Rationella uttryck

Begrepp

Rationella tal

Rationella tal ( $\mathbb{Q}$ ) är tal som kan skrivas som ett bråk $\frac{a}{b},$ där $a$ och $b$ är heltal och $b\neq 0.$ Exempelvis är $\frac 1 3 \quad \text{och} \quad \frac{31}{45}$

rationella tal. Heltal är också rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk, t.ex. genom att låta nämnaren vara

1,

som i

5=\frac{5}{1}

och

\text{-}3 = \frac{\text{-}3}{1}.

Begrepp

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk där både täljaren och nämnaren är polynom, som t.ex. $\dfrac{x^2-7}{x^3+5x}.$

Ibland döps täljaren till

p(x)

och nämnaren till

q(x).

I det här exemplet är alltså

p(x) = x^2 -7

och

q(x) = x^3 + 5x.

Begrepp

Odefinierat rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör att uttryckets nämnare är lika med $0$ eftersom nolldivision är förbjudet. T.ex. är det rationella uttrycket $\dfrac{x^2+2x-15}{x+3}$

odefinierat för

x=\text{-}3

eftersom polynomet i nämnaren är lika med

0

för detta värde.

För vilka $x$ är de rationella uttrycken odefinierade?

Uppgift

För vilka värden på $x$ är följande rationella uttryck odefinierade? $\dfrac{1}{x - 3} \qquad \dfrac{x}{(x+2)(x-12)} \qquad \dfrac{x^2 +9}{x^2 - 81}$

Lösning

Ett bråk blir odefinierat när nämnaren är lika med $0,$ vilket innebär att vi undersöker när polynomen i nämnarna till de rationella uttrycken är $0.$ Det spelar ingen roll vad täljaren är.

Första uttrycket

Vi börjar med $\frac{1}{x - 3},$ som har $x - 3$ i nämnaren. Sätter vi det lika med $0$ får vi $x - 3 = 0$ som vi löser till $x = 3.$ Det första rationella uttrycket är alltså odefinierat då $x = 3.$

Andra uttrycket

Det andra uttrycket, $\frac{x}{(x+2)(x-12)},$ är odefinierat när $(x+2)(x-12) = 0.$ Denna ekvation går att lösa med nollproduktmetoden, som ger $x = \text{-} 2 \quad \text{och} \quad x = 12,$ vilket alltså är de värden på $x$ då det rationella uttrycket är odefinierat.

Tredje uttrycket

För det sista uttrycket,

\frac{x^2 +9}{x^2 - 81},

får man ekvationen

x^2 - 81 = 0

när man sätter nämnaren lika med

0.

x^2 - 81 = 0

\text{VL}+81=\text{HL}+81

x^2 = 81

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x = \pm \sqrt{81}

Beräkna rot

x = \pm 9

Det sista rationella uttrycket är alltså odefinierat när

x = \text{-} 9

och när

x = 9.

Visa lösning

Regel

Förlänga och förkorta rationella uttryck

Eftersom rationella uttryck är bråk går det att förlänga eller förkorta dem med en faktor utan att kvotens värde förändras. När man förlänger det rationella uttrycket $\frac{p(x)}{q(x)}$ med faktorn $k$ gäller alltså följande likhet.

$\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)\cdot k}{q(x)\cdot k}$

Om man istället förkortar med faktorn $k$ får man en motsvarande likhet. I båda fall kan faktorn $k$ vara alla tal utom $0$ eftersom det skulle leda till en nolldivision.

$\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)/ k}{q(x)/ k}$

Det går också att förlänga eller förkorta med ett helt polynom. Exempelvis kan man förkorta det rationella uttrycket $\frac{x - 1}{x(x - 1)}$ med faktorn $(x-1)$ : $\dfrac{x - 1}{x (x - 1)} = \dfrac{1}{x}.$

Lägg märke till definitionsmängden. Det första uttrycket är odefinierat för

x=1,

men i det andra uttrycket går

x=1

fint. Det ser ut som att definitionsmängden utökats i förkortningen, men så är det inte.

x

-värden som är otillåtna från början är otillåtna genom hela beräkningen.

Begrepp

Enklaste form (rationellt uttryck)

Ett rationellt uttryck skrivet på sin enklaste form är förkortat så långt det går, dvs. man kan inte bryta ut och förkorta med någon gemensam faktor i täljare och nämnare. T.ex. är $\dfrac{x+3}{x-1} \quad \text{och} \quad \dfrac{x}{x+5}$ skrivna på enklaste form, medan $\dfrac{2x+6}{2x^2 - 2} \quad \text{och} \quad \dfrac{x^2 - x}{x + x^2}$

kan förkortas med

2

respektive

x.

Förenkla det rationella uttrycket genom att bryta ut faktor

Uppgift

Skriv det rationella uttrycket $\dfrac{3x^2 + 9}{3x-12}$ på sin enklaste form.

Lösning

Alla termer i täljare och nämnare är delbara med $3.$ Man kan därför bryta ut denna faktor ur båda polynom och därefter förkorta med $3.$

\dfrac{3x^2 + 9}{3x-12}

Dela upp i faktorer

\dfrac{3\cdot x^2 + 3\cdot 3}{3\cdot x-3\cdot 4}

Bryt ut

3

\dfrac{3\left(x^2 + 3\right)}{3\left(x-4\right)}

Förkorta med

3

\dfrac{x^2 + 3}{x-4}

Det går inte att förkorta detta uttryck längre eftersom det inte finns någon gemensam faktor i täljare och nämnare. Uttrycket är alltså skrivet på sin enklaste form.

Visa lösning

Metod

Förenkla rationella uttryck

För att kunna förenkla ett rationellt uttryck måste det finnas en gemensam faktor i täljaren och nämnaren. Om det gör det kan uttrycket förenklas genom att den förkortas bort. Gemensamma faktorer kan hittas genom att på olika sätt faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Exempelvis kan det rationella uttrycket

\dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9}

förenklas genom att ta hjälp av följande checklista.

1

Kan man bryta ut faktorer?

Undersök först om det finns någon gemensam faktor för alla termer i täljaren eller nämnaren, och i så fall, bryt ut den. I det här fallet finns faktorn

x

i båda termerna i täljaren.

\dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9}

Dela upp i faktorer

\dfrac{x \cdot 9 - x\cdot x^2}{x^2 - 6x + 9}

Bryt ut

x

\dfrac{x \left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}

2

Kan man faktorisera med konjugatregeln?

Sedan undersöker man om det är möjligt att faktorisera något med konjugatregeln. Man söker alltså efter ett uttryck på formen

a^2 - b^2

som kan faktoriseras till

(a + b)(a - b).

I exemplet finns

9 - x^2

i täljaren, vilket kan faktoriseras på detta sätt.

\dfrac{x\left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}

Skriv som potens

\dfrac{x \left(3^2 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}

Faktorisera med konjugatregeln

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}

3

Kan man faktorisera med kvadreringsreglerna?

Man bör också undersöka om det går att faktorisera någonting med första eller andra kvadreringsregeln. Man söker alltså efter uttryck på formen

a^2 + 2ab + b^2

eller

a^2 - 2ab + b^2

som kan faktoriseras till

(a + b)^2

respektive

(a - b)^2.

I exemplet kan nämnaren faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}

Dela upp i faktorer

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 9}

Skriv som potens

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2}

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}

4

Måste man bryta ut ett minustecken?

I vissa fall måste man bryta ut ett minustecken ur en faktor för att den ska få samma utseende som en annan faktor. I exemplet kan man se att faktorn

3 - x

i täljaren är nästan identisk med faktorn

x - 3

i nämnaren och om man bryter ut

\text{-}1

i täljaren blir de likadana.

\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}

Omarrangera faktorer

\dfrac{(3 - x) \cdot x \cdot (3 + x)}{(x - 3)^2}

a-b=\text{-}(b-a)

\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}

5

Förkorta faktorer

När täljaren och nämnaren är helt faktoriserade identifierar man de faktorer som finns i båda och förkortar bort dem. I exemplet kan man nu se att faktorn

x - 3

finns en gång i täljaren och två gånger i nämnaren, så det går att förkorta med den en gång.

\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}

Förkorta med

(x - 3)

\dfrac{\text{-} x (3 + x)}{x - 3}

Det rationella uttrycket har nu förenklats så långt som det går. Om man vill bli av med ytterligare ett tecken kan man flytta ned minustecknet till nämnaren och multiplicera in det. Då får man

\dfrac{x (3 + x)}{\text{-}(x - 3)}=\dfrac{x (3 + x)}{3 - x}.

Förenkla det rationella uttrycket med konjugatregeln

Uppgift

Skriv det rationella uttrycket $\dfrac{x^2 - 25}{x (x + 5)}$ på sin enklaste form.

Lösning

Vi ser att täljaren innehåller uttrycket

x^2-25

som kan faktoriseras med hjälp av konjugatregeln. Gör man det ser man att faktorn

(x + 5)

finns i både täljaren och nämnaren, vilket innebär att den kan förkortas bort.

\dfrac{x^2 - 25}{x (x + 5)}

Skriv som potens

\dfrac{x^2 - 5^2}{x (x + 5)}

Faktorisera med konjugatregeln

\dfrac{(x-5)(x+5)}{x (x + 5)}

Förkorta med

(x+5)

\dfrac{x-5}{x}

Nämnare och täljare har nu inga gemensamma faktorer, vilket betyder att det rationella uttrycket är skrivet på sin enklaste form.

Visa lösning

Rationella uttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Rationella tal

Rationellt uttryck

Odefinierat rationellt uttryck

Exempel

För vilka $x$ är de rationella uttrycken odefinierade?

Första uttrycket

Andra uttrycket

Tredje uttrycket

Förlänga och förkorta rationella uttryck

Enklaste form (rationellt uttryck)

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket genom att bryta ut faktor

Förenkla rationella uttryck

1

2

3

4

5

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket med konjugatregeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning

Polynom och funktioner

Exempel

För vilka xxx är de rationella uttrycken odefinierade?

Första uttrycket

Andra uttrycket

Tredje uttrycket

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket genom att bryta ut faktor

1

2

3

4

5

Exempel

Förenkla det rationella uttrycket med konjugatregeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning

För vilka $x$ är de rationella uttrycken odefinierade?