Räta linjers egenskaper

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers

k

-värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.

Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k$ -form innebär det att deras $k$ -värden, $k_1$ och $k_2,$ är samma.

$k_1 = k_2$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma

m

-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Är linjerna parallella?

Uppgift

Är den räta linjen som går igenom punkterna $(1,2)$ och $(3,8)$ parallell med linjen $y=3x+5?$

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma $k$ -värde. Den räta linjen $y=3x+5$ har $k$ -värdet $3.$ Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i $k$ -formeln.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{3,8}}\right)

&

\left({\color{#009600}{1,2}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{8}}-{\color{#009600}{2}}}{{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#009600}{1}}}

Förenkla termer

k=\dfrac{6}{2}

Beräkna kvot

k=3

Linjerna har alltså samma $k$ -värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika $m$ -värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in $k=3$ samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. $(1,2),$ i räta linjens ekvation.

 $y=3x+m$ 
 $x={\color{#0000FF}{1}}$ ,  $y={\color{#009600}{2}}$ 
 ${\color{#009600}{2}}=3 \cdot {\color{#0000FF}{1}}+m$ 
Multiplicera faktorer
 $2=3+m$ 
 $\text{VL}-3=\text{HL}-3$ 
 $\text{-}1=m$ 
Omarrangera ekvation
 $m=\text{-}1$

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså $y=3x-1.$ Denna linje och $y=3x+5$ har samma $k$ -värde men olika $m$ -värden och är därmed parallella.

Visa lösning

Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $90^\circ$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_1

och

k_2,

lika med

\text{-} 1.

$k_1\cdot k_2=\text{-} 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k

-värden. Om produkten blir

\text{-}1

är de vinkelräta.

Är linjerna vinkelräta?

Uppgift

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras $k$ -värden är $\text{-}1.$ Vi kan läsa av att lutningarna är $\text{-}2$ och $0.4,$ så det är bara att multiplicera dem: $\text{-}2\cdot 0.4 = \text{-}0.8.$ Produkten blev inte $\text{-}1,$ så linjerna är inte vinkelräta.

Visa lösning

Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på $k$ -form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

$ax+by+c=0$

Flera kombinationer av konstanterna

a

,

b

och

c

kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut

y

får man linjen skriven på

k

-form.

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Uppgift

Skriv den räta linjen $2y+8-4x=0$ på $k$ -form.

Lösning

För att skriva om linjen till $k$ -form löser vi ut $y.$

2y+8-4x=0

\text{VL}+4x=\text{HL}+4x

2y+8=4x

\text{VL}-8=\text{HL}-8

2y=4x-8

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

y=2x-4

Den räta linjen är alltså $y=2x-4$ på $k$ -form.

Visa lösning

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Uppgift

Skriv linjen $y=0.4x-7$ på allmän form.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med $10$ eftersom produkten av $10\cdot0.4$ är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y=0.4x-7

\text{VL} \cdot 10=\text{HL}\cdot 10

10y=4x-70

\text{VL}-4x=\text{HL}-4x

10y-4x=\text{-}70

\text{VL}+70=\text{HL}+70

10y-4x+70=0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med $2.$ På allmän form skrivs linjen alltså $5y-2x+35=0.$

Visa lösning

Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k$ -form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $\left(x_1,y_1\right)$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y-y_1 = k(x-x_1)$

Sätter man in de kända koordinaterna $x_1$ och $y_1$ i enpunktsformen och löser ut $y$ får man linjen på $k$ -form.

Härledning
$y-y_1 = k(x-x_1)$

Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

\text{VL} \cdot (x_2-x_1)=\text{HL}\cdot (x_2-x_1)

k\left(x_2-x_1\right) = y_2-y_1

Omarrangera ekvation

y_2-y_1 = k(x_2-x_1)

Den specifika punkten $(x_2,y_2)$ byts sedan ut till den allmänna $(x,y)$ , vilket ger enpunktsformen.

Räta linjers egenskaper

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Parallella linjer

Exempel

Är linjerna parallella?

Vinkelräta linjer

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Allmän form - rät linje

Exempel

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Exempel

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Enpunktsform

Härledning

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Facit

Linjära funktioner och ekvationssystem

Exempel

Är linjerna parallella?

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Exempel

Omvandla från allmän form till kkk-form

Exempel

Omvandla från kkk-form till allmän form

Härledning

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Facit

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Omvandla från $k$ -form till allmän form