Räkna med potenser och rotuttryck

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8},$ finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna $\sqrt{2}$ eller $\sqrt{8}$ separat men man kan skriva om $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ som $\sqrt{16},$ vilket är lika med $4.$ Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

En produkt av två rotuttryck, t.ex. $\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}$ , kan skrivas som ett enda rotuttryck: $\sqrt[4]{2\cdot 3}.$ Man kan motivera varför genom att skriva $\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3}$ som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3}

\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

2^{1/4}\cdot 3^{1/4}

a^c\cdot b^c=\left(a \cdot b\right)^{c}

(2\cdot 3)^{1/4}

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

\sqrt[4]{2\cdot 3}

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då

\sqrt{a\cdot b},

inte

\sqrt[2]{a\cdot b}.

Regel
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

En kvot av två rotuttryck, t.ex. $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}},$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$ . Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

\dfrac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}

\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

\dfrac{2^{1/4}}{3^{1/4}}

\dfrac{a^{c}}{b^{c}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{c}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/4}

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}

Regeln gäller om

a

och

b

är reella, där

a

är icke-negativt och

b

är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva

\sqrt{\frac{a}{b}}

och inte

\sqrt[2]{\frac{a}{b}}.

Förenkla rotuttrycket

Uppgift

Beräkna utan räknare: $\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$

Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.

\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a

\dfrac{\sqrt{6\cdot 3}}{\sqrt{2}}

Multiplicera faktorer

\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}

\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}

\sqrt{\dfrac{18}{2}}

Beräkna kvot

\sqrt{9}

Beräkna rot

3

Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som

2\cdot3.

\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Skriv

6

som

2\cdot3

\dfrac{\sqrt{2\cdot3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Stryk faktorer

\dfrac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{2}}}

Förenkla kvot

\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}

\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a

3

Visa lösning

Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om $\wedge$ hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Räkna med potenser och rotuttryck

Multiplikation och division med rotuttryck

Regel

Regel

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Digitala verktyg