Rotationsvolymer

När man roterar en funktion kan man inte förlita sig på att man får en kropp vars volym enkelt kan beräknas. Då behöver man mer generella metoder som gör det möjligt att beräkna volymen av godtyckliga rotationskroppar. Ett exempel på en sådan är skivmetoden, som kan användas för att beräkna rotationsvolymer runt både

x

- och

y

-axeln.

Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring $x$ -axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen $f(x)$ runt $x$ -axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

$V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x$

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden $\Delta x$ och radien $f(x).$

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: $V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h.$ Varje skiva har tjockleken $\Delta x,$ men radierna varierar. Första skivan har radien $f(x_1)$ så dess volym är $\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x.$ På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen $V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x.$ Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot $0,$ kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen $V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x ,$ där $a$ och $b$ är rotationskroppens undre respektive övre gräns i $x$ -led. Koefficienten $\pi$ kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden.

V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

Beräkna rotationsvolymen kring $x$ -axeln

Uppgift

Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas när det blå området roteras kring $x$ -axeln. Avrunda till heltal.

Lösning

Vi kan börja med att skissa den kropp som bildas när det markerade området mellan graferna roteras.

Rotationskroppen kan liknas vid en tunna som det går ett hål genom. För att bestämma volymen av denna kropp kan vi se den som en differens mellan två andra kroppar: den som bildas när hela området under $f(x)$ roteras runt $x$ -axeln samt den som bildas när man roterar området under $g(x).$

Subtraherar man volymen av den lilla kroppen, som representerar hålet i tunnan, från volymen av den stora kroppen får man precis volymen av tunnan med hål i.

Exempel

Volym av den stora rotationskroppen

Med hjälp av skivmetoden kan vi nu bestämma volymen av de två kropparna, och då använder vi formeln $V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x .$ För den stora kroppen sätter vi in $f(x)=\text{-}0.05x^2+5$ samt gränserna $\text{-}6$ och $6.$ Volymen av denna rotationskropp är alltså $\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2 \, \text d x .$

Exempel

Volym av den lilla rotationskroppen

Vi bestämmer volymen av den lilla kroppen med samma formel, men sätter in funktionen $g(x)=1$ istället. Integrationsgränserna är samma som tidigare. Vi får då att den lilla kroppen har volymen $\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}1^2 \, \text d x .$

Exempel

Volym av tunna med hål

Nu kan vi bestämma volymen av tunnan genom att subtrahera volymen av den lilla kroppen från volymen av den stora kroppen, vilket ger

V_{\text{tunna med hål}}=\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2 \, \text d x -\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}1^2 \, \text d x .

Eftersom integralerna har samma integrationsgränser kan vi skriva ihop dem som en enda integral.

V_{\text{tunna med hål}}=\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2-1^2\right) \, \text d x

För att beräkna integralen börjar vi med att förenkla integranden.

\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2-1^2

Förenkla uttrycket

Utveckla med första kvadreringsregeln

\left(\text{-}0.05x^2\right)^2-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2

\left(a b\right)^{c}=a^c b^c

(\text{-}0.05)^2\left(x^2\right)^2-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

(\text{-}0.05)^2x^4-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2

Förenkla potens & produkt

0.0025x^4-0.5x^2+25-1

Förenkla termer

0.0025x^4-0.5x^2+24

Vi kallar integranden för

h(x)

och bestämmer en primitiv funktion till den.

h(x)=0.0025x^4-0.5x^2+24

Bestäm en primitiv funktion

H(x)=D ^{\text{-}1}\left(0.0025x^4\right)-D ^{\text{-}1}\left(0.5x^2\right)+D ^{\text{-}1}(24)

D ^{\text{-}1}\left(ax^n\right)=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}

H(x)=\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+D ^{\text{-}1}(24)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

H(x)=\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+24x

Till sist beräknar vi integralen.

\pi\displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(0.0025x^4-0.5x^2+24 \right) \, \text d x

Beräkna integralen

\displaystyle \int_a^b h(x) \ \text dx=[H(x)]_a^b

\pi \left[\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+24x\right]_{\text{-}6}^{6}

\left[H(x)\right]_{{\color{#009600}{\text{-}6}}}^{\color{#0000FF}{6}}=H\left({\color{#0000FF}{6}}\right)-H\left({\color{#009600}{\text{-}6}}\right)

\pi \left(\dfrac{0.0025\cdot{\color{#0000FF}{6}}^5}{5}-\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{6}}^3}{3}+24\cdot{\color{#0000FF}{6}}-\left(\dfrac{0.0025\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})^5}{5}-\dfrac{0.5\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})^3}{3}+24\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})\right)\right)

Beräkna potens & produkt

\pi \left(\dfrac{0.0025\cdot7776}{5}-\dfrac{0.5\cdot216}{3}+144-\left(\dfrac{0.0025\cdot(\text{-}7776)}{5}-\dfrac{0.5\cdot(\text{-}216)}{3}-144\right)\right)

Multiplicera faktorer

\pi \left(\dfrac{19.44}{5}-\dfrac{108}{3}+144-\left(\dfrac{\text{-}19.44}{5}-\dfrac{\text{-}108}{3}-144\right)\right)

Beräkna kvot

\pi \left(3.888-36+144-\left(\text{-}3.888-(\text{-}36)-144\right)\right)

Slå in på räknare

703.01303\ldots

Avrunda till närmaste heltal

\sim 703

Tunnan har alltså en volym på ca

703

volymenheter.

Visa lösning

Beräkna rotationsvolymen kring $y$ -axeln

Uppgift

Bestäm volymen man får om man roterar det markerade området kring $y$ -axeln.

Lösning

Roterar vi området runt $y$ -axeln får vi en kropp som ser ut på följande sätt.

Skivmetoden kan även användas för rotation kring $y$ -axeln, men då måste man tänka på ett lite annorlunda sätt. Skivorna kommer då att få sin radie från grafens $x$ -värden och tjockleken blir $\Delta y.$

Det är alltså som att rotera kring

x

-axeln, fast

x

och

y

har bytt plats. I formeln för skivmetoden ersätter man då

x

med

y

och får

V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b}\left( f(y) \right)^2 \, \text d y .

För att kunna använda formeln måste vi ha en funktion som beror på

y

istället för

x.

Det får vi genom att lösa ut

x

ur funktionen

y=x^2.

y = x^2

Omarrangera ekvation

x^2=y

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{y}

Eftersom området som ska roteras ligger i första kvadranten är både

x

och

y

positiva. Vi använder därför funktionen

x = \sqrt{y}.

Ett sätt att visualisera detta är att tänka sig att

x

- och

y

-axlarna byter plats. Då får man en situation mer lik den då man roterar kring

x

-axeln.

För att kunna ställa upp integralen måste vi nu bestämma integrationsgränserna. Eftersom vår funktion beror på

y

måste dessa vara det största respektive minsta

y

-värdet som avgränsar området. I det här fallet går det bra att läsa av dem direkt ur figuren som

y_\text{min} = 0 \quad \text{och} \quad y_\text{max} = 4.

Nu kan vi sätta in vår nya funktion och integrationsgränserna i formeln:

V = \pi \displaystyle\int_{0}^{4}\left( \sqrt{y} \right)^2 \, \text d y .

Integranden kan förenklas enligt

( \sqrt{y} )^2 = y,

som har en primitiv funktion

\frac{y^2}{2}

. Med hjälp av denna kan vi bestämma värdet på integralen.

\pi \displaystyle\int_{0}^{4}y \, \text d y

\displaystyle \int_a^b f(y) \ \text dy=[F(y)]_a^b

\pi \left[ \dfrac{y^2}{2} \right]_0^4

\left[F(y)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{4}}=F\left({\color{#0000FF}{4}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)

\pi\left( \dfrac{{\color{#0000FF}{4}}^2}{2} - \dfrac{{\color{#009600}{0}}^2}{2} \right)

Beräkna potens

\pi\left( \dfrac{16}{2} - \dfrac{0}{2} \right)

Beräkna kvot

\pi\cdot 8

Rotationskroppens volym är alltså

8\pi

volymenheter.

Visa lösning

Rotationsvolymer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Skivmetoden

Exempel

Beräkna rotationsvolymen kring $x$ -axeln

Volym av den stora rotationskroppen

Volym av den lilla rotationskroppen

Volym av tunna med hål

Exempel

Beräkna rotationsvolymen kring $y$ -axeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning

Integraler som modeller

Exempel

Beräkna rotationsvolymen kring xxx-axeln

Exempel

Beräkna rotationsvolymen kring yyy-axeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning

Beräkna rotationsvolymen kring $x$ -axeln

Beräkna rotationsvolymen kring $y$ -axeln