1. Sannolikhet
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Sannolikhet
Innehållet är ägnat åt studier av sannolikhet, ett matematiskt begrepp som mäter chansen för att en händelse inträffar. Det täcker olika aspekter av sannolikhet, inklusive grundläggande begrepp, slumpmässiga försök och specifika formler för att beräkna sannolikhet. Exempel inkluderar sannolikheten att dra ett specifikt kort från en kortlek eller sannolikheten att ett barn överlever till en viss ålder i Sverige. Lektionen erbjuder också övningar och lösningar, vilket gör den till en omfattande lektionen för att förstå sannolikhet inom matematik, särskilt för studenter som följer den svenska läroplanen.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sannolikhet
Sida av 9
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Sannolikhet
Sannolikhet beskriver hur troligt det är att något ska hända. Sannolikheten kan anges som ett tal mellan 0 och 1, eller mellan 0 % och 100 %. Om något inte kan hända alls, är sannolikheten 0. Om något kommer att hända med säkerhet, är sannolikheten 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Slumpförsök
Ett slumpförsök är något som utförs utan att man vet vad resultatet, eller utfallet, kommer att bli, även om samma sak gjorts tidigare. Ett exempel är en tärning som kastas. Man kan få 6 utfall: något av talen 1--6, och samlingen av dessa möjliga resultat kallas utfallsrum. Ibland har man specifika mål
med att slå en tärning, t.ex. slå udda tal.
Sådana mål kallas händelser.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Likformig sannolikhetfördelning
En likformig sannolikhetsfördelning beskriver en slumpmässig situation där varje utfall i ett slumpförsök är lika sannolikt att inträffa. Med andra ord: om ett experiment har n olika utfall, så har varje utfall en sannolikhet på 1/n. Ett exempel på detta är när man kastar en sexsidig tärning — varje sida har lika stor chans att komma upp.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Formel för sannolikhet
Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.
P=Antal gynnsamma utfall/Antal möjliga utfall
Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Betrakta kastet av en vanlig sexsidig tärning. Det finns sex lika sannolika utfall i utfallsrummet. Eftersom varje utfall har samma sannolikhet, kallas detta en likformig sannolikhetsfördelning. Om händelsen exempelvis är att slå ett udda tal med en tärning
är de gynnsamma utfallen 3 stycken: etta, trea och femma.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Dra ett kort slumpmässigt
Vad är sannolikheten att dra en bokstav från en standardkortlek? Skriv svaret i decimalform avrundat till två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,31"]}}
Ledtråd
Hur många kort har en bokstav? Dividera detta tal med det totala antalet kort.
Lösning
I en standardkortlek har varje kort samma sannolikhet att bli draget. Eftersom det finns 52 olika kort, har varje kort en sannolikhet på 152. Av de 52 korten finns det 16 kort med bokstäver.
c
A♠ & J♠ & Q♠ & K♠ [0.25em]
A♣ & J♣ & Q♣ & K♣ [0.25em]
A♡ & J♡ & Q♡ & K♡ [0.25em]
A◊ & J◊ & Q◊ & K◊
Följaktligen finns det 16 gynnsamma utfall av 52 möjliga utfall. Med denna information kan sannolikheten att dra en bokstav beräknas.
P(bokstav) = 16/52 ≈ 0,31
Sannolikheten att dra en bokstav från en kortlek är ungefär 0,31, eller 31 %.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hur sannolik är händelsen?
Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"P\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["29"]}}
Ledtråd
Dela de gynnsamma utfallen med alla möjliga utfall.
Lösning
Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.
Antalet gynnsamma utfall är 2 och det totala antalet 7. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.
P = Antal gynnsamma utfall/Antal möjliga utfall
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
P(helg) = 2/7
UseCalc
Slå in på räknare
P(helg) = 0,285714...
RoundDec
Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar
P(helg) ≈ 0,29
Sannolikheten att man är född en helg är ungefär 29 %.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Relativ frekvens
Att undersöka hur stor andel av en datamängd som utgörs av ett visst värde eller en viss grupp kan ge värdefulla insikter. Detta kallas för relativ frekvens, och det visar hur vanligt ett värde är i jämförelse med hela datamängden.
Relativ frekvens =Frekvens/Antal observationer
Till exempel — tänk dig att man gör en undersökning i ett klassrum om elevernas favoritfärg.
| Färg | Frekvens |
|---|---|
| Blå | 9 |
| Röd | 7 |
| Grön | 5 |
| Gul | 4 |
| Purpur | 3 |
| Andra | 2 |
Eftersom det finns 30 elever i klassrummet, kan den relativa frekvensen för varje kategori beräknas genom att dividera frekvensen för varje kategori med 30. Relativa frekvenser skrivs vanligtvis som procenttal.
Eftersom det finns 30 elever i klassrummet kan man räkna ut den relativa frekvensen för varje kategori genom att dela frekvensen med 30. Relativa frekvenser skrivs ofta som procenttal.
| Färg | Frekvens | Relativ frekvens | Procent |
|---|---|---|---|
| Blå | 9 | 9/30 = 0,3 | 30 % |
| Röd | 7 | 7/30 ≈ 0,23 | 23 % |
| Grön | 5 | 5/30 ≈ 0,17 | 17 % |
| Gul | 4 | 4/30 ≈ 0,13 | 13 % |
| Purpur | 3 | 3/30 = 0,1 | 10 % |
| Andra | 2 | 2/30 ≈ 0,07 | 7 % |
I tabellen kan man se att blå är den mest populära färgen, eftersom den har högst relativ frekvens.
Lägg märke till att de relativa frekvenserna tillsammans blir 100 %.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta den relativa frekvensen
Ett visst kafé säljer fem typer av kaffe. Igår hade de följande försäljning.
| Typ av kaffe ☕ | Antal sålda kaffe |
|---|---|
| Espresso | 40 |
| Latte | 48 |
| Mocha | 30 |
| Cappuccino | 58 |
| Irish Coffee | 24 |
a Vad är den relativa frekvensen för det mest populära kaffet? Skriv svaret i decimalform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,29"]}}
b Baserat på tabellen, om en person går in på kaféet, vad är sannolikheten att han eller hon beställer en mocha? Skriv ditt svar som en procentandel.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["15"]}}
Ledtråd
a Börja med att addera alla frekvenser. Dividera frekvensen för det mest populära kaffet med det totala antalet sålda kaffe.
b Hitta den relativa frekvensen för Mocha-kaffe.
Lösning
a Det första steget är att bestämma det totala antalet sålda kaffe. Detta kan hittas genom att addera frekvenserna för varje typ av kaffe.
Totalt = 40+48+30+58+24 ⇓ Totalt = 200 Igår sålde kaféet 200 koppar kaffe. Det mest populära kaffet är det med högst frekvens. Detta är cappuccino, med totalt 58 förekomster. För att hitta den relativa frekvensen, dividera frekvensen för det mest populära kaffet med det totala antalet sålda kaffe. Cappuccinos relativa frekvens 58/200 = 0,29
b Sannolikheten att en slumpmässig person beställer en Mocha ges av den relativa frekvensen för Mocha-kaffe.
P(Mocha) = Mochas relativa frekvens Mochas relativa frekvens erhålls genom att dividera frekvensen för Mocha-kaffet med det totala antalet sålda kaffe. Från tabellen sålde kaféet 30 Mochas igår, och från föregående del sålde de totalt 200 kaffe. Mochas relativa frekvens 30/200 = 0,15 Multiplicera den relativa frekvensen med 100 % för att skriva den i procentform. Mochas relativa frekvens 0,15* 100 % = 15 % Som slutsats, om en person går in på kaféet, är det 15 % chans att han eller hon kommer att beställa en Mocha.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Sannolikhet
Uppgift 2.1
Du drar ett kort ur en kortlek. Hur bedömer du sannolikheten att kortet är spader knekt, om du ser att det är ett svart, klätt kort (knekt, dam eller kung)? Svara i hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"\u2248","formTextAfter":"%","answer":{"text":["17"]}}
security
report
code
security
report
code
Det finns 3 klädda kort av varje färg och 2 av färgerna är svarta. Alltså måste kortleken innehålla 2* 3=6 svarta, klädda kort. Det dragna kortet är ett av dessa 6. Det totala antalet utfall är därför 6 och 1 av dessa är gynnsamt. Vi sätter in detta sannolikhetsformeln.
Sannolikheten är cirka 17 % att kortet är spader knekt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Det finns 24 kulor i en påse. Av dessa är 18 svarta, 16 av dem är gula och resten är vita. Om du plockar upp en kula helt slumpmässigt, ungefär hur stor är sannolikheten att den är vit? Avrunda till hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"%","answer":{"text":["71"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att beräkna hur stor andel av kulorna som inte är vita. 18 är svarta och 16 är gula så vi adderar dem.
724 av kulorna är gula eller svarta. Eftersom det totalt finns 24 kulor är detta 7 stycken. Det betyder att antalet vita kulor är 24-7=17.
Vi beräknar sannolikheten för att plocka upp en vit kula genom att dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet utfall.
Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.
I påsen finns det vita, svarta och gula kulor. Det betyder att sannolikheten för att plocka upp någon av de färgerna är 1.
P(vit)+P(svart)+P(gul)=1
18 av kulorna är svarta så sannolikheten att plocka upp en sådan är 18. På samma sätt är sannolikheten att en slumpvis vald kula är gul 16.
Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Tabellen nedan visar hur många av eleverna som röker och inte röker på en skola.
| Kön | Röker | Röker inte |
|---|---|---|
| Pojkar | 79 | 341 |
| Flickor | 110 | 363 |
Uppskatta sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan röker. Avrunda till hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"%","answer":{"text":["21"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma antalet elever på skolan och hur många av dem som röker.
| Kön | Röker | Röker inte | Summa |
|---|---|---|---|
| Pojkar | 79 | 341 | 420 |
| Flickor | 110 | 363 | 473 |
| Summa | 189 | 704 | 893 |
Det är alltså 189 elever som röker av totalt 893 stycken. Hur sannolikt är det då att en elev röker? Vi kan uppskatta det genom att tänka på antalet rökare som gynnsamma utfall
och totala antalet elever som möjliga utfall.
Eftersom det är en uppskattning kan vi inte använda likhetstecken när vi anger sannolikheten utan använder ungefär-lika-med-tecken.
Sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan är rökare är alltså ungefär 21 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Meterologen John Solman har sett i SMHI:s statistik för Karlstad att i juni-augusti förra året var 69 soliga. Om vi antar att vädret blir ungefär detsamma i år, hur många dagar kommer det sannolikt att vara soligt i juni?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"dagar","answer":{"text":["23"]}}
security
report
code
security
report
code
Solman har uppskattat en sannolikhet utifrån tidigare erfarenheter. Antal försök, alltså antal dagar under juni till augusti, är 30+31+31=92. Antal lyckade försök var 69 st. Sannolikheten för sol kan då uppskattas.
Den uppskattade sannolikheten för sol är alltså 75 %. Av junis 30 dagar kan han då uppskatta antal soldagar.
Om man utgår ifrån att vädret kommer att vara ungefär likadant i år kommer alltså cirka 23 dagar att vara soliga.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sannolikhet
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll