I denna applet finns fyra identiska rätvinkliga trianglar. Du kan flytta och rotera trianglarna. Utan att låta dem överlappa, försök att placera trianglarna så att de tillsammans bildar ett mönster som ser ut som en kvadrat inuti en kvadrat.

Drag, släpp och rotera

Dra i trianglarnas hörn för att rotera dem, drag och släpp trianglarna in till rätt position i den kvadratiska mallen nedanför.

Fyra identiska flyttbara rätvinkliga trianglar.

Teori

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel kallas de två sidor som bildar den räta vinkeln för kateter, och sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa.

Sambandet mellan kateter och hypotenusa i en rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel (och endast i rätvinkliga trianglar) är summan av kvadraterna på kateternas längder lika stor som kvadraten på hypotenusans längd.

Pythagoras sats

Om kateterna har längderna a och b och hypotenusan har längden c, kan sambandet skrivas så här:

a^2+b^2 = c^2

En triangel är också rätvinklig om sidorna passar ihop på det sättet att kvadraterna på två av sidorna tillsammans blir lika stora som kvadraten på den tredje sidan. När det sambandet stämmer vet vi att triangeln har en rät vinkel — även utan att det syns i figuren.

Exempel

Vi undersöker en rätvinklig triangel där kateterna är 6cm och 8cm. Målet är att bestämma hypotenusan.

Med Pythagoras sats får vi:

& 6^2 + 8^2 = c^2 & 36 + 64 = c^2 & 100 = c^2 & c = 10

Hypotenusan är alltså 10cm lång.

Den geometriska idén bakom satsen

För att förstå varför satsen fungerar kan vi titta närmare på samma triangel. Om vi ritar en kvadrat på varje sida av triangeln ser vi hur areorna hänger ihop:

Kvadraten på 6cm-sidan har arean 6^2cm^2 = 36cm^2.
Kvadraten på 8cm-sidan har arean 8^2cm^2 = 64cm^2.
Kvadraten på 10cm-sidan har arean 10^2cm^2 = 100cm^2.

De två mindre kvadraterna har tillsammans arean:

(36 + 64)cm^2 = 100cm^2

vilket precis motsvarar arean av den stora kvadraten. Det är därför sambandet a^2 + b^2 = c^2 alltid gäller i en rätvinklig triangel: kateternas kvadrater får plats exakt i hypotenusans kvadrat.

Visste du detta?

Det är detta geometriska samband som Pythagoras upptäckte för ungefär 2 500 år sedan.

Exempel

Hitta den saknade sidan med Pythagoras sats

Bestäm triangelns hypotenusa. Avrunda till en decimal vid behov.

25^2 + 5^2 = c^2

Sätt in 𝑎 = 25 och b=5 i Pythagoras sats.

625 + 25 = c^2

Beräkna kvadraterna.

650 = c^2

c= sqrt(650)≈ 25,5

Ta kvadratroten.

Svar: Hypotenusan är ungefär 25,5cm.

Bestäm den saknade kateten i triangeln. Avrunda till en decimal vid behov.

3^2 + b^2 = 5^2

Sätt in a = 3 och c = 5 i Pythagoras sats.

9 + b^2 = 25

Beräkna kvadraterna.

b^2 = 16

Subtrahera 9 från båda leden.

b = sqrt(16) = 4

Ta kvadratroten.

Svar: Den andra kateten är 4m.

Övning

Hitta den okända sidlängden

Bestäm den saknade sidlängden i den givna rätvinkliga triangeln. Om det behövs, avrunda ditt svar till två decimaler.

Räkna ut sidlängden för sidan x.

Exempel

Är triangeln rätvinklig?

En hög flaggstång har en vajer fäst i toppen. Flaggan, stången och vajern bildar en triangel.

Avgör om triangeln är en rätvinklig triangel.

a^2 + b^2 = c^2

Använd Pythagoras sats.

4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41

Sätt in sidlängderna.

sqrt(41) = 6,4

6,4 ≠ 6

Jämför med hypotenusan.

Eftersom 6,4 ≠ 6 är villkoret inte uppfyllt.

Svar: Triangeln är inte en rätvinklig triangel.

Övning

Är detta en rätvinklig triangel?

Använd Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är rätvinklig. Avrunda beräkningarna till en decimal.

Avgör ifall följande triangel är rätvinklig eller ej.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Pythagoras sats Åk 9

Uppgift 3.1

En triangel har sidorna 7,2cm, 9,6 cm och 12,0cm. Avgör om triangeln är rätvinklig. Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Sidorna är 7,2cm, 9,6cm och 12,0cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den längsta sidan är 12,0cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> I en rätvinklig triangel är den längsta sidan hypotenusan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7,2^2 + 9,6^2 ? = 12,0^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera om Pythagoras sats gäller. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangeln är rätvinklig eftersom Pythagoras sats gäller för dessa sidor. </cell> </row>

Beräkna längden av lådans diagonal.

<row> <cell left="true" role="sol"> Längd: 40cm
Bredd: 20cm
Höjd: 40cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 40^2 + 20^2 = d_(bas)^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lådans diagonal är hypotenusan i en rätvinklig triangel. En av kateterna är höjden och den andra är basytans diagonal.
Diagonalen i basytan kan beräknas med Pythagoras sats.
Beräkna basytans diagonal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 600 + 400 = d_(bas)^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 000 = d_(bas)^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera termerna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d_(bas) = sqrt(2 000) </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (sqrt(2 000))^2 + 40^2 = d^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats igen med basdiagonalen och höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Lådans diagonal är 60cm lång. </cell> </row>

Hitta värdet av x i följande diagram.

<row> <cell left="true" role="sol"> BC^2 + BD^2 = CD^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för triangel BCD för att hitta BD. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2^2 + BD^2 = (sqrt(13))^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in de kända värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 + BD^2 = 13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> BD^2 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 4 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> BD = 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> BD^2 + x^2 = AB^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för triangel ABD för att hitta x. I denna rätvinkliga triangel är AB hypotenusan och BD och AD är kateterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3^2 + x^2 = 5^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in de kända värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9 + x^2 = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 = 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 9 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>

En rektangel har sidorna 12cm och 8cm. Rektangeln klipps i två lika stora delar längs en diagonal. De två delarna kan läggas ihop på olika sätt för att bilda två olika trianglar.

Båda trianglarna har samma area, tänker Emil. Stämmer det? Förklara ditt resonemang.

Vad är omkretsen av triangeln med längst omkrets? Avrunda till hela centimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av rektangeln är 12 * 8 cm^2 = 96cm^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna rektangelns totala area. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Varje triangeldel har arean 96/2cm^2 = 48cm^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Diagonalen delar rektangeln i två lika stora delar.
Varje del har arean lika med hälften av rektangelns area. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Arean för någon av de bildade trianglarna är summan av delarnas areor. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Delarna kan sättas ihop för att bilda följande två trianglar.

Hur kan man bestämma areorna för dessa trianglar? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av varje ny triangel är (48 + 48)cm^2 = 96cm^2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, Emil har rätt. Båda trianglarna har samma area, 96cm^2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Varje triangeldel är en rätvinklig triangel med kateterna 12cm och 8cm. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Identifiera sidorna i triangeldelarna.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c^2 = 12^2 + 8^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att hitta den tredje sidan. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Om du lägger ihop delarna längs 8cm-sidan blir basen (12 + 12)cm = 24 cm och de två andra sidorna blir hypotenusan.

Bestäm omkretsen. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Om du lägger ihop delarna längs 12cm-sidan blir basen (8 + 8 ) cm= 16cm och de två andra sidorna blir hypotenusan.

Bestäm omkretsen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den längsta omkretsen är cirka 52,8 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken är den största omkretsen? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen av triangeln med längst omkrets är 53cm. </cell> </row>

Axel träffade husets stuprör med en boll. Detta gjorde att den övre delen av stupröret lossnade. Byggnaden är 13m hög och den nedre delen av stupröret flyttades 5m bort från väggen.

Beräkna hur många meter den övre delen av stupröret flyttades ned.

<row> <cell left="true" role="sol"> Byggnadens höjd: 13m
Stuprör flyttat från vägg: 5m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Stuprör =13m </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Stuprörets längd är lika med byggnadens höjd eftersom det satt vid byggnaden innan det föll.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Stupröret är hypotenusan i triangeln. </cell> <cell right="true" role="exp"> Stupröret och byggnaden bildar en rätvinklig triangel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 + h^2 = 13^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att beräkna den vertikala kateten h. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h^2 = 144 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 25 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h = sqrt(144) </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (13 - 12)m = 1 m </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera den vertikala kateten från byggnadens höjd. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den övre delen av stupröret flyttades ned 1m. </cell> </row>

Triangel X är en rätvinklig triangel med kateterna 3cm och 4cm. Triangel Y är likformig med triangel X. Summan av triangel Y:s kateter är 28cm. Hur lång är triangel Y:s hypotenusa?

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangel X har kateterna 3cm och 4cm.
Triangel Y är likformig med triangel X. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangel Y har kateterna xcm och ycm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Kalla triangel Y:s kateter för x och y. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3/x = 4/y </cell> <cell right="true" role="exp"> Ställ upp förhållandet mellan motsvarande kateter i de likformiga trianglarna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x/y = 3/4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv om förhållandet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x + y = 28 </cell> <cell right="true" role="exp"> Summan av triangel Y:s kateter är 28cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x/y + y/y = 28/y </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda led med y. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3/4 + 1 = 28/y </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt x/y med 3/4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7/4 = 28/y </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla vänsterledet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 28 - 16 = 12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna x genom att subtrahera y från 28. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c^2 = 12^2 + 16^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att beräkna hypotenusan. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangel Y:s hypotenusa är 20cm. </cell> </row>

I en rektangel är basen fyra gånger så lång som höjden. Diagonalen är sqrt(500)cm. Hur lång är basen? Svara i exakt form.

<row> <cell left="true" role="sol"> Basen är fyra gånger så lång som höjden.
Diagonalen är sqrt(500)cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Höjd = x
Bas = 4x </cell> <cell right="true" role="exp"> Kalla höjden för x. Då är basen 4x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 + (4x)^2 = (sqrt(500))^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats där sidorna är kateterna och diagonalen är hypotenusan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 + 16x^2 = 500 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla vänster led och kvadrera höger led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 17x^2 = 500 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla termerna i vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 = 500/17 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda led med 17. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = sqrt(500/17) = </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta roten ur båda led och förenkla. Vi får höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bas = 4 * 10sqrt(85)/17 = 40sqrt(85)/17 </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen är fyra gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Basen är 40sqrt(85)/17cm. </cell> </row>

En metalltråd är 15dm lång. Hur kan du böja tråden för att bilda en rätvinklig triangel? Ange måtten på sidorna från minst till störst. Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Tråden är 15dm lång och ska bilda en rätvinklig triangel.
Triangelns omkrets är alltså 15dm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a + b + c = 15
a^2 + b^2 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidorna måste uppfylla både omkretsen och Pythagoras sats. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 + 4 + 5 = 12 </cell> <cell right="true" role="exp"> En triangel med sidorna 3dm, 4dm och 5dm är rätvinklig, men har omkrets 12dm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3k + 4k + 5k = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera varje sida med k för att få en större triangel. Sätt dess omkrets lika med 15. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12k = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla vänsterledet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 1,25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda led med 12. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> &a = 3 * 1,25dm = 3,75dm &b = 4 * 1,25dm = 5dm &c = 5 * 1,25dm = 6,25dm </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna sidornas längder genom att multiplicera med k. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3,75^2 + 5^2 = 14,0625 + 25 = 39,0625
6,25^2 = 39,0625 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera att sidorna uppfyller Pythagoras sats. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ett exempel är 3,75dm, 5dm och 6,25dm. De uppfyller både att summan är 15dm och att Pythagoras sats gäller. </cell> </row>

Pythagoras sats Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan