Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Samband mellan graf och funktionsuttryck


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c avgör aa både åt vilket håll kurvan är krökt ( eller )(\smile \text{ eller } \frown) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100100 eller -100\text{-} 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.50.5 eller -0.5\text{-} 0.5) ger bredare kurvor. Konstanten cc avgör grafens skärningspunkt med yy-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. y=x22x+1, y=x^2-2x+1, behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pqpq-formeln. Ställer man upp ekvationen x22x+1=0x^2-2x+1=0 får man x=--22±(-22)21. x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1}. Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.


2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens xx-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. yy-koordinaten bestäms genom att sätta in detta xx i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extrempunkten är (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt xx-värde i funktionen och beräkna motsvarande yy-värde.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma yy-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).(0,1).

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Skissa graf

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

1

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=Cax. y=C\cdot a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet CC och förändringsfaktorn a.a.

2

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1),(1,1), och (2,3)(2,3).

3

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: 1=Ca1och3=Ca2. 1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.

4

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. {1=Ca13=Ca2 \begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases} Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1=Ca1(I)3=Ca2(II)\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} Förenkla potens
{1=Ca3=Ca2\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{1a=C3=Ca2\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=Ca2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=1aa2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=a2a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}
{C=1a3=a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}
{C=1aa=3\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}
{C=13a=3\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

5

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. y=Caxy=133x y=C\cdot a^x\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x

Uppgift

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är y=ax2+bx+c, y=ax^2+bx+c, där a,a, b,b, och cc är reella konstanter. Konstanten cc kan vi bestämma direkt eftersom det är yy-värdet där grafen skär yy-axeln.

Vi ser att yy-värdet är 4 så c=4,c=4, vilket ger y=ax2+bx+4. y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där xx- och yy-koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är (2,8)(2,8) och (6,4),(6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8)(2,8) betyder att när man sätter in x=2x=2 är y=8.y=8. Det ger ekvationen a22+b2+4=8. a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a62+b6+4=4a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

{a22+b2+4=8(I)a62+b6+4=4(II)\begin{cases}a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8 & \, \text {(I)}\\ a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 & \text {(II)}\end{cases}
{4a+2b+4=836a+6b+4=4\begin{cases}4a+2b+4=8 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12=-2436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12=\text{-}24 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12+36a+6b+4=-24+436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12+{\color{#0000FF}{36a+6b+4}}=\text{-}24+{\color{#0000FF}{4}} \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a8=-2036a+6b+4=4\begin{cases}24a-8= \text{-}20 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a=-1236a+6b+4=4\begin{cases}24a= \text{-}12 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

Nu sätter vi in värdet på aa i den andra ekvationen.

{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536(-0.5)+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36({\color{#0000FF}{\text{-}0.5}})+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-18+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}18+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-14+6b=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}14+6b=4 \end{cases}
{a=-0.56b=18\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 6b=18 \end{cases}
{a=-0.5b=3\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ b=3 \end{cases}

aa är -0.5\text{-}0.5 och bb är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4.c=4. Detta ger funktioneny=-0.5x2+3x+4. y=\text{-}0.5 x^2+3x+4.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward