Räkna med rationella uttryck

Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.

Subtrahera de rationella uttrycken

fullscreen

Förenkla $\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x} .$

Visa Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.

\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x}

ExpandFracII

Förläng $\frac{1}{x}$ med 2

\frac{2}{2 x} - \frac{x + 2}{2 x}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{2 - ( x + 2 )}{2 x}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

\frac{2 - x - 2}{2 x}

SimpTerms

Förenkla termer

\frac{- x}{2 x}

ReduceFrac

Förkorta med x

\frac{- 1}{2}

MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

- \frac{1}{2}

Uttrycket blir alltså $- \frac{1}{2} .$

Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

Villkor

Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är

odefinierat för x-värdena 3, -7 och 9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 0 för respektive x-värden. Det omskrivna uttrycket

är däremot odefinierat endast för x-värdena 3 och 9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x) och q(x) är utbytbara för alla x utom x=-7.

Dividera de rationella uttrycken

fullscreen

Förenkla $\frac{x ^{2} + 4}{x} / \frac{x + 1}{3 x} .$

Visa Lösning

Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:

Vi utför nu multiplikationen och förenklar.

\frac{x ^{2} + 4}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{3 x ( x ^{2} + 4 )}{x ( x + 1 )}

ReduceFrac

Förkorta med x

\frac{3 ( x ^{2} + 4 )}{x + 1}

Distr

Multiplicera in 3

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1}

Uttrycket förenklas alltså till

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1} .

Digitala verktyg

Osammanhängande graf på räknare

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen $y = \frac{1}{x - 2},$ som inte är definierad för x=2.

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns x-värden som funktionen inte är definierad för.