I denna applet finns fyra identiska rätvinkliga trianglar. Du kan flytta och rotera trianglarna. Utan att låta dem överlappa, försök att placera trianglarna så att de tillsammans bildar ett mönster som ser ut som en kvadrat inuti en kvadrat.

Drag, släpp och rotera

Dra i trianglarnas hörn för att rotera dem, drag och släpp trianglarna in till rätt position i den kvadratiska mallen nedanför.

Fyra identiska flyttbara rätvinkliga trianglar.

Teori

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel kallas de två sidor som bildar den räta vinkeln för kateter, och sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa.

Sambandet mellan kateter och hypotenusa i en rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel (och endast i rätvinkliga trianglar) är summan av kvadraterna på kateternas längder lika stor som kvadraten på hypotenusans längd.

Pythagoras sats

Om kateterna har längderna a och b och hypotenusan har längden c, kan sambandet skrivas så här:

a^2+b^2 = c^2

En triangel är också rätvinklig om sidorna passar ihop på det sättet att kvadraterna på två av sidorna tillsammans blir lika stora som kvadraten på den tredje sidan. När det sambandet stämmer vet vi att triangeln har en rät vinkel — även utan att det syns i figuren.

Exempel

Vi undersöker en rätvinklig triangel där kateterna är 6cm och 8cm. Målet är att bestämma hypotenusan.

Med Pythagoras sats får vi:

& 6^2 + 8^2 = c^2 & 36 + 64 = c^2 & 100 = c^2 & c = 10

Hypotenusan är alltså 10cm lång.

Den geometriska idén bakom satsen

För att förstå varför satsen fungerar kan vi titta närmare på samma triangel. Om vi ritar en kvadrat på varje sida av triangeln ser vi hur areorna hänger ihop:

Kvadraten på 6cm-sidan har arean 6^2cm^2 = 36cm^2.
Kvadraten på 8cm-sidan har arean 8^2cm^2 = 64cm^2.
Kvadraten på 10cm-sidan har arean 10^2cm^2 = 100cm^2.

De två mindre kvadraterna har tillsammans arean:

(36 + 64)cm^2 = 100cm^2

vilket precis motsvarar arean av den stora kvadraten. Det är därför sambandet a^2 + b^2 = c^2 alltid gäller i en rätvinklig triangel: kateternas kvadrater får plats exakt i hypotenusans kvadrat.

Visste du detta?

Det är detta geometriska samband som Pythagoras upptäckte för ungefär 2 500 år sedan.

Exempel

Hitta den saknade sidan med Pythagoras sats

Bestäm triangelns hypotenusa. Avrunda till en decimal vid behov.

25^2 + 5^2 = c^2

Sätt in 𝑎 = 25 och b=5 i Pythagoras sats.

625 + 25 = c^2

Beräkna kvadraterna.

650 = c^2

c= sqrt(650)≈ 25,5

Ta kvadratroten.

Svar: Hypotenusan är ungefär 25,5cm.

Bestäm den saknade kateten i triangeln. Avrunda till en decimal vid behov.

3^2 + b^2 = 5^2

Sätt in a = 3 och c = 5 i Pythagoras sats.

9 + b^2 = 25

Beräkna kvadraterna.

b^2 = 16

Subtrahera 9 från båda leden.

b = sqrt(16) = 4

Ta kvadratroten.

Svar: Den andra kateten är 4m.

Övning

Hitta den okända sidlängden

Bestäm den saknade sidlängden i den givna rätvinkliga triangeln. Om det behövs, avrunda ditt svar till två decimaler.

Räkna ut sidlängden för sidan x.

Exempel

Är triangeln rätvinklig?

En hög flaggstång har en vajer fäst i toppen. Flaggan, stången och vajern bildar en triangel.

Avgör om triangeln är en rätvinklig triangel.

a^2 + b^2 = c^2

Använd Pythagoras sats.

4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41

Sätt in sidlängderna.

sqrt(41) = 6,4

6,4 ≠ 6

Jämför med hypotenusan.

Eftersom 6,4 ≠ 6 är villkoret inte uppfyllt.

Svar: Triangeln är inte en rätvinklig triangel.

Övning

Är detta en rätvinklig triangel?

Använd Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är rätvinklig. Avrunda beräkningarna till en decimal.

Avgör ifall följande triangel är rätvinklig eller ej.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Pythagoras sats Åk 9

Uppgift 2.1

Bestäm rektangelns diagonals längd. Avrunda svaret till en decimal.

<row> <cell left="true" role="sol"> Diagonalen delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Vad bildar diagonalen i rektangeln? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 35^2 + 70^2 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats. Kateterna är 35cm och 70cm, och hypotenusan är diagonalen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 225 + 4 900 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c = sqrt(6 125) ≈ 78,3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Rektangelns diagonal är ungefär 78,3cm. </cell> </row>

Är triangeln rätvinklig? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Den längsta sidan är 7cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera den längsta sidan. Om triangeln är rätvinklig är detta hypotenusan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4,5^2 + 5,5^2 ? = 7^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera med Pythagoras sats om sambandet är uppfyllt. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 20,25 + 30,25 ? = 49 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 50,5 ≠ 49 * </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför vänster och höger led. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangeln är inte rätvinklig eftersom Pythagoras sats inte är uppfylld. </cell> </row>

En rätvinklig triangel har den kortaste kateten 65mm lång och hypotenusan 97mm lång. Beräkna triangelns omkrets.

<row> <cell left="true" role="sol"> Den kortaste kateten är 65mm och hypotenusan är 97mm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 65^2 + b^2 = 97^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats. Låt b vara den längsta kateten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 225 + b^2 = 9 409 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 5 184 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 4 225 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b = sqrt(5 184) = 72 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = (65 + 72 + 97) mm = 234 mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna omkretsen genom att addera alla tre sidorna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangelns omkrets är 234mm. </cell> </row>

Bestäm omkretsen av triangeln som visas i diagrammet.

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangelns hörn är A(-1, -1), B(2, 3) och C(-4, 3). </cell> <cell right="true" role="exp"> Läs av koordinaterna från diagrammet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sidan BC ligger horisontellt på linjen y=3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera vilken sida du kan mäta direkt i rutnätet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> BC = 2-(-4) = 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna längden genom att ta skillnaden mellan x-koordinaterna. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> För att hitta AC skapar du en rätvinklig triangel med kateter 3 och 4. Använd Pythagoras sats.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> AC^2 = 9 + 16 = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna och addera. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> AC = sqrt(25) = 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> För att hitta AB skapar du en rätvinklig triangel med kateter 3 och 4. Kateterna har samma längder som tidigare.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> AB = 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Alltså är AB också 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = 5 + 6 + 5 = 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera alla sidlängder för att beräkna omkretsen. </cell> </row>

En rätvinklig triangel har två sidor som är 9cm och 12cm. Lina räknade ut att den tredje sidan är 15cm, medan Erik fick 14cm. Vem hade rätt? Förklara ditt resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> De två givna sidorna är 9cm och 12cm.
Lina fick 15cm och Erik fick 14cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Både 14cm och 15cm är större än 9cm och 12cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför de beräknade värdena med de givna sidorna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Eftersom hypotenusan alltid är den längsta sidan i en rätvinklig triangel måste 9cm och 12cm vara de båda kateterna. </cell> <cell right="true" role="exp"> Avgör vilken typ av sidor de givna måtten representerar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9^2 + 12^2 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att beräkna hypotenusan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81 + 144 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 225 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c = sqrt(225) = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Lina hade rätt. Den tredje sidan är 15cm eftersom 9^2 + 12^2 = 15^2. </cell> </row>

En datorskärm är 48cm bred och 27cm hög.

Bestäm skärmens storlek i tum. En skärms storlek anges som diagonalens längd. Avrunda till närmaste hela tum.

<row> <cell left="true" role="sol"> Skärmen är 48cm bred och 27cm hög.
Omvandlingsfaktorn är 1 tum = 2,5 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bredden, höjden och diagonalen bildar en rätvinklig triangel där diagonalen är hypotenusan. </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera vilken typ av triangel som bildas. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 48^2 + 27^2 = d^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att beräkna diagonalen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 304 + 729 = d^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 033 = d^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d = sqrt(3 033) ≈ 55,1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 55,1/2,5tum ≈ 22 tum </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela diagonalen i cm med 2,5 för att omvandla till tum. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Skärmens storlek är cirka 22 tum. </cell> </row>

En park är 80m lång och 60m bred.

Hur mycket kortare är det att cykla diagonalt genom parken jämfört med att cykla runt den?

<row> <cell left="true" role="sol"> Parkens sidor är 80m och 60m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d^2 = 80^2 + 60^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att beräkna diagonalens längd. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (80 + 60)m = 140m </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna längden runt två sidor av parken. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (140 - 100)m = 40m </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera diagonalens längd från längden runt två sidor. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det är 40m kortare att cykla diagonalt genom parken. </cell> </row>

Beräkna triangelns area.

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangeln är rätvinklig med kateterna 2xcm och 3xcm samt hypotenusan sqrt(52)cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (2x)^2 + (3x)^2 = (sqrt(52))^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att bestämma x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4x^2 + 9x^2 = 52 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 13x^2 = 52 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla termerna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x = 4cm och 3x = 6cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kateterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 4 * 6/2cm^2 = 12cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för en triangels area. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangelns area är 12cm^2. </cell> </row>

Pythagoras sats Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan