Repetition av trigonometri

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens har flera geometriska förklaringar. Här repeteras deras definitioner både med rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln.
Regel

Trigonometriska funktioner

I en rätvinklig triangel anger sinus, cosinus och tangens förhållandet mellan längderna på två av triangelns sidor, baserat på en viss vinkel. Förhållandet kan vara mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Definitionen för dessa trigonometriska funktioner ser ut på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Tangensfunktionen kan också definieras med sinus och cosinus.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Uppgift

Bestäm tan(v)\tan(v) givet att sin(w)=12.\sin(w) = \dfrac{1}{2}. Svara exakt.

Lösning
Vi vill bestämma tangensvärdet för vinkeln vv och för att göra det behöver vi båda kateterna i den högra triangeln. För tillfället saknar vi dock den ena, höjden, men den finns också i den vänstra triangeln. Där känner vi till längden på hypotenusan och sinusvärdet för vinkeln w.w. Definitionen för sinus är sin(w)=Motstende kateta˚Hypotenusa. \sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. I det här fallet är den motstående kateten höjden på triangeln. Genom att sätta in de kända värdena kan vi bestämma höjden.
sin(w)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
12=Motstende kateta˚4{\color{#0000FF}{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{\text{Motstående katet}}{{\color{#009600}{4}}}
2=Motstende kateta˚2 = \text{Motstående katet}
Motstende kateta˚=2\text{Motstående katet} = 2
Höjden på triangeln är alltså 22 cm. Vi använder till sist definitionen av tangens för att bestämma tan(v).\tan(v). tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨=23 \tan(v) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}} = \dfrac{2}{3} Svaret är alltså att tan(v)=23.\tan(v) = \frac{2}{3}.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Enhetscirkeln, alltså en cirkel med radien 11 centrerad i origo, kan kopplas till sinus- och cosinusfunktionerna. En punkt på enhetscirkeln vars radie skapar vinkeln vv mot positiva xx-axeln har alltid xx-koordinaten cos(v)\cos(v) och yy-koordinaten sin(v)\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Med hjälp av dessa samband kan man med härleda exakta sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar.

vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00
Uppgift


Bestäm den röda punktens xx-koordinat givet att tangensvärdet för vinkeln vv är -1.280.\text{-}1.280. Avrunda till tre decimaler.

Lösning
Eftersom cirkeln har radien 11 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att den röda punktens xx- och yy-koordinater motsvarar cosinus- respektive sinusvärdet för vinkeln v.v. Vi kan läsa av att sinusvärdet för vinkeln är 0.788.0.788. Eftersom vi också känner till tangensvärdet för vinkeln kan vi använda sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \text{$\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$} för att bestämma cosinusvärdet. Vi sätter in de kända värdena och löser ut cos(vv).
tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
-1.280=0.788cos(v){\color{#0000FF}{\text{-}1.280}}=\dfrac{{\color{#009600}{0.788}}}{\cos(v)}
-1.280cos(v)=0.788\text{-}1.280\cdot\cos(v)=0.788
cos(v)=0.788-1.280\cos(v)=\dfrac{0.788}{\text{-}1.280}
cos(v)=-0.61566\cos(v)=\text{-}0.61566\ldots
cos(v)=-0.616\cos(v)=\text{-}0.616
Den röda punktens xx-koordinat är alltså ca -0.616.\text{-}0.616.


Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}