Ett prisma är en tredimensionell form med en polygon som basyta. Om sidoytorna är rektanglar kallas det för ett räkt prisma. Alla rätblock är prismor, och eftersom en kub är ett rätblock, är en kub också ett prisma.

Det finns olika typer av prismor beroende på hur många sidor basytan har. Exempel:

Tresidigt prisma.
Fyrsidigt prisma (ett rätblock eller en kub).
Femsidigt prisma.

Formel: Volymen av ett prisma

Volymen av ett prisma (V) beräknas genom att multiplicera basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Till exempel, vi har ett rät prisma med en basyta som är en rektangel med längd 5cm, bredd 3cm och höjd 4cm. Då får vi:

Basytans area: B = 5 * 3 = 15cm^2

Volymen: V = 15 * 4 = 60cm^3

Formeln fungerar för alla typer av prismor.

Övning

Hitta volymen av prismor

Vad är volymen av prisma?

Exempel

En stjärnlampa

Basen på en stjärnformad lampa har en area på 350 kvadratcentimeter. Lampan är 12 centimeter hög.

Hur stor volym har lampan?

B = 350cm^2
h = 12cm

Börja med att skriva ner det du vet.

V = B * h

Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Samma princip gäller oavsett prismats form.

V = 350cm^2 * 12cm = 4 200cm^3

Svar: Lampan upptar ett utrymme på 4 200 cm^3.

Exempel

En skattkista

En skattkista har en längd på 15 centimeter, en bredd på 10 centimeter och en volym på 1 200 kubikcentimeter.

Bestäm höjden på skattkistan.

l = 15cm
b = 10cm
V = 1 200cm^3

Börja med att skriva ner det du vet.

B = 15cm* 10cm = 150cm^2

Eftersom skattkistan är ett rätblock har den en rektangulär bas. Basytans area beräknas genom att multiplicera längden med bredden.

V = B * h så h = V/B

Volymen av ett prisma (till exempel ett rätblock) är lika med basytans area gånger höjden. Här vill vi lösa ut höjden.

h = 1 200/150cm=8cm

Sätt in V=1 200cm^3 och B=150cm^2, och beräkna kvoten för att hitta höjden.

Svar: Skattkistan är 8cm hög.

Exempel

Kapaciteten för en loge

Huvudstrukturen i en loge är 6 meter bred, 15 meter lång och 13 meter hög. Loftet är 5,2 meter högt.

Vad är ladugårdens volym?

b = 6m, l = 15m, h_1 = 13m, h_2 = 5,2m

Börja med att skriva ner det du vet.

Total volym:
V_(loge) = V_(nedre) + V_(övre)

Logens totala volym är summan av den nedre rätblocket och det övre triangulära prismat.

Formel för prisma:
V=B* h

Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden.

Nedre del:
B_(nedre) = 6m * 15m = 90m^2
V_(nedre) = 90m^2* 13m = 1 170m^3

Den nedre delen har en rektangulär bas. Multiplicera basytan med höjden för att få volymen.

Övre del:
B_(övre) = 6 * 5,2/2m^2 = 15,6m^2
V_(övre) = 15,6m^2 * 15m = 234m^3

Loftet är ett triangulärt prisma. Triangelns area är hälften av basen gånger höjden.

V_(loge) = (1 170 + 234)m^3 = 1 404 m^3

Svar: Logen har en volym på 1 404 m^3.

Teori

Pyramid

En pyramid har en bas som är en polygon och sidor som består av trianglar.

Formel: Volym av en pyramid

Om en pyramid har samma basyta (B) och höjd (h) som ett prisma, är pyramidens volym (V) en tredjedel av prismats volym. Formeln är:

V = B * h/3

Till exempel, vi har en pyramid med en kvadratisk basyta där varje sida är 4cm och höjden är 6cm. Då får vi:

Basytans area: B = 4 * 4 = 16cm^2

Volymen: V = 16 * 6/3 = 32 cm^3

Exemplet visar hur vi kan använda formeln för att beräkna volymen med hjälp av basyta och höjd.

Exempel

Pyramider i Arkitektur

En pyramid har en bas som är en liksidig triangel med en sidlängd på 5 meter och en höjd på 4,33 meter. Pyramidens höjd är 12 meter.

Använd denna information för att beräkna pyramidens volym.

Basen av triangeln: b = 5m
Höjden av triangeln: h_1 = 4,33m
Pyramidens höjd: h_2 = 12m

Börja med att skriva ner det du vet.

Basytans area:
B = b * h_1/2

Arean av en triangel är hälften av produkten av basen och höjden.

B=5 * 4,33/2m^2=21,65/2m^2 =

=10,825m^2

Volym av pyramid:
V = B * h_2/3

Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger pyramidens höjd.

V=10,825 * 12/3m^3 = 129,9/3m^3 =

=43,3m^3

Svar: Pyramidens volym är 43,3 m^3.

Exempel

En Pentagonal Pyramid

Tänk på ett kärl som har formen av en pentagonal pyramid. Detta är en pyramid vars bas är en femhörning. Kärlets volym är 1 100cm^3 och basytan är 110cm^2.

Beräkna kärlets höjd.

V = 1 100cm^3
B = 110cm^2

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel för volym av pyramid:
V = 1/3B* h ↔ h = 3V/B

Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden.

h = 3* 1 100/110cm = 3 300/110cm =

= 30cm

Svar: Kärlets höjd är 30 centimeter.

Övning

Beräkning av volymen av pyramider

Vad är volymen av pyramid?

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Prisma och pyramid Åk 8

Uppgift 3.1

Elias pappa bygger en ny konststudio i deras trädgård. För att välja en lämplig värmare behöver han beräkna British Thermal Units (BTUs) som krävs för att värma upp studion.

Om varje kubikmeter av välisolerad nybyggnation kräver 70 BTUs för att värmas upp bekvämt, hur många BTUs bör den valda värmeenheten ha?

<row> <cell left="true" role="sol"> Nedre del: ett rätblock som är 9m långt, 9m brett och 4m högt.
Övre del: en pyramid med kvadratisk bas 9m lång, 9m bred och 2m hög.
Varje kubikmeter kräver 70 BTU. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att hitta volymen av den nedre delen. Volymen av ett prisma är lika med produkten av basytans area och höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 9* 9m^2 = 81m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna basytans area genom att multiplicera längden och bredden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 81* 4m^3 = 324m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av den nedre delen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna sedan volymen av den övre delen. Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 81* 2/3m^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Pyramiden har samma basyta som rätblocket och är 2m hög. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = (324 + 54)m^3 =
=378m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den totala volymen genom att addera volymerna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 70BTU/m^3* 378m^3 =
=26 460BTU </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera volymen med 70BTU/m^3. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Värmeenheten bör ha 26 460BTU. </cell> </row>

En tunnel har formen av ett prisma. Den är 750 meter lång och har en ingång med en area på 24 kvadratmeter.

Cirka 20 % av luften i tunneln är syre. Syrets densitet är 1,4 kilogram per kubikmeter. Hur stor är vikten av syret i tunneln?

<row> <cell left="true" role="sol"> l = 750m
Ingångens area: 24m^2
20 % av luften är syre.
Densitet av syre: 1,4kg/m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Tunneln är ett prisma vars bas är ingången och vars höjd är tunnelns längd. Volymen av ett prisma är lika med basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(syre) = 0,2* 18 000m^3 =
=3 600m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Cirka 20 % av luften är syre. Multiplicera volymen med 0,2 för att få syrets volym. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 600m^3* 1,4kg/m^3 =
=5 040kg </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera syrets volym med densiteten för att bestämma vikten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Syret i tunneln väger 5 040kg. </cell> </row>

Överväg följande prism där alla sidor av basen har samma längd.

Beräkna volymen av prismat.

<row> <cell left="true" role="sol"> Alla sidor av den hexagonala basen är 5cm långa.
Avståndet från basens centrum till någon sida är 4,2cm.
h = 13cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basytans area och höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(triangel) = 5* 4,2/2cm^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> För att beräkna B, dela basen i identiska trianglar. Basen av varje triangel är 5cm och höjden är 4,2cm. Hitta arean av en triangel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 6* 10,5cm^2 =
=63cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Basarean är lika med arean av en triangel multiplicerat med antalet trianglar som utgör basen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 63* 13cm^3 =
=819cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av prismat. </cell> </row>

En fyrsidig pyramid har en bas med en sidlängd på 10 meter och en höjd på 12 meter.

Om alla dimensioner av pyramiden fördubblas, hur mycket ökar den nya volymen jämfört med den ursprungliga volymen?

<row> <cell left="true" role="sol"> Längd: 10m
Bredd: 10m
Höjd: 12m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 10* 10m^2 = 100m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna basarean genom att multiplicera längden och bredden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 100* 12/3m^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av den givna pyramiden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2l = 20m
2b = 20m
2h = 24m </cell> <cell right="true" role="exp"> Dubbla alla mått. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 20* 20m^2 = 400m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den nya basarean. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 400* 24/3m^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den nya volymen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (3 200 - 400)m^3 =
= 2 800m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera den ursprungliga volymen från den nya volymen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen ökade med 2 800m^3. </cell> </row>

Ge ett exempel på en pyramid och ett prisma som har samma bas och samma volym. Förklara din resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> Pyramid: V_1 = B_1* h_1/3
Prisma: V_2 = B_2* h_2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv formlerna för volymen av en pyramid och volymen av ett prisma. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B_1* h_1/3 = B_2* h_2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom pyramiden och prismat ska ha samma volym, sätt volymerna lika. </cell> </row>

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> B_1* h_1/3 = B_1* h_2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Pyramiden och prismat ska också ha samma basarea, så B_1=B_2. Förenkla för att hitta ett samband mellan höjderna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B_1* h_1 = 3* B_1* h_2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera båda sidor med 3. </cell> </row> </expandable>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bas: kvadratisk med sidan 2m
B = 2* 2 m^2= 4m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Välj en basarea för båda soliderna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h_2 = 3m </cell> <cell right="true" role="exp"> Välj en höjd för prismat. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h_1 = 3* 3 m= 9m </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna höjden av pyramiden med hjälp av sambandet h_1 = 3h_2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Ett prisma med kvadratisk bas med sidan 2m och höjd 3m har samma basarea och volym som en pyramid med kvadratisk bas med sidan 2m och höjd 9m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv din slutsats och förklara ditt resonemang. Det finns många möjliga lösningar. </cell> </row>

Ytan av ett prisma är lika med dubbla basens area plus basens omkrets multiplicerad med höjden. Vad är volymen av ett prisma med en yta på 3 700 kvadratcentimeter, en basarea på 650 kvadratcentimeter och en basomkrets på 80 centimeter?

<row> <cell left="true" role="sol"> Yta = 2B + O* h
Yta = 3 700cm^2
B = 650cm^2
O = 80cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 700 &= 2* 650 + 80* h 3 700 &= 1 300 + 80h 2 400 &= 80h h &= 30 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för ytan och de givna värdena för att beräkna höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är basarean multiplicerad med höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Prismats volym är 19 500cm^3. </cell> </row>

Ett betongkonstruktionblock har de angivna måtten. Hur mycket betong används för att göra blocket? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Betongkonstruktionblock:

Längd: 40cm
Bredd: 20cm
Höjd: 20cm

Hålen:

Längd: 20cm
Bredd: 16cm
Höjd: 15cm

</cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är basarean multiplicerad med höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B=20* 40 cm^2=
=800cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna basarean av hela blocket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 800* 20 cm^3=
=16 000cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av hela blocket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 16* 20 cm^2=
=320cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna basarean av ett hål. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 320* 15 cm^3=
=4 800cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av ett hål. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (16 000 - 4 800 - 4 800)cm^3 =
=6 400cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera volymen av de två hålen från volymen av hela blocket. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Mängden betong som behövs för att göra blocket är 6 400cm^3. </cell> </row>

Mark har en udda formad figur som består av ett rätblock med en kub borttagen från ett hörn och ett rätblock borttaget från det motsatta hörnet.

Vad är volymen av figuren?

<row> <cell role="sol"> Stort rätblock:

Längd: 14cm
Bredd: 10cm
Höjd: 4cm

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Komplettera de givna kropp genom att lägga till två rätblock på hörnen. Skriv dimensionerna på prismat som bildas.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Stort rätblock:
B = 14* 10cm^2 = 140cm^2
V = 140* 4cm^3 = 560cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av det stora rätblocket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Borttagen kub:

Längd: 4cm
Bredd: 4cm
Höjd: 4cm

</cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv dimensionerna på kuben som togs bort. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 4* 4cm^2 = 16cm^2
V= 16* 4cm^3 = 64cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av kuben. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Borttaget rätblock:

Längd: 6cm
Bredd: 4cm
Höjd: 4cm

</cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv dimensionerna på det lilla rätblocket som togs bort. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 6* 4cm^2 = 24cm^2
V= 24* 4cm^3 = 96cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av det lilla rätblocket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (560 - 64 - 96)cm^3 =
=400cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera volymen av de två borttagna rätblocken från volymen av det stora prismat. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av figuren är 400cm^3. </cell> </row>

Prisma och pyramid Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan