Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

1. Reella tal Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 1

Reella tal Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	19 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Reella tal Åk 9

Sida av 19

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Naturliga tal
Hela tal
Rationella tal
Ändlig decimalutveckling
Oändlig periodisk decimalutveckling
Irrationella tal
Reella tal
Potenser
Prioriteringsregler

Förkunskaper

Teori

Naturliga tal

Naturliga tal (N) är en mängd tal som omfattar 0 och alla positiva heltal.

N = {0, 1, 2, 3, ... }

Det betyder att vi kan räkna tal som 0, 1, 2, 3, ... utan någon övre gräns. Här är några exempel på naturliga tal.

Människor har länge använt naturliga tal för att räkna och mäta olika saker. Om vi ser en hage med får, använder vi naturliga tal för att ta reda på hur många får det finns.

Visste du detta?

Talet 0 utvecklades senare i historien. Det är troligt att folk i Indien var bland de första som använde en symbol för noll, omkring år 500 e.Kr. Detta gjorde det mycket lättare att skriva och räkna med stora tal.

Teori

Hela tal

Hela tal består av alla naturliga tal, deras negativa motsvarigheter och talet 0.

Det betyder att heltal kan vara positiva, negativa eller noll. Mängden heltal betecknas med Z och skrivs som:

Z = {..., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Exempel

Ett vanligt exempel på heltal i vardagen är temperaturer. Med negativa tal kan vi beskriva temperaturer under 0^(∘)C. Till exempel om temperaturen är 8^(∘)C och sjunker med 12^(∘)C, får vi:

8 - 12 = -4^(∘)C

Visste du detta?

Heltal infördes för att göra det möjligt att subtrahera utan begränsning. När man bara använde naturliga tal gick det inte att subtrahera ett större tal från ett mindre.

Med heltal kan vi skriva 5 - 7 = -2.

Teori

Rationella tal

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som ett bråk, där både täljare och nämnare är heltal. Det betyder att rationella tal kan uttryckas i bråkform, till exempel 3/4 eller - 2/5.

Rationella tal betecknas med Q.

Rationella tal omfattar alla heltal, eftersom ett heltal kan skrivas som ett bråk med nämnaren 1. De inkluderar också decimaltal som kan skrivas som bråk.

Ett särskilt exempel på rationella tal är stambråk, som är bråk där täljaren är 1.

Heltal	Decimaltal	Stambråk
5=5/1	0,5 = 1/2	1/2, 1/3 och 1/4

Stambråk användes redan i forntida civilisationer, till exempel av egyptierna, för att uttrycka enkla bråk.

Utforska

Bråk i decimalform

Ett rationellt tal kan alltid skrivas som ett decimaltal eller i decimalform. Utforska följande bråk genom att skriva om dem till decimalform. Vilken typ av decimalutveckling får du — ändlig eller periodisk?

Använd frågorna nedan som stöd när du undersöker decimaltal.

Att tänka på

Vilka decimaltal är ändliga?
Vilka decimaltal har ett upprepande mönster?

Extra

Applet för att beräkna decimaltal

Appletet nedan hjälper dig att omvandla bråk till decimalform. Det rekommenderas att beräkna till minst 4 decimaler.

Teori

Ändlig decimalutveckling

När vi dividerar täljaren med nämnaren i ett rationellt tal kan resultatet bli en ändlig decimalutveckling. Detta sker när nämnaren i sin förkortade form endast har primfaktorerna 2 och/eller 5. Då får talet en decimalutveckling med ett begränsat antal decimaler.

Exempel

& 1/2 = 0,5 [1em] & 3/5 = 0,6 [1em] & 153/100 = 153/2 * 2 * 5 * 5 = 1,53 [1em] & 7/50 = 7/2 * 5 * 5 = 0,14

Visste du detta?

Det är intressant att notera att de gamla babylonierna, som levde i Mesopotamien omkring 1800-1600 f.Kr., använde ett sexagesimalt (bas 60) talsystem med ändliga representationer för vissa bråk. Detta system har i sin tur påverkat utvecklingen av vårt moderna decimalsystem.

Teori

Oändlig periodisk decimalutveckling

Vissa rationella tal har en decimalutveckling som aldrig tar slut. I stället bildar decimalerna en oändlig följd med en återkommande period, det vill säga en sekvens av siffror som upprepas om och om igen. Detta kallas en periodisk decimalutveckling. När vi dividerar täljaren med nämnaren kan vi se hur samma period återkommer i ett regelbundet mönster.

Periodiska decimaltal
Bråk	Decimaltal	Period
2/3	0,666666...	6
23/15	1,533333...	3
532/99	5,373737...	37

Eftersom periodiska decimaltal alltid kan skrivas som bråk räknas de som rationella tal. När vi arbetar med periodiska tal är det ofta bra att beräkna flera decimaler tills vi tydligt ser mönstret i perioden. Ibland behöver vi räkna lite längre efter decimaltecknet innan upprepningen blir tydlig.

Exempel

Favoritfilmgenrer

Viktor, som är ett stort filmfan, genomför en undersökning för att ta reda på vilken typ av filmer hans klasskamrater gillar.

Tabellen visar den information han samlade in från undersökningen.

Genre	Antal elever
Action	6
Animering	12
Komedi	4
Science Fiction	5

a Hitta vilken del av eleverna som föredrar animation. Vad är perioden av det decimala talet?

6 + 12 + 4 + 5 = 27elever

För att kunna räkna ut andelen som föredrar animering behöver du veta hur många elever som deltog totalt.

Andel animering: 12/27

Bråket visar hur stor del av klassen (12 av 27 elever) som gillar animering.

Decimaltal:

12/27 = 0, 444...

Dividera 12 med 27. Du får ett periodiskt decimaltal där siffran 4 upprepas.

Period: 4

Perioden är den siffra som upprepas i det oändliga.

Svar: Perioden av talet är 4.

b Hitta vilken del av eleverna som föredrar komedi. Vad är perioden av talet?

Komedi: 4 elever

Totala: 27 elever

Börja med att skriva ner det du vet.

Andel komedi: 4/27

Bråket visar hur stor del av klassen som gillar komedier.

Decimaltal:

4/27 = 0, 148148 ...

Dividera 4 med 27 för att få ett periodiskt decimaltal.

Period: 148

Leta efter det upprepade mönstret — här är perioden 148.

Svar: Perioden av talet är 148.

Övning

Hitta perioden för ett decimaltal

Omvandla ett bråk till ett decimaltal och bestäm dess perioden.

Olika decimaltal med upprepande decimaler genereras

Teori

Irrationella tal

Förutom rationella tal finns det tal som inte kan skrivas som en kvot mellan två heltal. Dessa tal kallas irrationella tal och kännetecknas av att deras decimalutveckling är aperiodisk, vilket betyder att decimalerna inte följer något regelbundet eller upprepat mönster.

Exempel

Exempel på irrationella tal är de matematiska konstanterna π och e:

π = 3,141 592 653 589 793 2384 626 433 832 795...

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352...

Visste du detta?

Irrationella tal har varit kända sedan antiken, men det var först under medeltiden som matematiker började studera dem mer ingående. Matematiker i Mellanöstern gjorde viktiga upptäckter som senare spreds till Europa genom latinska översättningar.

Exempel

En mystisk film

Viktor och fem av hans vänner ska gå på en film med den intrigerande titeln Numret som fortsatte att dyka upp: sqrt(5). De kom på en idé att betygsätta filmen på en skala som inte brukar användas — från - 10 (en total katastrof) till 10 (det bästa som någonsin skapats).

Elias gav filmen - 1, medan Viktor verkligen gillade den och gav den 7,25.

Bestäm till vilken talmängd vart och ett av de nämnda talen 6, sqrt(5), - 1 och 7,25 hör. Även om ett tal kan tillhöra mer än ett talmängd, koppla varje tal till endast ett talmängd.

6, sqrt(5), - 1, 7,25

Det finns fyra tal som ska kopplas till rätt talmängd.

6 → Naturliga tal

6 är ett positivt heltal som används för att räkna föremål, därför tillhör det de naturliga talen.

sqrt(5)=2,23606797...

sqrt(5) → Irrationellt tal

sqrt(5) har oändligt många icke-upprepande siffror, vilket betyder att det är ett irrationellt tal.

- 1 → Heltal

- 1 är negativt och kan inte vara naturligt, men det uppfyller definitionen av ett heltal.

7,25=725/100

7,25 → Rationellt tal

Det sista talet är 7,25. Detta är ett decimaltal, som också kan uttryckas som en bråkform. Därför är det ett rationellt tal.

Svar:

6 &→ Naturligt tal sqrt(345) &→ Irrationellt tal - 1 &→ Heltal 7,25 &→ Rationellt tal

Teori

Reella tal

Alla tal som kan uttryckas med hjälp av decimaler kallas reella tal (R). Detta omfattar både rationella tal och irrationella tal. Man kan föreställa sig de reella talen som en oändlig tallinje där varje punkt motsvarar ett unikt reellt tal.

Talmängder

De reella talen kan delas in i olika undergrupper:

De naturliga talen (N) ingår i de hela talen (Z).
De hela talen ingår i de rationella talen (Q).
De rationella talen ingår i de reella talen (R).
De reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal.

R: Reella tal

Q: Rationella tal

Z: Hela tal

N: Naturliga tal

R\Q: Irrationella tal

Exempel

Samtal om tal

Viktor och Elias har olika åsikter om reella tal och rationella tal.

Vem har rätt?

Resonemang:

Reella tal är en kombination av rationella och irrationella tal. Därför är alla rationella tal reella, men inte alla reella tal rationella.

Eftersom reella tal omfattar både rationella och irrationella tal, måste de rationella talen ingå i mängden av reella tal.

Svar: Viktor har rätt.

Viktor har rätt eftersom hans påstående stämmer med hur talmängderna förhåller sig till varandra.

Övning

Identifiera talmängder

Kom ihåg att ett tal kan tillhöra mer än en talmängd. Till exempel är 0 ett heltal, ett rationellt tal och ett reellt tal samtidigt.

Betrakta det givna talet i följande applet och välj alla talmängder som talet tillhör.

Teori

Potenser

När vi multiplicerar ett tal med sig självt flera gånger kan vi skriva det som en potens. En potens består av en bas och en exponent. Till exempel är 4^3 en potens där 4 är basen och 3 är exponenten.

4^3 betyder att basen 4 multipliceras med sig själv tre gånger:

4^3 = 4 * 4 * 4.

Tiopotens

En tiopotens är en potens med basen 10. Till exempel:

10^3 = 10 * 10 * 10 = 1 000.

När vi skriver ett tal i grundpotensform uttrycker vi det som ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens. Det är ett kompakt och praktiskt sätt att skriva både mycket stora och mycket små tal.

Utan tiopotens	I grundpotensform
456	4,56 * 10^2
7 213	7,213* 10^3
91 000	9,1 * 10^4
0,000052	5,2 * 10^(-5)

Teori

Prioriteringsregler

När vi arbetar med numeriska uttryck måste vi följa en bestämd ordning för att få korrekta resultat. Denna ordning kallas prioriteringsregler. Reglerna hjälper oss att avgöra vilken operation som ska utföras först i ett uttryck som innehåller flera olika räknesätt.

Följ alltid denna ordning vid beräkningar.

Exempel

Omskrivning av tal mellan olika former

a Skriv talet 219 000 i grundpotensform.

219 000 , → 2 ,19000

För att skriva talet i grundpotensform flyttar du decimaltecknet åt vänster tills du får ett tal mellan 1 och 10. I det här fallet flyttas decimaltecknet 5 steg åt vänster och placeras efter 2.

219 000= 2,19* 10^5

Skriv sedan talet som produkten av det nya talet, 2,19 och 10 upphöjt till antalet steg du flyttade decimaltecknet — vilket är 5.

Svar: 2,19* 10^5

b Skriv talet 4,1* 10^3 utan tiopotens.

4,1 * 10^3 = 4,1 * 1 000 = 4 100,0

Multiplicera 4,1 med 10^3. Eftersom 10^3 = 1 000, flyttas decimaltecknet 3 steg åt höger.

Svar: 4 100

Övning

Översättning mellan grundpotensform och standardform

Skriv om det givna uttrycket i standardform om det är givet i grundpotensform. Skriv om det i grundpotensform om det är givet i standardform.

Slumpmässig generator av uttryck i grundpotensform och standardform

Exempel

Utvärdera numeriska uttryck

Beräkna de numeriska uttrycken enligt prioriteringsreglerna.

a 12* 0,75+6^2

12* 0,75+6^2=

Du börjar med att beräkna potensen 6^2. Det är samma som att multiplicera 6 med sig själv.

=12* 0,75+36=

Sedan multiplicerar du 12 med 0,75. För att förenkla produkten, observera att 0,75=3/4.

=12* 3/4+36=

=9 + 36 = 45

Slutligen adderar du de två resultaten.

Svar: 45

b 9,45/0,15-4

9,45/0,15-4=

Du kan multiplicera både täljaren och nämnaren med 100 för att få en enklare division.

=9,45 * 100/0,15 * 100-4=

=945/15-4=

Sedan dividerar du.

=63 - 4 = 59

Slutligen subtraherar du 4 från resultatet.

Svar: 59

c (6+2*3)* 5^2

(6+2*3)* 5^2=

Du börjar med att beräkna uttrycket inom parentesen. Du multiplicerar först 2 med 3.

=(6+6)* 5^2=

Sedan adderar du 6 till resultatet.

=12* 5^2=

Därefter beräknar du 5^2.

=12* 25=300

Slutligen multiplicerar du de två resultaten.

Svar: 300

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Reella tal Åk 9

Uppgifter

Är det givna talet ett ändligt decimaltal, ett periodiskt decimaltal eller inget av dessa?

0,14151515...

0,141516 ...

0,141

<row> <cell role="sol"> Svar: I talet 0,14151515... upprepas siffrorna 15 oändligt efter inledande 14, därför är det en periodisk decimal. </cell> </row> <row> <cell role="exp"> Återkom till definitionerna och friska upp minnet.

Ändlig decimal: Ett decimaltal vars siffror efter decimaltecknet är ändliga. När det skrivs som ett bråk och man dividerar täljaren med nämnaren, blir resten 0.
Periodisk decimal: Ett decimaltal där vissa siffror efter decimaltecknet upprepas oändligt. När det skrivs som ett bråk och man dividerar täljaren med nämnaren, blir resten aldrig 0 eftersom produkterna och differenserna upprepas.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 0,141516 ... är irrationellt, så det är varken ändligt eller periodiskt. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Talet har oändligt många siffror efter decimaltecknet, och siffrorna upprepar sig inte. Därför är decimaltalet varken ändligt eller periodiskt. Talet kan inte skrivas som en kvot av två heltal, vilket betyder att det är ett irrationellt tal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 0,141 är en ändlig decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Titta på talet 0,141. Det finns bara tre siffror efter decimaltecknet, 141, och inga prickar som visar att decimalen fortsätter. Antalet siffror är alltså ändligt, vilket gör att 0,141 är en ändlig decimal. </cell> </row>

Skriv bråket eller blandade talet som ett decimaltal. Skriv ditt svar med exakt fyra decimaler. Om svaret är ett repeterande decimaltal, avkorta efter fyra siffror. Använd inte (...). Skriv också decimaltalets period.

9/11

19/16

<row> <cell left="true" role="sol"> 9/11=0,8181... </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv bråket som decimaltal med kort division. När rester upprepas och aldrig blir noll, är decimalen periodisk. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Period: 81 </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet har två upprepande siffror, 8 och 1, vilket är talets period. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Bråket 9/11 är ett periodiskt decimaltal: 0,8181... med perioden 81. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 19/16=16/16 + 9/16=25/16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet är i blandad form. Skriv om det som bråkform innan du konverterar det till decimaltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 25/16 = 1,5625 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera täljaren med nämnaren för att skriva talet i decimalform. Eftersom resten till slut blir 0 är 19/16 en ändlig decimal och lika med 1,5625. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Talets decimalform är ändlig och lika med 1,5625. </cell> </row>

Är talet 65,4349224 ... rationellt eller irrationellt? Förklara.

<row> <cell role="sol"> Svar: Talet 65,4349224... är irrationellt eftersom dess decimalutveckling aldrig slutar eller upprepar sig. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> För att avgöra om decimaltalet är rationellt eller irrationellt, tänk på vad begreppen betyder.

Rationella tal: Tal som kan uttryckas som förhållandet mellan två heltal.
Irrationella tal: Tal som inte kan uttryckas som förhållandet mellan två heltal.

Talet har oändliga, icke-repeterande decimaler och kan inte skrivas som ett bråk, därför är det irrationellt. </cell> </row>

Saga ordnar följande rationella tal från minst till störst längs en talinje. 7/3, - 9/10, 113/18, - 2, - 3,111111... Vilken talinje ritade Saga?

<row> <cell left="true" role="sol"> 7/3=2,333333... </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med talet i bråkform 7/3. Dividera 7 med 3 med kort division. Eftersom samma rest upprepas blir decimalutvecklingen en periodisk decimal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> - 9/10 =- 0,9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Det nästa talet är - 9/10. Eftersom nämnaren är en multipel av 10, är detta en ändlig decimal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 113/18 =18/18 + 13/18=31/18=1,7222... </cell> <cell right="true" role="exp"> Det tredje talet är i blandad form. Skriv först om det till bråkform och därefter till ett decimaltal. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Nu kan du lista talen från minst till störst. Du kommer att se att det stämmer överens med grafen i alternativ C.

</cell> </row>

Vilket tal är x?

x * 2^3 = 56

8(x + 0,5) = 48

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 2^3 = 56 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 8 = 56 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna värdet av potensen.
2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 8/8 = 56/8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 8. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x=7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvoten 56/8 är lika med 7. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 8(x + 0,5) = 48 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 8(x + 0,5)/8= 48/8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan dividera båda sidor av ekvationen med 8. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x + 0,5 - 0,5= 6 -0,5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 0,5 från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

Beräkna. 0,8^2

Skriv talen utan tiopotens. 2,1* 10^5

<row> <cell left="true" role="sol"> 0,8^2= </cell> <cell right="true" role="exp"> Att upphöja ett tal till 2 betyder att multiplicera talet med sig självt. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2,1* 10^5=2,1*100 000= </cell> <cell right="true" role="exp"> 10^5 betyder att talet ska multipliceras med 100 000. </cell> </row>

Cajsa har en stor hink som rymmer 15 liter och en liten vattenkanna som rymmer 0,8 liter. Hur många gånger måste Cajsa hälla med vattenkannan för att hinken ska bli full?

<row> <cell left="true" role="sol"> 15/0,8=18,75≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> För att räkna hur många gånger du måste hälla, delar du hinkens volym med kannans volym. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 19 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom du inte kan hälla en del av en kanna, behöver du avrunda uppåt till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cajsa måste hälla vatten 19 gånger. </cell> </row>

Avgör vilka av följande tal som är irrationella.

<row> <cell left="true" role="sol"> - 10/9 är rationellt eftersom det är ett bråk. </cell> <cell right="true" role="exp"> - 10/9 är ett rationellt tal eftersom det kan skrivas som en kvot mellan två heltal med en nämnare som inte är noll. Det kan uttryckas som - 10/9, där - 10 och 9 är heltal, eller som 10/- 9, där 10 och - 9 också är heltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 0 är ett rationellt tal eftersom det kan skrivas som till exempel 0/3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva det som en kvot av två heltal med en nämnare som inte är noll. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5,70 är rationellt eftersom det har en ändlig decimalutveckling. </cell> <cell right="true" role="exp"> När ett tal har en ändlig decimalutveckling är det rationellt. Observera att talet kan skrivas som 57/10. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 0,131313... är rationellt eftersom det har en oändlig periodisk decimalutveckling. </cell> <cell right="true" role="exp"> När ett tal har en oändlig periodisk decimalutveckling är det rationellt. Observera att talet 0,131313... kan skrivas som 13/99. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> π=3,14159265359... är irrationellt. </cell> <cell right="true" role="exp"> Det är ett känt irrationellt tal eftersom dess decimaler aldrig tar slut och inte upprepar sig. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> sqrt(2) = 1,414213... är irrationellt. </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare för att hitta dess decimalform. Talet är irrationellt eftersom dess decimalutveckling aldrig tar slut och inte upprepar sig. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> - sqrt(9) = - 3, och eftersom - 3 är ett heltal är - sqrt(9) rationellt. </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda en miniräknare för att hitta värdet av - sqrt(9). Det är lika med - 3, så det är rationellt. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Bland de givna alternativen är π och sqrt(2) irrationella tal. </cell> </row>

Reella tal Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan