Räkna med komplexa tal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Addera, subtrahera och multiplicera komplexa tal

Många av de regler man använder vid beräkningar av reella tal, t.ex. de fyra räknesätten och prioriteringsreglerna, gäller även för komplexa tal. Eftersom ett komplext tal kan bestå av både en real- och imaginärdel kan även resultatet av en räkneoperation göra det. Exempelvis kan man beräkna (1+5i)+(72i) (1+5i)+(7-2i) genom att addera real- och imaginärdelarna var för sig. Det betyder att summan blir 1+7+5i2i=8+3i. 1+7+5i-2i=8+3i.

Vid multiplikation, t.ex. (5i)(10+4i),(5-i)(10+4i), gör man på samma sätt som för reella tal: alla termer i den ena parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Om man då får termer som innehåller i2i^2 kan dessa förenklas med sambandet i2=-1i^2 = \text{-}1.
Uppgift

Förenkla 38i(-7+5i)+(9+2i)(411i) 3-8i-(\text{-}7+5i)+(9+2i)(4-11i) och kontrollera svaret med räknare.

Lösning
Prioriteringsreglerna gäller även vid förenkling av komplexa tal, så vi börjar med multiplikationen. Vi multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra och förenklar.
38i(-7+5i)+(9+2i)(411i)3-8i-(\text{-}7+5i)+(9+2i)(4-11i)
38i(-7+5i)+94911i+2i42i11i3-8i-(\text{-}7+5i)+9\cdot4-9\cdot11i+2i\cdot4-2i\cdot11i
38i(-7+5i)+3699i+8i22i23-8i-(\text{-}7+5i)+36-99i+8i-22i^2
i2=-1i^2=\text{-} 1
38i(-7+5i)+3699i+8i22(-1)3-8i-(\text{-}7+5i)+36-99i+8i-22(\text{-}1)
38i(-7+5i)+3699i+8i+223-8i-(\text{-}7+5i)+36-99i+8i+22
Nu fortsätter vi genom att ta bort parentesen och byta tecken.
38i(-7+5i)+3699i+8i+223-8i-(\text{-}7+5i)+36-99i+8i+22
38i+75i+3699i+8i+223-8i+7-5i+36-99i+8i+22
Till sist adderar och subtraherar vi real- och imaginärdelarna var för sig.
38i+75i+3699i+8i+223-8i+7-5i+36-99i+8i+22
68104i68-104i
Det komplexa talet är alltså 68104i. 68-104i. När vi sedan gör samma förenkling på räknaren skriver vi ii genom att trycka på 2:2\text{:}nd + .\bullet. Räknaren måste dessutom vara inställd på att räkna med komplexa tal.
räknarens verktyg för komplexa tal
Visa lösning Visa lösning
Metod

Dividera komplexa tal

När man beräknar kvoten av två komplexa tal, t.ex. 5+10i12i, \dfrac{5+10i}{1-2i}, använder man att ett bråk kan förlängas utan att dess värde förändras. Genom att förlänga med nämnarens komplexkonjugat får man ett reellt tal i nämnaren.

1

Förläng med nämnarens komplexkonjugat

Man börjar med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat. I det här fallet är nämnaren 12i,1-2i, så man förlänger med 1+2i.1+2i. 5+10i12i=(5+10i)(1+2i)(12i)(1+2i) \dfrac{5+10i}{1-2i} = \dfrac{(5+10i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}

2

Förenkla täljare och nämnare
Man fortsätter sedan med att förenkla täljaren och nämnaren så långt det går, vilket i det här fallet betyder att man multiplicerar ihop parenteserna. Notera att konjugatregeln kan användas i nämnaren och att det leder till att imaginärdelarna förenklas bort.
(5+10i)(1+2i)(12i)(1+2i)\dfrac{(5+10i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}
51+52i+10i1+10i2i(12i)(1+2i)\dfrac{5\cdot1+5\cdot2i+10i\cdot1+10i\cdot2i}{(1-2i)(1+2i)}
5+10i+10i+20i2(12i)(1+2i)\dfrac{5+10i+10i+20i^2}{(1-2i)(1+2i)}
i2=-1i^2=\text{-} 1
5+10i+10i+20(-1)(12i)(1+2i)\dfrac{5+10i+10i+20(\text{-}1)}{(1-2i)(1+2i)}
5+10i+10i20(12i)(1+2i)\dfrac{5+10i+10i-20}{(1-2i)(1+2i)}
-15+20i(12i)(1+2i)\dfrac{\text{-}15+20i}{(1-2i)(1+2i)}
-15+20i12(2i)2\dfrac{\text{-}15+20i}{1^2-(2i)^2}
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
-15+20i1222i2\dfrac{\text{-}15+20i}{1^2-2^2i^2}
-15+20i14i2\dfrac{\text{-}15+20i}{1-4i^2}
i2=-1i^2=\text{-} 1
-15+20i14(-1)\dfrac{\text{-}15+20i}{1-4(\text{-}1)}
-15+20i1+4\dfrac{\text{-}15+20i}{1+4}
-15+20i5\dfrac{\text{-}15+20i}{5}

3

Beräkna kvoten
Nu står det bara ett reellt tal i nämnaren, vilket gör att termerna i täljaren går att dividera var för sig.
-15+20i5\dfrac{\text{-}15+20i}{5}
-155+20i5\dfrac{\text{-}15}{5}+\dfrac{20i}{5}
-3+4i\text{-}3+4i

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför följande additioner och subtraktioner av komplexa tal.

a
(2+3i)+(4+2i)(2 + 3i) + (4 + 2i)
b
(62i)+(9i2)(6 - 2i) + (9i - 2)
c
(3+10i)(312i)(3 + 10i) - (3 - 12i)
d
-(20i3)(48i)\text{-} (20i - 3) - (4 - 8i)
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck på formen a+bi.a + bi.

a
(4i)(6+3i)(4-i)(6+3i)
b
(3i)(49i)(3-i)(4-9i)
c
-(3+2i)(i3)(2+7i)\text{-} (3+2i) - (i-3)(2+7i)
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför följande beräkningar med din räknare.

a
18+10i1i\dfrac{18+10i}{1-i}
b
Re(3+i12i)\text{Re}\left( \dfrac{3+i}{1-2i} \right)
c
Im(-1624i2+2i)\text{Im}\left( \dfrac{\text{-} 16-24i}{2+2i} \right)
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför följande divisioner av komplexa tal.

a

42i1+i\dfrac{4-2i}{1+i}

b

1030i3i\dfrac{10-30i}{3-i}

c

171+4i\dfrac{17}{1+4i}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen x26x+13=0.x^2-6x+13=0.

b

Beräkna produkten av rötterna.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck på formen a+bi.a+bi.

a

3+2i2+4i\dfrac{3+2i}{2+4i}

b

723i\dfrac{7}{2-3i}

c

1+i5i\dfrac{1+i}{5i}

d

1i21+i2\dfrac{1-\frac{i}{2}}{1+\frac{i}{2}}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För två komplexa tal z1z_1 och z2z_2 gäller att: z1z2=7+iz1=3i\begin{aligned} z_1 \cdot z_2=7+i \\ z_1 = 3 - i \end{aligned} Bestäm z2z_2 på formen a+bi.a+bi.

Nationella provet Ma4 VT13
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck på så enkel form som möjligt.

a
3+i1i+3i1+i\dfrac{3+i}{1-i} + \dfrac{3-i}{1+i}
b
3+i1+i+3i1i\dfrac{3+i}{1+i} + \dfrac{3-i}{1-i}
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att z=3+3iz = 3 + 3i och w=72i,w = 7 - 2i, beräkna följande värden.

a
Im(zw)\text{Im}(zw)
b
Re(w2)\text{Re}(w^2)
c
Im(zzˉ)\text{Im}(z\bar{z})
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer.

a
2Re(z)+z=2+3i2\cdot \text{Re}(z) + z = 2 + 3i
b
-3Im(z+2)2z=2Re(2z+3)\text{-} 3 \cdot \text{Im}(z+2) - 2z = 2 \cdot \text{Re}(2z + 3)
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska för alla komplexa tal z.z.

a
Re(z)Re(zˉ)=0\text{Re}(z) - \text{Re}(\bar{z}) = 0
b
Im(z)Im(zˉ)=0\text{Im}(z) - \text{Im}(\bar{z}) = 0
c
z+zˉz + \bar{z} är ett reellt tal.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att följande likheter stämmer för alla komplexa tal zz och ww.

a
Re(z)=12(z+zˉ)\text{Re}(z) = \dfrac{1}{2}(z + \bar{z})
b
zw=zˉw\overline{z-w} = \bar{z} - \overline{w}
c
zw=zˉw\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \overline{w}
d
(zw)=zˉw\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)} = \dfrac{\bar{z}}{\overline{w}}
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att z=3+2iz = 3 + 2i och w=a+bi,w = a + bi, där aa och bb är reella. Vilka aa och bb leder till att

a
z+2wz + 2w är ett rent imaginärt tal med Im(z+2w)<-2?\text{Im}(z + 2w) < \text{-} 2?
b
zwz \cdot w är ett reellt tal större än eller lika med 3?
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}