Samband mellan graf och funktionsuttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c avgör aa både åt vilket håll kurvan är krökt ( eller )(\smile \text{ eller } \frown) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100100 eller -100\text{-} 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.50.5 eller -0.5\text{-} 0.5) ger bredare kurvor. Konstanten cc avgör grafens skärningspunkt med yy-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. y=x22x+1, y=x^2-2x+1, behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pqpq-formeln. Ställer man upp ekvationen x22x+1=0x^2-2x+1=0 får man x=--22±(-22)21. x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1}. Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.

Extrempunktens xx-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. yy-koordinaten bestäms genom att sätta in detta xx i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extrempunkten är (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt xx-värde i funktionen och beräkna motsvarande yy-värde.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma yy-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).(0,1).

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Skissa graf

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=Cax. y=C\cdot a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet CC och förändringsfaktorn a.a.

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1),(1,1), och (2,3)(2,3).

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: 1=Ca1och3=Ca2. 1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. {1=Ca13=Ca2 \begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases} Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1=Ca1(I)3=Ca2(II)\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} Förenkla potens
{1=Ca3=Ca2\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{1a=C3=Ca2\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=Ca2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=1aa2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=a2a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}
{C=1a3=a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}
{C=1aa=3\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}
{C=13a=3\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. y=Caxy=133x y=C\cdot a^x\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x

Uppgift

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har graferna f,f, g,g, hh och k.k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare.

Ay=61.01xBy=31.1xCy=30.95xDy=61.4x\begin{aligned} &A \quad \quad y=6 \cdot 1.01^x \\ &B \quad \quad y=3 \cdot 1.1^x \\ &C \quad \quad y=3 \cdot 0.95^x \\ &D \quad \quad y=6 \cdot 1.4^x \\ \end{aligned}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till fyra funktioner.


a

Funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) är exponentialfunktioner på formen y=Cax.y=Ca^x. Bestäm CC för de båda funktionerna.

b

Funktionerna h(x)h(x) och k(x)k(x) är andragradsfunktioner på formen y=ax2+bx+c.y=ax^2+bx+c. Bestäm cc för de båda funktionerna.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avgör om andragradsfunktionerna har en positiv eller negativ koefficient framför x2x^2-termen.


b

Avgör utan räknare vilken eller vilka av följande funktioner som har en maximipunkt. f(x)=x2+5xg(x)=4x23x2h(x)=9x6x2+0.3\begin{aligned} &f(x)=x^2+5x\\ &g(x)=4x^2-3x-2\\ &h(x)=9x-6x^2+0.3 \end{aligned} Kontrollera sedan ditt svar med räknare.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En andragradsfunktion har nollställena x=-1x=\text{-}1 och x=2.x=2. Minimipunkten är (0.5,-2).(0.5,\text{-}2). Skissa kurvan för hand.

b

En andragradskurva skär yy-axeln i (0,2).(0,2). Dess nollställen är x=-4x=\text{-}4 och x=2.x=2. Skissa kurvan för hand.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm skärningspunkten med yy-axeln för följande funktioner utan att använda räknare.


a

y=2x25x7y=2x^2-5x-7

b

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har graferna f,f, g,g, hh och k.k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare. Det finns fler funktionsuttryck än grafer.

Ay=-x2+7x10By=0.6x2+3x+3Cy=x25x10Dy=-2x2+5x+3Ey=1.1x22.5x+3Fy=-4x212x11.\begin{aligned} &A \quad \quad y=\text{-} x^2+7x-10 \\ &B \quad \quad y=0.6x^2+3x+3 \\ &C \quad \quad y=x^2-5x-10 \\ &D \quad \quad y=\text{-}2 x^2+5x+3 \\ &E \quad \quad y=1.1x^2-2.5x+3 \\ &F \quad \quad y=\text{-}4 x^2-12x-11. \end{aligned}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till två olika andragradsfunktioner på formen y=ax2+c.y=ax^2+c.


a

Bestäm grafernas värde på c.c.

b

Bestäm grafernas funktionsuttryck.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till två olika exponentialfunktioner, Cax.C\cdot a^x.


a

Bestäm grafernas startvärde C.C.

b

Bestäm grafernas funktionsuttryck.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand graferna till funktionerna. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=-x2x+2y=\text{-} x^2-x+2

b

y=2x24x6y=2x^2-4x-6

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa graferna till funktionerna för hand. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=5xx2y=5x-x^2

b

y=0.25x24y=0.25x^2-4

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För alla exponentialfunktioner på formen y=Caxy=Ca^x gäller att a1a\neq1 och a>0.a>0. Nedan visas tre exponentialfunktioner på den formen.

Vad finns det mer för villkor på aa för


a

f(x)?f(x)?

b

g(x)?g(x)?

c

h(x)?h(x)?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är funktionerna f(x)=2axf(x)=2\cdot a^x och g(x)=x2+bx+2g(x)=x^2+bx+2 ritade. Bestäm aa och b.b.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan visas grafen till en exponentialfunktion f(x).f(x).

Bestäm funktionen f(x).f(x).

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas grafen till en andragradsfunktion, f(x).f(x).

Bestäm f(x).f(x).

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

I koordinatsystemet är grafen till f(x)=x2f(x)=x^2 inritad.

Använd din räknare för att rita f(x)f(x) samt g(x)=(x+3)2g(x)=(x+3)^2 och h(x)=(x2)2.h(x)=(x-2)^2. Hur förhåller sig g(x)g(x) och h(x)h(x) till f(x)?f(x)?

b

Beskriv, utan att rita upp den, hur grafen till k(x)=(x8)2k(x)=(x-8)^2 kommer att se ut. Kontrollera med räknare.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tyrolf och Nefertiti ska bestämma basen aa i exponentialfunktionen f(x)=6axf(x)= 6\cdot a^x med hjälp av nedanstående graf. Tyrolf tycker att skärningspunkten med yy-axeln är lämplig att använda för att bestämma a.a. Nefertiti säger emellertid att det inte kommer att fungera. Vem har rätt?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till funktionerna f(x)=x2+2x3f(x)=x^2+2x-3 och g(x)=-x2+4x+cg(x)=\text{-} x^2+4x+c skär varandra i exakt en punkt.


a

Bestäm den reella konstanten c.c.

b

Bestäm skärningspunkten.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andragradsfunktionen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c har sin minimipunkt på den negativa yy-axeln. Bestäm villkoren för a,a, bb och c.c.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen ff gäller att f(x)=-0.5x2+bx2.f(x)=\text{-}0.5 x^2+bx-2.


a

Bestäm för vilka värden på bb som ff endast har ett nollställe.

b

I figuren nedan ser du graferna till funktionen ff för några olika värden på b.b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då bb varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion g,g, se figur.


Bestäm andragradsfunktionen g.g.

Nationella provet VT15 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}