{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Polynom och funktioner

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Polynom och funktioner
Rationella uttryck

Rationella uttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Rationella tal

Rationella tal (Q\mathbb{Q}) är tal som kan skrivas som ett bråk ab,\frac{a}{b}, där aa och bb är heltal och b≠0.b\neq 0. Exempelvis är 13och3145 \frac 1 3 \quad \text{och} \quad \frac{31}{45}

rationella tal. Heltal är också rationella eftersom de alltid kan skrivas som bråk, t.ex. genom att låta nämnaren vara 1,1, som i 5=515=\frac{5}{1} och -3=-31.\text{-}3 = \frac{\text{-}3}{1}.
Begrepp

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk där både täljaren och nämnaren är polynom, som t.ex. x2−7x3+5x. \dfrac{x^2-7}{x^3+5x}.

Ibland döps täljaren till p(x)p(x) och nämnaren till q(x).q(x). I det här exemplet är alltså p(x)=x2−7p(x) = x^2 -7 och q(x)=x3+5x.q(x) = x^3 + 5x.
Begrepp

Odefinierat rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck är odefinierat för de värden som gör att uttryckets nämnare är lika med 00 eftersom nolldivision är förbjudet. T.ex. är det rationella uttrycket x2+2x−15x+3 \dfrac{x^2+2x-15}{x+3}

odefinierat för x=-3x=\text{-}3 eftersom polynomet i nämnaren är lika med 00 för detta värde.
Uppgift

För vilka värden på xx är följande rationella uttryck odefinierade? 1x−3x(x+2)(x−12)x2+9x2−81 \dfrac{1}{x - 3} \qquad \dfrac{x}{(x+2)(x-12)} \qquad \dfrac{x^2 +9}{x^2 - 81}

Lösning

Ett bråk blir odefinierat när nämnaren är lika med 0,0, vilket innebär att vi undersöker när polynomen i nämnarna till de rationella uttrycken är 0.0. Det spelar ingen roll vad täljaren är.

Första uttrycket

Vi börjar med 1x−3,\frac{1}{x - 3}, som har x−3x - 3 i nämnaren. Sätter vi det lika med 00 får vi x−3=0x - 3 = 0 som vi löser till x=3. x = 3. Det första rationella uttrycket är alltså odefinierat då x=3.x = 3.

Andra uttrycket

Det andra uttrycket, x(x+2)(x−12),\frac{x}{(x+2)(x-12)}, är odefinierat när (x+2)(x−12)=0.(x+2)(x-12) = 0. Denna ekvation går att lösa med nollproduktmetoden, som ger x=-2ochx=12, x = \text{-} 2 \quad \text{och} \quad x = 12, vilket alltså är de värden på xx då det rationella uttrycket är odefinierat.

Tredje uttrycket

För det sista uttrycket, x2+9x2−81,\frac{x^2 +9}{x^2 - 81}, får man ekvationen x2−81=0x^2 - 81 = 0 när man sätter nämnaren lika med 0.0.
x2−81=0x^2 - 81 = 0
VL+81=HL+81\text{VL}+81=\text{HL}+81
x2=81x^2 = 81
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x=±81x = \pm \sqrt{81}
Beräkna rot
x=±9x = \pm 9
Det sista rationella uttrycket är alltså odefinierat när x=-9x = \text{-} 9 och när x=9.x = 9.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Förlänga och förkorta rationella uttryck

Eftersom rationella uttryck är bråk går det att förlänga eller förkorta dem med en faktor utan att kvotens värde förändras. När man förlänger det rationella uttrycket p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)} med faktorn kk gäller alltså följande likhet.

p(x)q(x)=p(x)⋅kq(x)⋅k\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)\cdot k}{q(x)\cdot k}

Om man istället förkortar med faktorn kk får man en motsvarande likhet. I båda fall kan faktorn kk vara alla tal utom 00 eftersom det skulle leda till en nolldivision.

p(x)q(x)=p(x)/kq(x)/k\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)/ k}{q(x)/ k}

Det går också att förlänga eller förkorta med ett helt polynom. Exempelvis kan man förkorta det rationella uttrycket x−1x(x−1)\frac{x - 1}{x(x - 1)} med faktorn (x−1)(x-1): x−1x(x−1)=1x. \dfrac{x - 1}{x (x - 1)} = \dfrac{1}{x}.

Lägg märke till definitionsmängden. Det första uttrycket är odefinierat för x=1,x=1, men i det andra uttrycket går x=1x=1 fint. Det ser ut som att definitionsmängden utökats i förkortningen, men så är det inte. xx-värden som är otillåtna från början är otillåtna genom hela beräkningen.
Begrepp

Enklaste form (rationellt uttryck)

Ett rationellt uttryck skrivet på sin enklaste form är förkortat så långt det går, dvs. man kan inte bryta ut och förkorta med någon gemensam faktor i täljare och nämnare. T.ex. är x+3x−1ochxx+5 \dfrac{x+3}{x-1} \quad \text{och} \quad \dfrac{x}{x+5} skrivna på enklaste form, medan 2x+62x2−2ochx2−xx+x2 \dfrac{2x+6}{2x^2 - 2} \quad \text{och} \quad \dfrac{x^2 - x}{x + x^2}

kan förkortas med 22 respektive x.x.
Uppgift

Skriv det rationella uttrycket 3x2+93x−12 \dfrac{3x^2 + 9}{3x-12} på sin enklaste form.

Lösning

Alla termer i täljare och nämnare är delbara med 3.3. Man kan därför bryta ut denna faktor ur båda polynom och därefter förkorta med 3.3.

3x2+93x−12\dfrac{3x^2 + 9}{3x-12}
Dela upp i faktorer
3⋅x2+3⋅33⋅x−3⋅4\dfrac{3\cdot x^2 + 3\cdot 3}{3\cdot x-3\cdot 4}
Bryt ut 33
3(x2+3)3(x−4)\dfrac{3\left(x^2 + 3\right)}{3\left(x-4\right)}
Förkorta med 33
x2+3x−4\dfrac{x^2 + 3}{x-4}
Det går inte att förkorta detta uttryck längre eftersom det inte finns någon gemensam faktor i täljare och nämnare. Uttrycket är alltså skrivet på sin enklaste form.
Visa lösning Visa lösning
Metod

Förenkla rationella uttryck

För att kunna förenkla ett rationellt uttryck måste det finnas en gemensam faktor i täljaren och nämnaren. Om det gör det kan uttrycket förenklas genom att den förkortas bort. Gemensamma faktorer kan hittas genom att på olika sätt faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Exempelvis kan det rationella uttrycket 9x−x3x2−6x+9 \dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9} förenklas genom att ta hjälp av följande checklista.

1

Kan man bryta ut faktorer?
Undersök först om det finns någon gemensam faktor för alla termer i täljaren eller nämnaren, och i så fall, bryt ut den. I det här fallet finns faktorn xx i båda termerna i täljaren.
9x−x3x2−6x+9\dfrac{9x - x^3}{x^2 - 6x + 9}
Dela upp i faktorer
x⋅9−x⋅x2x2−6x+9\dfrac{x \cdot 9 - x\cdot x^2}{x^2 - 6x + 9}
Bryt ut xx
x(9−x2)x2−6x+9\dfrac{x \left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}

2

Kan man faktorisera med konjugatregeln?
Sedan undersöker man om det är möjligt att faktorisera något med konjugatregeln. Man söker alltså efter ett uttryck på formen a2−b2a^2 - b^2 som kan faktoriseras till (a+b)(a−b).(a + b)(a - b). I exemplet finns 9−x29 - x^2 i täljaren, vilket kan faktoriseras på detta sätt.
x(9−x2)x2−6x+9\dfrac{x\left(9 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}
Skriv som potens
x(32−x2)x2−6x+9\dfrac{x \left(3^2 - x^2 \right)}{x^2 - 6x + 9}
Faktorisera med konjugatregeln
x(3+x)(3−x)x2−6x+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}

3

Kan man faktorisera med kvadreringsreglerna?
Man bör också undersöka om det går att faktorisera någonting med första eller andra kvadreringsregeln. Man söker alltså efter uttryck på formen a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 eller a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 som kan faktoriseras till (a+b)2(a + b)^2 respektive (a−b)2.(a - b)^2. I exemplet kan nämnaren faktoriseras med andra kvadreringsregeln.
x(3+x)(3−x)x2−6x+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 6x + 9}
Dela upp i faktorer
x(3+x)(3−x)x2−2⋅x⋅3+9\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 9}
Skriv som potens
x(3+x)(3−x)x2−2⋅x⋅3+32\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2}
Faktorisera med andra kvadreringsregeln
x(3+x)(3−x)(x−3)2\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}

4

Måste man bryta ut ett minustecken?
I vissa fall måste man bryta ut ett minustecken ur en faktor för att den ska få samma utseende som en annan faktor. I exemplet kan man se att faktorn 3−x3 - x i täljaren är nästan identisk med faktorn x−3x - 3 i nämnaren och om man bryter ut -1\text{-}1 i täljaren blir de likadana.
x(3+x)(3−x)(x−3)2\dfrac{x (3 + x)(3 - x)}{(x - 3)^2}
Omarrangera faktorer
(3−x)⋅x⋅(3+x)(x−3)2\dfrac{(3 - x) \cdot x \cdot (3 + x)}{(x - 3)^2}
a−b=-(b−a)a-b=\text{-}(b-a)
-(x−3)⋅x⋅(3+x)(x−3)2\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}

5

Förkorta faktorer
När täljaren och nämnaren är helt faktoriserade identifierar man de faktorer som finns i båda och förkortar bort dem. I exemplet kan man nu se att faktorn x−3x - 3 finns en gång i täljaren och två gånger i nämnaren, så det går att förkorta med den en gång.
-(x−3)⋅x⋅(3+x)(x−3)2\dfrac{\text{-} (x - 3)\cdot x \cdot(3 + x)}{(x - 3)^2}
Förkorta med (x−3)(x - 3)
-x(3+x)x−3\dfrac{\text{-} x (3 + x)}{x - 3}
Det rationella uttrycket har nu förenklats så långt som det går. Om man vill bli av med ytterligare ett tecken kan man flytta ned minustecknet till nämnaren och multiplicera in det. Då får man x(3+x)-(x−3)=x(3+x)3−x. \dfrac{x (3 + x)}{\text{-}(x - 3)}=\dfrac{x (3 + x)}{3 - x}.
Uppgift

Skriv det rationella uttrycket x2−25x(x+5) \dfrac{x^2 - 25}{x (x + 5)} på sin enklaste form.

Lösning
Vi ser att täljaren innehåller uttrycket x2−25x^2-25 som kan faktoriseras med hjälp av konjugatregeln. Gör man det ser man att faktorn (x+5)(x + 5) finns i både täljaren och nämnaren, vilket innebär att den kan förkortas bort.
x2−25x(x+5)\dfrac{x^2 - 25}{x (x + 5)}
Skriv som potens
x2−52x(x+5)\dfrac{x^2 - 5^2}{x (x + 5)}
Faktorisera med konjugatregeln
(x−5)(x+5)x(x+5)\dfrac{(x-5)(x+5)}{x (x + 5)}
Förkorta med (x+5)(x+5)
x−5x\dfrac{x-5}{x}
Nämnare och täljare har nu inga gemensamma faktorer, vilket betyder att det rationella uttrycket är skrivet på sin enklaste form.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det rationella uttrycket R(x)=x+7x−7R(x)=\dfrac{x+7}{x-7} är givet.

a

Beräkna R(8).R(8).

b

När är R(x)R(x) odefinierat?

c

Förläng det rationella uttrycket med 7.7.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av uttrycken är odefinierade respektive definierade när man sätter in x=3?x=3? A: 1x+4B: 59−3xC: 818−2x2\begin{aligned} \textbf{A: }\dfrac{1}{x+4} \quad \textbf{B: }\dfrac{5}{9-3x} \quad \textbf{C: }\dfrac{8}{18-2x^2} \end{aligned}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilket värde på xx är 3x−216−x\dfrac{3x - 21}{6 - x} inte definierat?

Nationella provet HT12 3b/3c
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka värden kan xx inte anta i de rationella uttrycken?

a

4x\dfrac{4}{x}

b

x+42+x\dfrac{x+4}{2+x}

c

x+4x2\dfrac{x+4}{x^2}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge exempel på ett rationellt uttryck som är odefinierat för x=5x=5 och x=-7.x=\text{-}7.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de rationella uttrycken så långt det går.


a

16+8x4x−4x2\dfrac{16+8x}{4x-4x^2}

b

x2−2xx3+3x\dfrac{x^2-2x}{x^3+3x}

c

3x−9x2−3x\dfrac{3x-9}{x^2-3x}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arvid försöker beräkna uttrycket 2a+ba−3b \dfrac{2a+b}{a-3b} när a=6a=6 och b=2b=2 på sin räknare men får ERROR. Varför får han det?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

18−2x(x+3)(x−9)\dfrac{18 - 2x}{(x + 3)(x - 9)}

b

x2−255−x\dfrac{x^2 - 25}{5 - x}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förläng de rationella uttrycken med xx och utveckla täljare och nämnare.

a

x+3x\dfrac{x+3}{x}

b

x2+7x+1\dfrac{x^2+7}{x+1}

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jamil förlänger det rationella uttrycket x+8x \dfrac{x+8}{x} med x.x. Han påstår att man då inte kan få något negativt funktionsvärde för olika värden på xx eftersom dessa kommer kvadreras. Är det verkligen så?

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka värden på xx är uttrycken odefinierade?


a

x3x2+18x\dfrac{x}{3x^2+18x}

b

xx2+10x+25\dfrac{x}{x^2+10x+25}

c

x2x2−8\dfrac{x}{2x^2-8}

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt det går.

a

x2−xx−1+5x+x35+x2 \dfrac{x^2-x}{x-1}+\dfrac{5x+x^3}{5+x^2}

b

2x2x2+14x−33x+21 \dfrac{2x}{2x^2+14x}-\dfrac{3}{3x+21}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket eller vilka av följande uttryck är rationella? A:  x3+x2.6+xx−5B:  3−4x22x−52.5C:  x−x2−x8x2−9D:  (x−2x)2\begin{aligned} &\textbf{A: } \ \dfrac{x^3 + x^{2.6}+x}{x-5} \quad &\textbf{B: }& \ \dfrac{3-4x^2}{2x-5^{2.5}} \\[1em] &\textbf{C: } \ \dfrac{\sqrt{x}-x^2-x}{8x^2-9} \quad &\textbf{D: }& \ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2 \end{aligned}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de rationella uttrycken så långt det går.

a

5x2−510x−10\dfrac{5x^2-5}{10x-10}

b

y3+yy3−y\dfrac{y^3+y}{y^3-y}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv de rationella uttrycken på enklaste form.


a

x2−y2x−y\dfrac{x^2-y^2}{x-y}

b

x2−2xy+y22x−2y\dfrac{x^2-2xy+y^2}{2x-2y}

c

12x2−x3x3−12x2\dfrac{12x^2-x^3}{x^3-12x^2}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 32−2x2x+4\dfrac{32 - 2x^2}{x + 4} när x=3.99x = 3.99 utan att använda räknare.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är 12x\dfrac{1}{2x} ett rationellt uttryck? Motivera.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som är odefinierat för xx-värdena 33 och -6.\text{-}6.

b

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som är definierat för alla x.x.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polynomet x3−4xx^3 - 4x divideras med ett annat polynom, vilket ger x−2x - 2 efter förenkling. Vilket polynom delade man med?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Varför kan 9a+9ba+b\dfrac{9a+9b}{a+b} förkortas men inte a+9ba+b?\dfrac{a+9b}{a+b}?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 3z−3y3y−3z=-1\dfrac{3z-3y}{3y-3z}=\text{-}1 om z≠y.z\neq y.

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla så långt som möjligt.

a

(x−3)(x+2)2x−6\dfrac{(x-3)(x+2)}{2x-6}

b

x2+8x+162x2−32\dfrac{x^2+8x+16}{2x^2-32}

Nationella provet HT12 3b/3c
 Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (x+3)2−1x+2.\dfrac{(x + 3)^2 - 1}{x + 2}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett rationellt uttryck har täljaren x2−5x+6x^2 - 5x + 6 och nämnaren x2+3x−18.x^2 + 3x - 18. För vilket eller vilka xx är det rationella uttrycket lika med 5?5?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de rationella uttrycken så långt det går.

a

(2−3x)23x−2\dfrac{(2-3x)^2}{3x-2}

b

49a2−14a+11−49a2\dfrac{49a^2-14a+1}{1-49a^2}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionerna R(x)R(x) och G(x)G(x) är rationella uttryck. R(x)=x2−6x+9x2−9ochG(x)=x−3x+3 R(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} \quad \text{och} \quad G(x) = \dfrac{x - 3}{x + 3}

a

Förenkla R(x).R(x).

b

Hur skiljer sig G(x)G(x) från det förenklade uttrycket?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka xx-värden är uttrycken odefinierade?

a

2x−8undefinedx+3x−5\left.\dfrac{2}{x-8}\middle/\dfrac{x+3}{x-5}\right.

b

x5x+7undefinedx+19x\left.\dfrac{x^5}{x+7}\middle/\dfrac{x+19}{x}\right.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ulla och Ulf sätter in x=3x=3 i det rationella uttrycket 2x−6x2−9. \dfrac{2x-6}{x^2-9}. När Ulla beräknar uttrycket får hon 13.\frac{1}{3}. Ulf, som är matematiklärare, menar dock att uttrycket är odefinierat för x=3.x=3. Vem har rätt? Motivera!

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}