−0.32=3.14≈π. 3.46 - 0.32 = 3.14 \approx \pi.


5

Ange lösningsmängderna

Till sist bestämmer man alla lösningar till ekvationen genom att lägga till ett helt antal perioder till de lösningar man bestämde i steg 3.3. För exemplet är perioden π,\pi, så lösningsmängderna blir x≈0.32+n⋅πochx≈1.25+n⋅π,\begin{aligned} &x \approx 0.32 + n \cdot \pi\quad\text{och}\\ &x \approx 1.25 + n \cdot \pi, \end{aligned} där nn är ett heltal.

Den första lösningsmängden, x≈0.32+nπx\approx0.32+n\pi, representeras av de röda punkterna, och de gröna punkterna motsvarar den andra, x≈1.25+nπx\approx 1.25+n\pi.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen f(x)=1.f(x)=1.

b

Lös ekvationen h(x)=2.h(x)=2.

c

Lös ekvationen g(x)=-1.g(x)=\text{-} 1.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Spänningen i en växelströmskrets kan modelleras med funktionen U(t)=325cos⁡(100πt),U(t) = 325\cos(100 \pi t), där UU är spänningen i volt och tt är tiden i sekunder.

a

Vilken är den maximala spänningen i kretsen?

b

Hur lång tid är det mellan två spänningstoppar?

c

Hur många perioder går det på 11 sekund?

d

Effektivvärdet definieras som toppspänningen dividerat med 2\sqrt{2} och är det som anges som spänningen på vägguttag. Bestäm effektivvärdet för kretsen och avrunda till heltal.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vilken period funktionen har.

a
b
c
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Summan av periodiska funktioner är ibland också periodisk. I figuren visas grafen till f(x)=sin⁡(2(x+π4))+cos⁡(4(x+π4)).f(x) = \sin \left( 2 \left( x+\frac{\pi}{4} \right) \right) + \cos \left( 4 \left(x+\frac{\pi}{4} \right) \right).

Bestäm perioden för f(x).f(x).

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ekvationen x5+cos⁡(2x)=2\dfrac{x}{5}+\cos(2x)=2 har flera lösningar.

Samtliga lösningar ligger i intervallet -20≤x≤20.\text{-} 20 \leq x \leq 20.

a

Bestäm den minsta lösningen till ekvationen. Svara med minst tre värdesiffror.

b

Bestäm antalet lösningar till ekvationen.

Nationella provet VT13 Ma4
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan visas graferna till de trigonometriska funktionerna y=sin⁡(x),y=sin⁡(2x)y=\sin(x), y=\sin(2x) och y=sin⁡(3x).y=\sin(3x).



Använd dessa grafer för att bestämma perioden för funktionen y=sin⁡(24x).y=\sin(24x).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En persons blodtryck är det tryck som väggarna i personens blodkärl utsätts för när blodet cirkulerar i kroppen. Förenklat beskrivet är blodtrycket som högst när hjärtat pumpar ut blod och som lägst när hjärtat fylls på med blod. Blodtrycket kommer hela tiden variera beroende på vilket stadium hjärtat är i. Kardiologen Ludmila har kommit fram till att blodtrycket för en av hennes patienter vid ett läkarbesök kan modelleras med funktionen p(t)=20sin⁡(7π3⋅t)+100, p(t) = 20 \sin\left(\frac{7\pi}{3} \cdot t\right) + 100, där pp är blodtrycket i enheten mmHg och tt är tiden i sekunder.

a

Resultatet av en blodtrycksmätning brukar anges i form av både det högsta uppmätta blodtrycket, kallat övertryck, och det lägsta uppmätta blodtrycket, kallat undertryck. Bestäm Ludmilas patients övertryck respektive undertryck vid läkarbesöket.

b

Bestäm patientens puls, dvs. antalet hjärtslag per minut, vid samma läkarbesök.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det något värde på kk sådant att ekvationen cos⁡(x)=kx\cos(x) = kx saknar reella lösningar?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gör en uppskattning av värdet av tan⁡(80∘)\tan(80^\circ) genom att använda graferna nedan.


2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren syns grafen till funktionen f(x).f(x). Lös ekvationen f(x)=-2.f(x) = \text{-}2.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Derivatan till sin⁡(x)\sin(x) är cos⁡(x).\cos(x). Motivera detta med hjälp av grafen till sin⁡(x).\sin(x).


b

Baserat på resonemanget i den förra deluppgiften, vad bör derivatan till cos⁡(x)\cos(x) vara?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Perioden PP för funktioner av typen f(x)=sin⁡(ax)f(x)=\sin(ax) där a≠0a \neq 0 kan beräknas med formeln P=2πa.P=\frac{2\pi}{a}.

Funktion aa Period
f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x) 1{\color{#0000FF}{1}} 2π1\dfrac{2\pi}{{\color{#0000FF}{1}}}
f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x) 2{\color{#0000FF}{2}} 2π2\dfrac{2\pi}{{\color{#0000FF}{2}}}
f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin(3x) 3{\color{#0000FF}{3}} 2π3\dfrac{2\pi}{{\color{#0000FF}{3}}}
⋮\vdots ⋮\vdots ⋮\vdots

Undersök, resonerande och grafiskt, perioden för funktioner av typen h(x)=sin⁡(mx)+sin⁡(nx),h(x) = \sin(mx) + \sin(nx), där mm och nn är positiva heltal. Hur kan man algebraiskt bestämma perioden för h(x)h(x) med hjälp av värdena på mm och n?n?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}