{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Polynom och funktioner

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Polynom och funktioner
Räkna med rationella uttryck

Räkna med rationella uttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

p(x)q(x)+h(x)q(x)=p(x)+h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} + \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)+h(x)}{q(x)}

p(x)q(x)−h(x)q(x)=p(x)−h(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{h(x)}{q(x)}=\dfrac{p(x)-h(x)}{q(x)}

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.
Uppgift

Förenkla 1x−x+22x.\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}.

Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.2.

1x−x+22x\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+2}{2x}
Förläng 1x\dfrac{1}{x} med 22
22x−x+22x\dfrac{2}{2x}-\dfrac{x+2}{2x}
Subtrahera bråk
2−(x+2)2x\dfrac{2-(x+2)}{2x}
Ta bort parentes & byt tecken
2−x−22x\dfrac{2-x-2}{2x}
Förenkla termer
-x2x\dfrac{\text{-} x}{2x}
Förkorta med xx
-12\dfrac{\text{-} 1}{2}
Skriv minustecken framför bråk
-12\text{-} \dfrac{1}{2}

Uttrycket blir alltså -12.\text{-}\frac{1}{2}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

p(x)q(x)⋅h(x)g(x)=p(x)⋅h(x)q(x)⋅g(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{h(x)}{g(x)}=\dfrac{p(x)\cdot h(x)}{q(x)\cdot g(x)}

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

p(x)q(x)undefinedh(x)g(x)=p(x)q(x)⋅g(x)h(x) \left.{\dfrac{p(x)}{q(x)}}\middle/{\dfrac{h(x)}{g(x)}}\right. = \dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{g(x)}{h(x)}

Villkor
Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är r(x)=x+1x−3undefinedx−9x+7 r(x)=\left.\dfrac{x+1}{x-3}\middle/\dfrac{x-9}{x+7}\right. odefinierat för xx-värdena 3,3, -7\text{-}7 och 9,9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 00 för respektive xx-värden. Det omskrivna uttrycket q(x)=(x+1)(x+7)(x−3)(x−9) q(x)=\dfrac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x-9)} är däremot odefinierat endast för xx-värdena 33 och 9.9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x)r(x) och q(x)q(x) är utbytbara för alla xx utom x=-7.x=\text{-}7.

Uppgift

Förenkla x2+4xundefinedx+13x.\left.\dfrac{x^2+4}{x}\middle/\dfrac{x+1}{3x}\right..

Lösning
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation: x2+4x⋅3xx+1. \dfrac{x^2+4}{x} \cdot \dfrac{3x}{x+1}. Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
x2+4x⋅3xx+1\dfrac{x^2+4}{x}\cdot \dfrac{3x}{x+1}
Multiplicera bråk
3x(x2+4)x(x+1)\dfrac{3x\left(x^2+4\right)}{x(x+1)}
Förkorta med xx
3(x2+4)x+1\dfrac{3\left(x^2+4\right)}{x+1}
Multiplicera in 33
3x2+12x+1\dfrac{3x^2+12}{x+1}
Uttrycket förenklas alltså till 3x2+12x+1.\frac{3x^2+12}{x+1}.
Visa lösning Visa lösning

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y=1x−2,y = \frac{1}{x-2}, som inte är definierad för x=2.x = 2.

Diskontinuerlig funktion på TI-räknare

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2.x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns xx-värden som funktionen inte är definierad för.

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}