Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Räkna med rationella uttryck

Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

p(x)q(x)+h(x)q(x)=p(x)+h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} + \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)+h(x)}{q(x)}

p(x)q(x)h(x)q(x)=p(x)h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)-h(x)}{q(x)}

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.
Uppgift

Förenkla 1xx+22x.\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}.

Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.2.

1xx+22x\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}
22xx+22x\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x+2}{2x}
2(x+2)2x\dfrac{2-(x+2)}{2x}
2x22x\dfrac{2-x-2}{2x}
-x2x\dfrac{\text{-} x}{2x}
-12\dfrac{\text{-} 1}{2}
-12\text{-} \dfrac{1}{2}

Uttrycket blir alltså -12.\text{-}\frac{1}{2}.

info Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

p(x)q(x)h(x)g(x)=p(x)h(x)q(x)g(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{p(x)\cdot h(x)}{q(x)\cdot g(x)}

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

p(x)q(x)/h(x)g(x)=p(x)q(x)g(x)h(x) \left.{\dfrac{p(x)}{q(x)}}\middle/{\dfrac{h(x)}{g(x)}}\right. = \dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{g(x)}{h(x)}

Villkor

info
Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är r(x)=x+1x3/x9x+7 r(x)=\left.\dfrac{x+1}{x-3}\middle/\dfrac{x-9}{x+7}\right. odefinierat för xx-värdena 3,3, -7\text{-}7 och 9,9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 00 för respektive xx-värden. Det omskrivna uttrycket q(x)=(x+1)(x+7)(x3)(x9) q(x)=\dfrac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x-9)} är däremot odefinierat endast för xx-värdena 33 och 9.9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x)r(x) och q(x)q(x) är utbytbara för alla xx utom x=-7.x=\text{-}7.

Uppgift

Förenkla x2+4x/x+13x.\left.\dfrac{x^2+4}{x}\middle/\dfrac{x+1}{3x}\right..

Lösning
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation: x2+4x3xx+1. \dfrac{x^2+4}{x} \cdot \dfrac{3x}{x+1}. Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
x2+4x3xx+1\dfrac{x^2+4}{x}\cdot \dfrac{3x}{x+1}
3x(x2+4)x(x+1)\dfrac{3x\left(x^2+4\right)}{x(x+1)}
3(x2+4)x+1\dfrac{3\left(x^2+4\right)}{x+1}
3x2+12x+1\dfrac{3x^2+12}{x+1}
Uttrycket förenklas alltså till 3x2+12x+1.\frac{3x^2+12}{x+1}.
info Visa lösning Visa lösning

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y=1x2,y = \frac{1}{x-2}, som inte är definierad för x=2.x = 2.

Diskontinuerlig funktion på TI-räknare

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2.x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns xx-värden som funktionen inte är definierad för.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward