Räkna med rationella uttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

p(x)q(x)+h(x)q(x)=p(x)+h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} + \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)+h(x)}{q(x)}

p(x)q(x)h(x)q(x)=p(x)h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)-h(x)}{q(x)}

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.
Uppgift

Förenkla 1xx+22x.\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}.

Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.2.

1xx+22x\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}
Förläng 1x\dfrac{1}{x} med 22
22xx+22x\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x+2}{2x}
2(x+2)2x\dfrac{2-(x+2)}{2x}
2x22x\dfrac{2-x-2}{2x}
-x2x\dfrac{\text{-} x}{2x}
-12\dfrac{\text{-} 1}{2}
-12\text{-} \dfrac{1}{2}

Uttrycket blir alltså -12.\text{-}\frac{1}{2}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

p(x)q(x)h(x)g(x)=p(x)h(x)q(x)g(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{p(x)\cdot h(x)}{q(x)\cdot g(x)}

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

p(x)q(x)undefinedh(x)g(x)=p(x)q(x)g(x)h(x) \left.{\dfrac{p(x)}{q(x)}}\middle/{\dfrac{h(x)}{g(x)}}\right. = \dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{g(x)}{h(x)}

Villkor

Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är r(x)=x+1x3undefinedx9x+7 r(x)=\left.\dfrac{x+1}{x-3}\middle/\dfrac{x-9}{x+7}\right. odefinierat för xx-värdena 3,3, -7\text{-}7 och 9,9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 00 för respektive xx-värden. Det omskrivna uttrycket q(x)=(x+1)(x+7)(x3)(x9) q(x)=\dfrac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x-9)} är däremot odefinierat endast för xx-värdena 33 och 9.9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x)r(x) och q(x)q(x) är utbytbara för alla xx utom x=-7.x=\text{-}7.

Uppgift

Förenkla x2+4xundefinedx+13x.\left.\dfrac{x^2+4}{x}\middle/\dfrac{x+1}{3x}\right..

Lösning
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation: x2+4x3xx+1. \dfrac{x^2+4}{x} \cdot \dfrac{3x}{x+1}. Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
x2+4x3xx+1\dfrac{x^2+4}{x}\cdot \dfrac{3x}{x+1}
3x(x2+4)x(x+1)\dfrac{3x\left(x^2+4\right)}{x(x+1)}
3(x2+4)x+1\dfrac{3\left(x^2+4\right)}{x+1}
3x2+12x+1\dfrac{3x^2+12}{x+1}
Uttrycket förenklas alltså till 3x2+12x+1.\frac{3x^2+12}{x+1}.
Visa lösning Visa lösning

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y=1x2,y = \frac{1}{x-2}, som inte är definierad för x=2.x = 2.

Diskontinuerlig funktion på TI-räknare

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2.x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns xx-värden som funktionen inte är definierad för.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på samma bråkstreck.

a
37x8x7\dfrac{3}{7x}-\dfrac{8x}{7}
b

2x+y4\dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{4}

c

7y3+37y\dfrac{7y}{3}+\dfrac{3}{7y}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Addera och subtrahera de rationella uttrycken.

a

811x+x+311x\dfrac{8}{11x}+\dfrac{x+3}{11x}

b

65y2y27\dfrac{6}{5y}-\dfrac{2y^2}{7}

c

4z1z9z13\dfrac{4z-1}{z}-\dfrac{9z}{13}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla så långt som möjligt.


a

2xyyx\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}

b

3xyundefined3y2x\left.\dfrac{3x}{y}\middle/\dfrac{3y}{2x}\right.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera och förenkla så långt det går.

a

x3+yy+35\dfrac{x}{3+y}\cdot\dfrac{y+3}{5}

a

aa+2a3+2a1\dfrac{a}{a+2}\cdot\dfrac{a^3+2}{a-1}

c

q7qq+1q1\dfrac{q}{7-q}\cdot\dfrac{q+1}{q-1}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera och förenkla så långt som möjligt.


a

x+1x+2x1x+1\dfrac{x+1}{x+2}\cdot\dfrac{x-1}{x+1}

b

x(x+5)x15x5x(x+1)\dfrac{x(x+5)}{x-1}\cdot\dfrac{5x-5}{x(x+1)}

c

14y4b8b7\dfrac{14y}{4b}\cdot\dfrac{8b}{7}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla y42yundefined1x\left.\dfrac{y-4}{2y}\middle/\dfrac{1}{x}\right. så långt som möjligt.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla 3z2+z6undefined4+zz\left.\dfrac{3z^2+z}{6}\middle/\dfrac{4+z}{z}\right. så långt som möjligt.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla 23x5+xundefinedx2+3x\left.\dfrac{2-3x}{5+x}\middle/\dfrac{x}{2+3x}\right. så långt som möjligt.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla så långt som möjligt.

a

x3+4y3undefinedx3+4y9\left.\dfrac{x^3+4y}{3}\middle/\dfrac{x^3+4y}{9}\right.

b

abba\dfrac{ab}{ba}

c

x3+x2+7x6\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{7x}{6}

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Josh och Amita har adderat de två rationella uttrycken 2xy\dfrac{2}{x-y} och xx+y\dfrac{x}{x+y} men fått olika svar.

Vem av dem har rätt? Berätta vad som gick fel för den andra.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla x21616x2x88x.\dfrac{x^2-16}{16-x^2}\cdot\dfrac{x-8}{8-x}.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv på samma bråkstreck och förenkla så långt som möjligt: 1x5x2+1x3x+5x4x2x5. \dfrac{1}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{x+5}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^5}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv 2x+8x6+x+3x+9\dfrac{2x+8}{x-6}+\dfrac{x+3}{x+9} med gemensam nämnare.

b

För vilka xx-värden är uttrycket odefinierat?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Förenkla x4+x3x33x+4xx2\dfrac{x^4+x^3}{x^3}\cdot\dfrac{3x+4x}{x^2} så långt det går.

b

Förenkla x20x18x18x20undefined1x\left.\dfrac{x^{20}-x^{18}}{x^{18}-x^{20}}\middle/\dfrac{1}{x}\right. så långt det går.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två trianglar har en gemensam bas. Höjden i trianglarna är 44 le. respektive 1212 le. längre än den gemensamma sidan. Om xx är den gemensamma sidan, bestäm och förenkla ett uttryck som beskriver förhållandet mellan den första och andra triangelns area.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de rationella uttrycken.

a

5(x+h)5xhundefined3(x+h)3xh\left.\dfrac{5(x+h)-5x}{h}\middle/\dfrac{3(x+h)-3x}{h}\right.


b

10(x+h)210x2hundefined6(x+h)26x2h\left.\dfrac{10(x+h)^2-10x^2}{h}\middle/\dfrac{6(x+h)^2-6x^2}{h}\right.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Runt en rektangulär pool med sidorna xx och yy finns ett 2 meter brett soldäck. Visa att kvoten mellan soldäckets area och poolens area är 4x+4y+16xy.\frac{4x+4y+16}{xy}.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sätt uttrycket på gemensam nämnare och förenkla. Svara exakt. x5x+25+x \dfrac{x}{\sqrt{5}-x}+\dfrac{2}{\sqrt{5}+x}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla (2x26x+8)undefined3xx24x4\left.\left(2x^2-6x+8\right)\middle/\dfrac{3x-x^2-4}{x^4}\right. så långt som möjligt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla det rationella uttrycket så långt som möjligt. 1(x+h)2+11x2+1h \dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^2+1} - \dfrac{1}{x^2+1}}{h}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket f(x+h)f(x)hundefinedf(x) \left.\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\middle/f(x)\right. om

a

f(x)=10x2.f(x)=10x^2.

b

f(x)=x3+4x.f(x)=x^3+4x.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}