Sannolikhetsfördelningar: Täthetsfunktion och exponentialfördelning

En sannolikhetsfördelning beskriver hur sannolikheterna för olika händelser är fördelade i ett utfallsrum. För en vanlig sexsidig tärning där alla utfall är lika sannolika, $1 / 6,$ kan man illustrera fördelningen som staplar med höjden $1 / 6 .$

Fördelningar där alla sannolikheter är lika stora kallas likformiga. Låt säga att de sidor på tärningen som har fem och sex prickar istället får fyra prickar var. Då är sannolikhetsfördelningen inte likformig.

Båda dessa fördelningar är diskreta eftersom utfallen, dvs. heltalen

1

till

6

respektive

1

till

4,

är diskreta. Men sannolikhetsfördelningar kan även vara kontinuerliga, t.ex. när utfallet är en tid.

Begrepp

Täthetsfunktion

En täthetsfunktion är en funktion

f (x)

som beskriver hur sannolikheten för något fördelas över tid eller något annat kontinuerligt utfallsrum. Funktionsvärdena anger inte direkt sannolikheten för en specifik händelse, utan funktionen används för att bestämma sannolikheten att man får ett utfall inom ett visst intervall,

a \leq x \leq b .

Det gör man med integralen

P (a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Inga sannolikheter kan vara negativa vilket innebär att täthetsfunktioner inte heller kan anta negativa värden. Därför kan integralen tolkas som arean under kurvan till täthetsfunktionen mellan

x

-värdena

a

och

b .

Om man integrerar täthetsfunktionen över alla reella tal, alltså från

- \infty

till

\infty,

får man att

P (- \infty < x < \infty) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

eftersom sannolikheten att hamna någonstans i utfallsrummet är

1

Bestäm sannolikheten med hjälp av täthetsfunktionen

fullscreen

Företaget C-3PilO AB som tillverkar pilkastningsrobotar har nyss byggt en ny prototyp, R2-Pil2. När man låter R2-Pil2 kasta mot en piltavla följer pilarnas avstånd i cm från tavlans mittpunkt täthetsfunktionen

f (r) = {\frac{r}{1 8}, 0, 0 \leq r \leq 6 annars .

Piltavlan är indelad i olika zoner med hjälp av cirklar med radierna

1, 2, 3 och 4

cm. Hur stor är sannolikheten att en pil träffar den näst innersta zonen?

Visa Lösning

Den näst innersta zonen är det område då avståndet från mittpunkten är mellan

1

och

2

cm. Alltså ska vi beräkna sannolikheten att avståndet mellan en pil och mittpunkten är mellan

1

och

2 :

P (1 < r < 2) .

Eftersom vi har täthetsfunktionen given kan vi beräkna den sökta sannolikheten med hjälp av integralen

P (1 < r < 2) = \int_{1}^{2} f (r) d r .

För intervallet

1 < r < 2

gäller att

f (r) = \frac{r}{1 8} .

Vi bestämmer först en primitiv funktion till

f (r)

för att beräkna integralen.

f (r) = \frac{r}{1 8}

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

F (r) = D^{- 1} (\frac{r}{1 8})

AntideriveXCoDiv

$D^{- 1} (\frac{x}{a}) = \frac{x ^{2}}{2 a}$

F (r) = \frac{r ^{2}}{3 6}

Vi är nu redo att beräkna integralen.

\int_{1}^{2} \frac{r}{1 8} d r

FundCalcArg

$\int_{a}^{b} f (r) d r = [F (r)]_{a}^{b}$

[\frac{r ^{2}}{3 6}]_{1}^{2}

Beräkna

EnterIntLimitsFx

$[F (x)]_{1}^{2} = F (2) - F (1)$

\frac{2 ^{2}}{3 6} - \frac{1 ^{2}}{3 6}

CalcPow

Beräkna potens

\frac{4}{3 6} - \frac{1}{3 6}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{3}{3 6}

ReduceFrac

Förkorta med $3$

\frac{1}{1 2}

Sannolikheten att en pil träffar den näst innersta zonen är alltså

P (1 < r < 2) = \frac{1}{1 2} .

Begrepp

Likformig sannolikhetsfördelning

Om en sannolikhetsfördelning är likformig är alla utfall lika sannolika. Två fördelningar som ofta beskrivs som likformiga är numret som fås vid en lottdragning och vilken tid på dygnet en person är född. För en lottdragning med

30

nummer kan sannolikheten beskrivas av

P (x) = \frac{1}{3 0}

där

x

är en händelse i utfallsrummet

{1, 2, \dots, 30} .

Summan av alla möjliga sannolikheter är

1

eftersom sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är

1

. Om man anger födelsetid i

x

antal timmar efter midnatt fås den kontinuerliga täthetsfunktionen

f (x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ \frac{1}{2 4}, 0, 0 \leq x < 24 annars .

Ställ upp en integral för att beräkna sannolikheten

fullscreen

Ställ upp en integral som kan användas för att beräkna sannolikheten att man slumpmässigt väljer ett tal mellan $0.2$ och $0.65$ på en tallinje som går från $0$ till $1 .$

Visa Lösning

För att kunna ställa upp denna integral måste vi först bestämma täthetsfunktionen som beskriver sannolikhetsfördelningen. Varje tal mellan

0

och

1

är lika sannolikt, och man kan inte välja några andra tal — därför är sannolikhetsfördelningen likformig. Om vi kallar täthetsfunktionen

f (x)

måste det därför gälla att

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x = 1

samt att funktionsvärdet är samma så länge

x

är mellan

0

och

1 .

Vi vet då att

f (x) = {a, 0, 0 \leq x \leq 1 annars,

för någon konstant

a .

Vi kan rita upp

f (x) .

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Integralen mellan

0

och

1

har värdet

1

och motsvarar arean

1 \cdot a

under kurvan. Det här ger oss att

a = 1 .

Täthetsfunktionen är alltså

f (x) = {1, 0, 0 \leq x \leq 1 annars .

I intervallet

0.2 \leq x \leq 0.65

har funktionen alltid värdet

1 .

Den sökta integralen blir därför

\int_{0.2}^{0.65} 1 d x .

Begrepp

Exponentialfördelning

Om en sannolikhetsfördelning kan beskrivas av täthetsfunktionen

f (t) = {k \cdot e^{- k t}, t \geq 0 0, annars,

där

k > 0,

säger man att fördelningen är exponentiell. Till höger om

y

-axeln följer grafen en vanlig exponentialkurva och är därför relativt enkel att integrera. Till vänster är den

0 .

Fenomen som förenklat kan beskrivas av en exponentialfördelning är t.ex. hur lång tid det går innan nästa gång man ser en Jeep och livslängden hos en glödlampa. Exponentialfördelningen är också tätt sammankopplad med sönderfall av radioaktiva preparat och man använder den för att bestämma bl.a. halveringstider.

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Begrepp

Täthetsfunktion

Exempel

Bestäm sannolikheten med hjälp av täthetsfunktionen

Begrepp

Likformig sannolikhetsfördelning

Exempel

Ställ upp en integral för att beräkna sannolikheten

Begrepp

Exponentialfördelning

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}