Räkna med potenser och rotuttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 28,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8\sqrt{8} separat men man kan skriva om 28\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} som 16,\sqrt{16}, vilket är lika med 4.4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

En produkt av två rotuttryck, t.ex. 2434\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 234.\sqrt[4]{2\cdot 3}. Man kan motivera varför genom att skriva 2434\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3} som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

2434\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3}
21/431/42^{1/4}\cdot 3^{1/4}
(23)1/4(2\cdot 3)^{1/4}
234\sqrt[4]{2\cdot 3}
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då ab,\sqrt{a\cdot b}, inte ab2.\sqrt[2]{a\cdot b}.

Regel

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. 2434,\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 234\sqrt[4]{\frac{2}{3}}. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

2434\dfrac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}
21/431/4\dfrac{2^{1/4}}{3^{1/4}}
(23)1/4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/4}
234\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}
Regeln gäller om aa och bb är reella, där aa är icke-negativt och bb är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ab\sqrt{\frac{a}{b}} och inte ab2.\sqrt[2]{\frac{a}{b}}.
Uppgift

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
632\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
632\dfrac{\sqrt{6\cdot 3}}{\sqrt{2}}
182\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}
182\sqrt{\dfrac{18}{2}}
9\sqrt{9}
33
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 23.2\cdot3.
632\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
2332\dfrac{\sqrt{2\cdot3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
2332\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
2332\dfrac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{2}}}
33\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
33
Visa lösning Visa lösning

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om \wedge hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.

a

144\sqrt{144}

b

0.25\sqrt{0.25}

c

49\sqrt{\dfrac{4}{9}}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck med räknare och avrunda till tre decimaler.

a

18\sqrt{18} och 181/218^{1/2}

b

755\sqrt[5]{75} och 751/575^{1/5}

c

10573\sqrt[3]{1057} och 10571/31057^{1/3}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

28\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}

b

236\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}

c

4.910\sqrt{4.9}\cdot\sqrt{10}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare. Svara i decimalform.

a

753\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}

b

81010\dfrac{\sqrt{810}}{\sqrt{10}}

c

916\sqrt{\dfrac{9}{16}}

d

254+183\sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

3393\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}

b

2484\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

10202\dfrac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}{\sqrt{2}}

b

77711177\dfrac{\sqrt{77}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{11}\cdot\sqrt[77]{1}}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lars-Eric och Shanie räknar matte tillsammans. De ska beräkna värdet av rotuttryck och löser två olika uppgifter på följande sätt.

Lars-Eric:

425=425=25=10 \sqrt{4\cdot25}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{25}=2\cdot 5=10

Shanie:

9+16=9+16=3+4=7. \sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.

En av dem har gjort fel. Vem har gjort fel och vilket fel har hen gjort? Visa hur den korrekta lösningen ser ut.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av följande uttryck utan räknare.481undefined431undefined4+2701undefined30.11undefined3 \dfrac{48^{\left.1\middle/4\right.}}{3^{\left.1\middle/4\right.}}+270^{\left.1\middle/3\right.}\cdot0.1^{\left.1\middle/3\right.}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.(9x)1undefined22x23x (9x)^{\left.1\middle/2\right.}\cdot\dfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2}}-3x

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

(9a)122a2(4a)12(9a)^{\frac{1}{2}}\cdot2a^2\cdot(4a)^{\frac{1}{2}}

b

x56(x13+1)(x131)x16x13\dfrac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}

Nationella provet VT15 2a
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken utan att använda din räknare.


a

3+29+9\sqrt{3 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{9 + 9}}

b

481+12516+11273\sqrt{\sqrt{\dfrac{4}{81}} + \dfrac{1}{\sqrt{25-16}} + \dfrac{11}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}}}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla produkten 2653 \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}