Räkna med potenser och rotuttryck

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. $2 \cdot 8,$ finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna $2$ eller $8$ separat men man kan skriva om $2 \cdot 8$ som $16,$ vilket är lika med $4 .$ Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

n a \cdot n b = n a \cdot b

En produkt av två rotuttryck, t.ex. $42 \cdot 43$ , kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 2 \cdot 3 .$ Man kan motivera varför genom att skriva $42 \cdot 43$ som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

42 \cdot 43

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

2^{1 / 4} \cdot 3^{1 / 4}

ProdPow

$a^{c} \cdot b^{c} = (a \cdot b)^{c}$

(2 \cdot 3)^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 2 \cdot 3

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då

a \cdot b,

inte

2 a \cdot b .

Regel

\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. $\frac{4 2}{4 3},$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 \frac{2}{3}$ . Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

\frac{4 2}{4 3}

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

\frac{2 ^{1 / 4}}{3 ^{1 / 4}}

QuotPow

$\frac{a ^{c}}{b ^{c}} = (\frac{a}{b})^{c}$

(\frac{2}{3})^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 \frac{2}{3}

Regeln gäller om

a

och

b

är reella, där

a

är icke-negativt och

b

är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva

\frac{a}{b}

och inte

2 \frac{a}{b} .

Förenkla rotuttrycket

fullscreen

Beräkna utan räknare:

\frac{6 \cdot 3}{2} .

Visa Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.

\frac{6 \cdot 3}{2}

MultSqrt

$a \cdot a = a$

\frac{6 \cdot 3}{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{1 8}{2}

DivSqrt

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

\frac{1 8}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

9

CalcRoot

Beräkna rot

3

Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som

2 \cdot 3 .

\frac{6 \cdot 3}{2}

Rewrite

Skriv $6$ som $2 \cdot 3$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SqrtProd

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

MultSqrt

$a \cdot a = a$

3

Digitala verktyg

Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om $\land$ hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Räkna med potenser och rotuttryck

Kanaler

Direktmeddelanden

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Regel

Regel

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Digitala verktyg