Räkna med vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna (9,0),(9,0), dvs. summan av u\vec{u} och v\vec{v}:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas xx- och yy-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Om vektorerna w=(4,2)\vec w=(4,2) och z=(2,3)\vec z=(2,3) adderas, kan man skriva resultanten som w+z=(6,5).\overrightarrow{w+z}=(6,5). Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.
Addera vektorer

Återställ

Uppgift

Addera vektorerna u\vec{u} och v\vec{v}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(-2,2)\vec{u}=(\text{-}2,2) och v=(2,1),\vec{v}=(2,1), kan skrivas som en addition av u\vec{u} och den negativa vektorn -v:\text{-}\vec{v}: uv=u+(-v). \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(\text{-}\vec{v}). Vektorn -v\text{-}\vec{v} har samma storlek som v\vec{v}, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten uv\vec{u}-\vec{v} blev alltså (-4,1),(\text{-} 4, 1), dvs. differensen av x-x\text{-} och yy-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

(a,b)(c,d)=(ac,bd)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

Uppgift

Subtrahera v\vec{v} från u\vec{u}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

a(b,c)=(ab,ac)a\cdot(b,c)=(a \cdot b,a \cdot c)

Om v=(4,2)\vec{v}=(4,2) multipliceras med talet 33 får man den nya vektorn 3v=(34,32)=(12,6).3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(12,6). Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. 3v3\vec{v} är då lika med summan v+v+v\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.

Multiplicera med 3

Återställ

3v3\vec{v} har alltså samma riktning som v\vec{v}, men är tre gånger längre.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Addera vektorerna v=(3,2)\vec{v}=(3,2) och u=(-2,4).\vec{u}=(\text{-} 2, 4).

b

Rita vektorerna och resultanten, r,\vec{r}, i ett rutnät.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna resultanten på koordinatform av följande vektorer.


a

(4,3)+(8,-2)(3,2)(4,3)+(8,\text{-} 2)-(3,2)

b

(2,4)(-6,-8)+(0,5)(2,4)-(\text{-} 6,\text{-} 8)+(0,5)

c

2(0,6)3(2,-3)2\cdot (0,6)-3\cdot (2,\text{-} 3)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita resultanten r\vec{r} till vektorerna u,\vec{u}, v,\vec{v}, och w\vec{w} och bestäm dess koordinater.

Uppgift772 1.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan syns två vektorer v\vec{v} och u.\vec{u}.

Exercise787 1.svg


a

Rita resultanten r=v+u.\vec{r}=\vec{v}+\vec{u}.

b

Rita resultanten r=vu.\vec{r}=\vec{v}-\vec{u}.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Walter har just förklarat för Jesse att en vektor har både storlek och riktning. Jesses blick faller över en figur som ser ut på följande sätt.

Uppgift788 1.svg

Jesse pekar på den högra vektorn och frågar Walter: "Men Walter, hur vet jag att vektorn 2a2\vec{a} har just den där storleken och riktningen?" Hjälp Walter att förklara detta för Jesse!

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har vektorn w=(2,1).\vec{w}=(2,1).


a

Beräkna koordinaterna för vektorerna 3w3\vec{w} och -3w.\text{-}3\vec{w}.

b

Är 3w3\vec{w} och -3w\text{-}3\vec{w} lika långa? Visa med beräkningar.

c

Har de samma riktning? Undersök genom att rita vektorerna 3w3\vec{w} och -3w.\text{-}3\vec{w}.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för r=abc\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} genom att rita resultanten.

Uppgift773 1.svg
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande resultanter om a=(-4,6),\vec{a}=(\text{-}4,6), b=(0,-8)\vec{b}=(0,\text{-}8) och c=(4,-11).\vec{c}=(4,\text{-}11).


a

-ac\text{-}\vec{a}-\vec{c}

b

-3ba\text{-}3\vec{b}-\vec{a}

c

-ba5c\text{-}\vec{b}-\vec{a}-5\vec{c}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har vektorerna u=(3,-6),\vec{u}=(3,\text{-} 6), v=(-1,4)\vec{v}=(\text{-}1,4) och w=(8,0).\vec{w}=(8,0). Bestäm koordinaterna för resultanten av följande uträkningar. Svara exakt.


a

u+2v+3w\vec{u}+2\vec{v}+3\vec{w}

b

4u2v4\vec{u}-2\vec{v}

c

23v13u+43w\dfrac{2}{3}\vec{v}-\dfrac{1}{3}\vec{u}+\dfrac{4}{3}\vec{w}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att -3v=(-18,12).\text{-}3\vec{v}=(\text{-}18,12). Bestäm v\vec{v} och rita den i ett rutnät.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sten-Erik har ritat upp följande figur.

Exercise780 1.svg


a

Visa med beräkningar att Sten-Erik har gjort rätt.

b

Visa grafiskt att Sten-Erik har gjort rätt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Visa på minst två olika sätt som man kan bilda den röda resultanten r\vec{r} med hjälp av vektorerna v1,\vec{v}_1, v2\vec{v}_2 och v3.\vec{v}_3.

Uppgift782 1.svg
b

Skriv r\vec{r} som en summa av vektorerna v1,\vec{v}_1, v2\vec{v}_2 och v3\vec{v}_3 utifrån dina figurer i första deluppgiften.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange ett samband mellan u\vec{u}, v\vec{v} och r\vec{r} som stämmer in på figuren. Skriv vektorerna u\vec{u}, v\vec{v} och r\vec{r} på koordinatform och visa att sambandet stämmer.

Exercise778 1.svg
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre lag (u,u, vv och ww) tävlar i dragkamp. Lagens rep har fästs i en ring och de drar i sina respektive rep med krafter som ritats i nedanstående figur.

Exercise771 1.svg
a

Visa att ingen vinner om inte något lag ger upp.

b

Vem vinner om lag ww ger upp och lag vv och lag uu drar med samma kraft som tidigare?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange koordinaterna för vektorn PQ\overrightarrow{PQ}P=(2,2)P =(2,2) och Q=(2,0).Q = (2,0).

Nationella provet VT12 1c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet de två vektorerna u=(-3a,4)\vec{u}=(\text{-} 3a,4) och v=(7,2),\vec{v}=(7, 2), vad måste aa och bb vara om nedanstående ekvation ska stämma: au+v=(-5,b). a\cdot\vec{u}+\vec{v}=(\text{-}5,b).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Emil och Nils drar en jolle rakt fram med kraften 420 N. Nils har ett kortare rep än Emil så han står närmare båten.

Exercise776 1.svg

Med hur stor kraft drar Emil respektive Nils i båten?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Dela upp vektorn v\vec{v} i två komposanter som varken är lodräta eller vågräta och som börjar i startpunkten till v.\vec{v}.

Uppgift942.svg
b

Dela upp vektorn u\vec{u} i tre komposanter som varken är lodräta eller vågräta och som börjar i startpunkten till u.\vec{u}.

Uppgift943 2.svg
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är vektorerna v=(-3,2)\vec{v}=(\text{-}3,2) och z=(-2,-3)\vec{z}=(\text{-}2,\text{-}3) vinkelräta?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att kv=kv|k\cdot\vec{v}|=k\cdot|\vec{v}| för en godtycklig vektor v\vec{v} och en positiv skalär kk.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}