{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra och aritmetik

Välj kurs
Matte 2a
Algebra och aritmetik
Räkna med potenser och rotuttryck

Räkna med potenser och rotuttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8\sqrt{8} separat men man kan skriva om 2⋅8\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} som 16,\sqrt{16}, vilket är lika med 4.4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel
an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

En produkt av två rotuttryck, t.ex. 24⋅34\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 2⋅34.\sqrt[4]{2\cdot 3}. Man kan motivera varför genom att skriva 24⋅34\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3} som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

24⋅34\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3}
an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
21/4⋅31/42^{1/4}\cdot 3^{1/4}
ac⋅bc=(a⋅b)ca^c\cdot b^c=\left(a \cdot b\right)^{c}
(2⋅3)1/4(2\cdot 3)^{1/4}
a1/n=ana^{1/n}=\sqrt[n]{a}
2⋅34\sqrt[4]{2\cdot 3}
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b,\sqrt{a\cdot b}, inte a⋅b2.\sqrt[2]{a\cdot b}.

Regel
anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. 2434,\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 234\sqrt[4]{\frac{2}{3}}. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

2434\dfrac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}
an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
21/431/4\dfrac{2^{1/4}}{3^{1/4}}
acbc=(ab)c \dfrac{a^{c}}{b^{c}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}
(23)1/4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/4}
a1/n=ana^{1/n}=\sqrt[n]{a}
234\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}
Regeln gäller om aa och bb är reella, där aa är icke-negativt och bb är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ab\sqrt{\frac{a}{b}} och inte ab2.\sqrt[2]{\frac{a}{b}}.
Uppgift

Beräkna utan räknare: 6⋅32. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
6⋅32\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
a⋅a=a \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a
6⋅32\dfrac{\sqrt{6\cdot 3}}{\sqrt{2}}
Multiplicera faktorer
182\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}
ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}
182\sqrt{\dfrac{18}{2}}
Beräkna kvot
9\sqrt{9}
Beräkna rot
33
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.2\cdot3.
6⋅32\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
Skriv 66 som 2⋅32\cdot3
2⋅3⋅32\dfrac{\sqrt{2\cdot3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
a⋅b=a⋅b\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}
2⋅3⋅32\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
Stryk faktorer
2⋅3⋅32\dfrac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{2}}}
Förenkla kvot
3⋅3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
a⋅a=a \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a
33
Visa lösning Visa lösning

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧\wedge hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.

a

144\sqrt{144}

b

0.25\sqrt{0.25}

c

49\sqrt{\dfrac{4}{9}}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck med räknare och avrunda till tre decimaler.

a

18\sqrt{18} och 181/218^{1/2}

b

755\sqrt[5]{75} och 751/575^{1/5}

c

10573\sqrt[3]{1057} och 10571/31057^{1/3}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

2⋅8\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}

b

2⋅3⋅6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}

c

4.9⋅10\sqrt{4.9}\cdot\sqrt{10}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare. Svara i decimalform.

a

753\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}

b

81010\dfrac{\sqrt{810}}{\sqrt{10}}

c

916\sqrt{\dfrac{9}{16}}

d

254+183\sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

33⋅93\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}

b

24⋅84\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

10⋅202\dfrac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}{\sqrt{2}}

b

77⋅711⋅177\dfrac{\sqrt{77}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{11}\cdot\sqrt[77]{1}}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lars-Eric och Shanie räknar matte tillsammans. De ska beräkna värdet av rotuttryck och löser två olika uppgifter på följande sätt.

Lars-Eric:

4⋅25=4⋅25=2⋅5=10 \sqrt{4\cdot25}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{25}=2\cdot 5=10

Shanie:

9+16=9+16=3+4=7. \sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.

En av dem har gjort fel. Vem har gjort fel och vilket fel har hen gjort? Visa hur den korrekta lösningen ser ut.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av följande uttryck utan räknare.481undefined431undefined4+2701undefined3⋅0.11undefined3 \dfrac{48^{\left.1\middle/4\right.}}{3^{\left.1\middle/4\right.}}+270^{\left.1\middle/3\right.}\cdot0.1^{\left.1\middle/3\right.}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.(9x)1undefined2⋅2x2−3x (9x)^{\left.1\middle/2\right.}\cdot\dfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2}}-3x

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

(9a)12⋅2a2⋅(4a)12(9a)^{\frac{1}{2}}\cdot2a^2\cdot(4a)^{\frac{1}{2}}

b

x56(x13+1)(x13−1)x16⋅x13\dfrac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}

Nationella provet VT15 2a
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken utan att använda din räknare.


a

3+2⋅9+9\sqrt{3 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{9 + 9}}

b

481+125−16+1127⋅3\sqrt{\sqrt{\dfrac{4}{81}} + \dfrac{1}{\sqrt{25-16}} + \dfrac{11}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}}}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla produkten 2⋅6⋅5⋅3 \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}