Gör dig redo att spela! Placera ut dina egna fartyg på spelplanen innan du börjar leta efter din motståndares gömda mål. Använd ena änden för att flytta fartyget och den andra för att rotera det. Klicka sedan på rutorna för att försöka träffa målen.

Ett bräde med rutor som kan väljas för att hitta gömda mål

Använder bild av: Freepik

Fundera på följande frågor:

Hur kan du använda två tal för att beskriva en bestämd ruta på spelplanen?
Kan du komma på andra situationer där man använder två tal för att ange en plats eller en position?

Teori

Koordinatsystem

Ett koordinatsystem består av två tallinjer: x-axel och y-axel, som skär varandra. x-axel är vågrät medan y-axel är lodrät. Punkten där de två axlarna möts kallas för origo. Dessa axlar kallas tillsammans för koordinataxlarna.

I ett koordinatsystem kan vi beskriva en punkt med dess koordinaterna. Koordinaterna består av två tal: x-koordinaten och y-koordinaten. När vi skriver en punkt anger vi alltid x-koordinaten först och y-koordinaten sedan. Exempel: Om en punkt ligger 2 steg åt höger från origo på x-axeln och 3 steg uppåt på y-axeln, så har den koordinaterna (2, 3).

Punkt på det tvådimensionella koordinatsystemet, markerad med sina koordinater på x-axeln och y-axeln.

Ibland kan koordinaterna vara decimaltal. För att göra det tydligare skiljer man x-koordinaten och y-koordinaten med ett semikolon. Till exempel: (-3;-1,5). Detta gör att man inte blandar ihop talen.

Övning

Punkter i koordinatsystemet

Använd koordinatsystemet för att svara på frågorna.

Ett interaktivt koordinatsystem där du uppmanas att ange koordinaterna för en given punkt eller flytta en punkt till en specifik position.

Teori

Proportionalitet

När vi handlar varor, till exempel choklad eller frukt, märker vi att priset ökar när vikten ökar. Om priset är detsamma per 100 gram, oavsett hur mycket du köper, säger vi att priset är proportionellt mot vikten.

Anta att en viss typ av choklad kostar 8 kronor per 100 gram. Då blir priset 16 kronor för 200 gram och 24 kronor för 300 gram. Här ser vi att priset växer i samma takt som vikten.

Vikt (g)	Pris (kr)	Koordinater
100	8	(100,8)
200	16	(200,16)
300	24	(300,24)

Vi kan visa detta samband i ett koordinatsystem genom att rita en graf som visar hur priset förändras när vikten ökar. På x-axeln markerar vi vikten i gram, och på y-axeln markerar vi priset i kronor.

När vi markerar punkterna ser vi att de alltid ligger på en rak linje som går genom origo.

Viktig

En graf som visar en proportionalitet är alltid en rak linje genom origo.

Exempel

Biljetter till nöjesparken — proportionellt pris

Två biljetter till nöjesparken kostar 650 kronor. Hur mycket kommer sju biljetter att kosta om priset är proportionellt mot antalet köpta biljetter?

Priset för två biljetter är 650kr.

Börja med att skriva ner det du vet.

Pris per biljett är 650/2 kr= 325kr.

Priset för en biljett beräknas genom att dela priset för två biljetter med 2.

Priset för sju biljetter är 325* 7kr=2 275kr.

Priset för sju biljetter beräknas genom att multiplicera priset för en biljett med 7.

Svar: Priset för sju biljetter är 2 275kr.

Exempel

Köpa Äpplen

Alice tittar på ett koordinatsystem som visar priset på äpplen beroende på vikten. x-axeln visar vikten i kilogram och y-axeln visar priset i kronor.

Vad är priset per kilogram äpplen enligt koordinatsystemet?

Från grafen: 1 kg → 30 kr

I ett proportionellt samband kan man läsa av priset för 1kg direkt i grafen.

Svar: Priset per kilogram äpplen är 30 kronor.

Hur mycket väger en påse äpplen som kostar 90 kronor?

Från grafen: 90 kr → 3 kg

För att hitta vikten följer man grafen: börja vid 90 på y-axeln, gå med en tunn pil till linjen och sedan ned till x-axeln där man ser 3kg.

Svar: En påse äpplen som kostar 90 kronor väger 3 kilogram.

Beräkna hur mycket Alice skulle betala för 0,5 kilogram äpplen.

Från grafen: 1 kg → 30 kr

Börja med att skriva ner det du vet.

30/2 kr=15kr

Eftersom priset ökar proportionellt med vikten, blir priset för 0,5kg hälften av priset för 1kg.

Svar: Alice skulle betala 15 kronor för 0,5 kilogram äpplen.

Exempel

Pris och vikt på mjölpåsar

På en livsmedelsbutik säljs mjölpåsar av olika storlekar. En stor påse mjöl väger 2 kilogram och kostar 40 kronor. En mindre påse väger 0,75 kilogram.

Vad kostar den mindre påsen om priset är proportionellt mot vikten?

Vikt av stor påse: 2kg
Pris av stor påse: 40kr
Vikt av mindre påse: 0,75kg

Börja med att skriva ner det du vet.

40/2 .kr /kg. = 20 .kr /kg.

Pris per kilogram för den stora påsen beräknas genom att dela det totala priset för två kilogram med 2.

0,75* 20kr =

Eftersom priset är proportionellt mot vikten, är priset per kilogram för den mindre påsen samma. Multiplicera 0,75 med 20 för att beräkna priset för den mindre påsen.

=0,75* 10* 2kr = 15kr

Svar: Den mindre påsen kostar 15 kronor.

Rita grafen som visar hur priset på mjöl är proportionellt mot vikten.

Svar:

Du får veta att 2kg kostar 40kr, vilket betyder att grafen också måste passera genom punkten (2,40). När vikten är 0kg måste priset också vara 0kr, så grafen går genom origo (0,0). Eftersom sambandet är proportionellt är grafen en rät linje (priset ökar med en konstant takt per kilogram).

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Proportionalitet Åk 7

Uppgift 3.1

Två trianglar har proportionella sidolängder och uppfyller förhållandet 2:3. Om omkretsen av den mindre triangeln är 24 centimeter, vad är omkretsen av den större triangeln?

<row> <cell left="true" role="sol"> Förhållandet mellan sidolängderna är 2:3.
Omkretsen av den mindre triangeln är 24cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den större triangelns sidor är 3/2 gånger längre än den mindre triangelns sidor. </cell> <cell right="true" role="exp"> Förhållandet 2:3 kan skrivas som 3/2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_(stor)/O_(liten)=3/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom alla sidor förlängs med samma förhållande blir omkretsen också 3/2 gånger större. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_(stor)/24=3/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdet 24 för den lilla triangelns omkrets. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_(stor)=3/2 * 24 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera båda led med 24. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen av den större triangeln är 36cm. </cell> </row>

Ett bageri har tre identiska ugnar. Ugnarna är på i 6 timmar om dagen och producerar 2 070 bröd. Bageriet köper två identiska ugnar och kör alla fem ugnar i 8 timmar om dagen. Hur många bröd kan ugnarna totalt baka per dag?

<row> <cell left="true" role="sol"> Tre ugnar producerar 2 070 bröd på 6 timmar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 070/6=345 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 2 070 med 6 för att beräkna hur många bröd tre ugnar bakar på en timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 345/3=115 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 345 med 3 för att beräkna hur många bröd en ugn bakar på en timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 115 * 5 = 575 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 115 med 5 för att beräkna hur många bröd fem ugnar bakar på en timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 575 * 8 = 4 600 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 575 med 8 för att beräkna hur många bröd fem ugnar bakar på en dag. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: De fem ugnarna bakar 4 600 brödlimpor på en dag. </cell> </row>

En grupp på 8 volontärer kan plantera 320 träd på 4 timmar. Om 4 volontärer ansluter sig till gruppen, hur många timmar måste de arbeta för att plantera 960 träd?

<row> <cell left="true" role="sol"> Åtta volontärer planterar 320 träd på 4 timmar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 320/4=80träd </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 320 med 4 för att beräkna hur många träd åtta volontärer planterar på en timme. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> 80/8=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 80 med 8 för att beräkna hur många träd en volontär planterar på en timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10 * 12=120 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 10 med 12 för att beräkna hur många träd tolv volontärer planterar på en timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 960/120=8tim </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 960 med 120 för att beräkna hur många timmar som behövs för att plantera 960 träd. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: De tolv volontärerna behöver 8 timmar för att plantera 960 träd. </cell> </row>

Vilket förhållande hör inte ihop med de andra tre? Förklara din resonemang. cccc 4: 10 & 2: 5 & [0.75em] 3: 5 & 6: 15

<row> <cell left="true" role="sol"> 4:10 = 2:5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla förhållandet 4:10 genom att dividera båda talen med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2:5 är redan i enklaste form. </cell> <cell right="true" role="exp"> Lämna 2:5 som det är. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3:5 är redan i enklaste form. </cell> <cell right="true" role="exp"> Lämna 3:5 som det är. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6:15 = 2:5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla förhållandet 6:15 genom att dividera båda talen med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Tre av förhållandena är lika med 2:5, men 3:5 är annorlunda. </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför alla förenklade förhållanden för att hitta det som skiljer sig. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Förhållandet 3:5 hör inte ihop med de andra tre. </cell> </row>

Tabellen visar kostnaden för ett gymkort under olika perioder.

Period	Pris
1 månad	320 kr
3 månader	900 kr
6 månader	1 680 kr
12 månader	3 100 kr

Är priset proportionellt mot tiden? Förklara ditt resonemang.

Antag att priset för en längre period är proportionellt mot månadspriset. Vad skulle kostnaden bli för ett medlemskap i 3 månader?

Antag att priset för en längre period är proportionellt mot månadspriset. Vad skulle kostnaden bli för ett medlemskap i 1 år?

Period	Pris	Priset per månad
1 månad	320kr	320.kr /mån.
3 månader	900kr	900/3.kr /mån.=300.kr /mån.
6 månader	1 680kr	1 680/6.kr /mån.=280.kr /mån.
12 månader	3 100kr	3 100/12.kr /mån.≈ 258,33.kr /mån.

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Beräkna priset per månad för varje period genom att dividera priset med antalet månader. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, priset är inte proportionellt mot tiden eftersom priset per månad är olika för olika perioder. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 320 * 3kr = 960kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd priset för 1 månad (320kr) och multiplicera med 3. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kostnaden skulle bli 960kr. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 320 * 12 kr = 3 840kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Ett år har 12 månader. Använd priset för 1 månad (320kr) och multiplicera med 12. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kostnaden skulle bli 3 840kr. </cell> </row>

I ett koordinatsystem är tre hörn av ett fyrhörning ABCD givna: A(1, 4), B(-3, 1) och C(-2, 3). Punkt D saknas. Vilka koordinater har punkten D så att fyrhörningen ABCD blir ett parallellogram?

<row> <cell left="true" role="sol"> I ett parallellogram är motstående sidor parallella och lika långa.
A(1, 4), B(-3, 1), C(-2, 3) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Från A till B:
x: 1 → -3 (förändring: -4)
y: 4 → 1 (förändring: -3) </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna förändringen i x och y från punkt A till punkt B. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sidan DC ska vara parallel med AB och lika lång. Därför ska förändringen från D till C också vara -4 i x-led och -3 i y-led. </cell> <cell right="true" role="exp"> Motstående sidor i ett parallellogram har samma förändring i koordinaterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Låt D=(x, y).
x + (-4) = -2
y + (-3) = 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beteckna D som (x,y). Om du går från D och lägger till förändringen -4 i x-led och -3 i y-led så når du punkt C(-2, 3). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x - 4 = -2 ⇒ x = 2
y - 3 = 3 ⇒ y = 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationerna för x och y. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Punkten D har koordinaterna (2, 6). </cell> </row>

En fruktståndsförsäljare säljer äpplen där 5 äpplen väger 2kg och kostar 120kr.

Vad kostar ett äpple om priset är proportionellt mot vikten?

Om äpplena säljs i påsar om 8 äpplen, vad kostar en sådan påse?

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 äpplen väger 2kg och kostar 120kr. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 120/2.kr /kg.=60.kr /kg. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna priset per kilogram. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 000/5 gram = 400gram </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna vikten av ett äpple. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 60 * 400/1 000=24kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera priset per kilogram med vikten av ett äpple i kilogram. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar Ett äpple kostar 24kr. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 8* 24=192kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera priset per äpple med 8 för att beräkna priset för en hel påse. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar En påse med 8 äpplen kostar 192kr. </cell> </row>

I en liten fabrik producerar varje maskin 90 leksaker när den arbetar 6 timmar om dagen. Fabriken har 3 sådana maskiner. Fabriken köper ytterligare 2 maskiner av samma typ och ökar arbetstiden till 8 timmar om dagen för alla maskiner. Beräkna hur många leksaker alla maskinerna producerar sammanlagt per dag efter förändringen.

<row> <cell left="true" role="sol"> En maskin producerar 90 leksaker på 6 timmar.
3 maskiner från början.
2 nya maskiner.
8 timmar om dagen efter förändringen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 90/6leksaker=15leksaker </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera antalet leksaker med antalet timmar för att beräkna hur många leksaker en maskin producerar per timme. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 15 * 8leksaker=120leksaker </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera produktionen per timme med antalet timmar för att beräkna hur många leksaker en maskin producerar på 8 timmar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (3 + 2 ) maskiner = 5 maskiner </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna det totala antalet maskiner efter förändringen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 * 120 leksaker=600 leksaker </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera antalet maskiner med produktionen per maskin för att beräkna den totala produktionen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Alla 5 maskiner producerar 600 leksaker per dag. </cell> </row>

Proportionalitet Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan