Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Räkna med vektorer


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.
Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så resultanten r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna (9,0),(9,0), dvs. summan av u\vec{u} och v\vec{v}:s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas xx- och yy-koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Om vektorerna w=(4,2)\vec w=(4,2) och z=(2,3)\vec z=(2,3) adderas, kan man skriva resultanten som w+z=(6,5).\overrightarrow{w+z}=(6,5). Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.
Addera vektorer

Återställ

Uppgift

Addera vektorerna u\vec{u} och v\vec{v}.

Lösning

Vi kan addera vektorerna på två sätt, algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Exempel

Algebraiskt

När man adderar vektorer ska xx-koordinater adderas för sig och y-koordinaterna för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkterna.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som (-3,2)(\text{-}3,2) och (3,4)(3,4) och adderar dem.

u+v\vec{u}+\vec{v}
(3,2)+(2,-3)({\color{#0000FF}{3,2}})+({\color{#009600}{2,\text{-} 3}})
(3+2,2+(-3))(3+2,2+(\text{-} 3))
(5,2+(-3))(5,2+(\text{-} 3))
(5,-1)(5,\text{-}1)

Summan av u\vec{u} och v\vec{v} blir alltså (5,-1).(5, \text{-} 1).

Exempel

Grafiskt

Vi parallellförflyttar ena vektorn så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt. Vi kan då rita resultanten från den första vektorns startpunkt till den andra vektorns slutpunkt.

Nu kan vi läsa av att resultanten, alltså de två vektorerna adderade med varandra, är (5,-1).(5, \text{-} 1).

info Visa lösning Visa lösning
Regel

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. u=(-2,2)\vec{u}=(\text{-}2,2) och v=(2,1),\vec{v}=(2,1), kan skrivas som en addition av u\vec{u} och den negativa vektorn -v:\text{-}\vec{v}: uv=u+(-v). \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(\text{-}\vec{v}). Vektorn -v\text{-}\vec{v} har samma storlek som v\vec{v}, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten uv\vec{u}-\vec{v} blev alltså (-4,1),(\text{-} 4, 1), dvs. differensen av x-x\text{-} och yy-koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

(a,b)(c,d)=(ac,bd)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)

Uppgift

Subtrahera v\vec{v} från u\vec{u}.

Lösning

Vi kan subtrahera vektorer på två sätt: algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Exempel

Algebraiskt

När man subtraherar vektorer ska xx-koordinater subtraheras för sig och yy-koordinater för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkt.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som (-1,2)(\text{-} 1,2) och (3,5)(3,5) och subtrahera dem.

uv\vec{u}-\vec{v}
(3,5)(-1,2)({\color{#0000FF}{3,5}})-({\color{#009600}{\text{-} 1,2}})
(3(-1),52)(3-(\text{-} 1),5-2)
(3+1,52)(3+1,5-2)
(4,3)(4,3)

Differensen mellan u\vec{u} och v\vec{v} blir (4,3).(4,3).

Exempel

Grafiskt

För att subtrahera u\vec{u} från v\vec{v} grafiskt kan vi använda metoden för att addera vektorer grafiskt. Detta medför att vi först måste vända på vektorn som subtraheras så att den pekar i motsatt riktning.

Vi parallellförflyttar nu -v\text{-} \vec{v} så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt och ritar resultanten.

Nu ser vi att resultanten är (4,3),(4,3), vilket alltså är differensen mellan u\vec{u} och v.\vec{v}.

info Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

a(b,c)=(ab,ac)a\cdot(b,c)=(a \cdot b,a \cdot c)

Om v=(4,2)\vec{v}=(4,2) multipliceras med talet 33 får man den nya vektorn 3v=(34,32)=(12,6).3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(12,6). Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. 3v3\vec{v} är då lika med summan v+v+v\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.

Multiplicera med 3

Återställ

3v3\vec{v} har alltså samma riktning som v\vec{v}, men är tre gånger längre.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward