4. Prisma och pyramid Åk 8
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Prisma och pyramid Åk 8
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Prisma och pyramid Åk 8
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:
- Prisma
- Rakt prisma
- Volymen av ett prisma
- Pyramid
- Volymen av en pyramid
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Prisma
Ett prisma är en tredimensionell form med en polygon som basyta. Om sidoytorna är rektanglar kallas det för ett räkt prisma. Alla rätblock är prismor, och eftersom en kub är ett rätblock, är en kub också ett prisma.
Det finns olika typer av prismor beroende på hur många sidor basytan har. Exempel:
- Tresidigt prisma.
- Fyrsidigt prisma (ett rätblock eller en kub).
- Femsidigt prisma.
Formel: Volymen av ett prisma
Volymen av ett prisma $(V)$ beräknas genom att multiplicera basytans area $(B)$ med höjden $(h).$
$V = B \t h$
Till exempel, vi har ett rät prisma med en basyta som är en rektangel med längd $5\text{ cm},$ bredd $3\text{ cm}$ och höjd $4\text{ cm}.$ Då får vi:
Basytans area: $B = 5 \t 3 = 15\text{ cm}^2$
Volymen: $V = 15 \t 4 = 60\text{ cm}^3$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Hitta volymen av prismor
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
En stjärnlampa
Basen på en stjärnformad lampa har en area på $350$ kvadratcentimeter. Lampan är $12$ centimeter hög.
Hur stor volym har lampan?
$B = 350\text{ cm}^2$
$h = 12\text{ cm}$
Börja med att skriva ner det du vet.
$V = B \t h$
Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Samma princip gäller oavsett prismats form.
$V = 350\text{ cm}^2 \t 12\text{ cm} = 4\,200\text{ cm}^3$
Svar: Lampan upptar ett utrymme på $4\,200 \text{ cm}^3.$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
En skattkista
En skattkista har en längd på $15$ centimeter, en bredd på $10$ centimeter och en volym på $1\,200$ kubikcentimeter.
Bestäm höjden på skattkistan.
$\ell = 15\text{ cm}$
$b = 10\text{ cm}$
$V = 1\,200\text{ cm}^3$
Börja med att skriva ner det du vet.
$B = 15\text{ cm}\t 10\text{ cm} = 150\text{ cm}^2$
Eftersom skattkistan är ett rätblock har den en rektangulär bas. Basytans area beräknas genom att multiplicera längden med bredden.
$V = B \t h$ så $h = \dfrac{V}{B}$
Volymen av ett prisma (till exempel ett rätblock) är lika med basytans area gånger höjden. Här vill vi lösa ut höjden.
$h = \dfrac{1\,200}{150}\text{ cm}=8\text{ cm}$
Sätt in $V=1\,200\text{ cm}^3$ och $B=150\text{ cm}^2,$ och beräkna kvoten för att hitta höjden.
Svar: Skattkistan är $8\text{ cm}$ hög.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Kapaciteten för en loge
Huvudstrukturen i en loge är $6$ meter bred, $15$ meter lång och $13$ meter hög. Loftet är $5,2$ meter högt.
Vad är ladugårdens volym?
$b = 6\text{ m},$ $\ell = 15\text{ m},$ $h_1 = 13\text{ m},$ $h_2 = 5,2\text{ m}$
Börja med att skriva ner det du vet.
Total volym:
$V_{\text{loge}} = V_{\text{nedre}} + V_{\text{övre}}$
Logens totala volym är summan av den nedre rätblocket och det övre triangulära prismat.
Formel för prisma:
$V=B\t h$
Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden.
Nedre del:
$B_{\text{nedre}} = 6\text{ m} \t 15\text{ m} = 90\text{ m}^2$
$V_{\text{nedre}} = 90\text{ m}^2\t 13\text{ m} = 1\,170\text{ m}^3$
Den nedre delen har en rektangulär bas. Multiplicera basytan med höjden för att få volymen.
Övre del:
$B_{\text{övre}} = \dfrac{6 \t 5,2}{2}\text{ m}^2 = 15,6\text{ m}^2$
$V_{\text{övre}} = 15,6\text{ m}^2 \t 15\text{ m} = 234\text{ m}^3$
Loftet är ett triangulärt prisma. Triangelns area är hälften av basen gånger höjden.
$V_{\text{loge}} = (1\,170 + 234)\text{ m}^3 = 1\,404 \text{ m}^3$
Svar: Logen har en volym på $1\,404 \text{ m}^3.$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Pyramid
Formel: Volym av en pyramid
Om en pyramid har samma basyta $(B)$ och höjd $(h)$ som ett prisma, är pyramidens volym $(V)$ en tredjedel av prismats volym. Formeln är:
$V = \dfrac{B \t h}{3}$
Till exempel, vi har en pyramid med en kvadratisk basyta där varje sida är $4\text{ cm}$ och höjden är $6\text{ cm}.$ Då får vi:
Basytans area: $B = 4 \t 4 = 16\text{ cm}^2$
Volymen: $V = \dfrac{16 \t 6}{3} = 32 \text{ cm}^3$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Pyramider i Arkitektur
En pyramid har en bas som är en liksidig triangel med en sidlängd på $5$ meter och en höjd på $4,33$ meter. Pyramidens höjd är $12$ meter.
Använd denna information för att beräkna pyramidens volym.
Basen av triangeln: $b = 5\text{ m}$
Höjden av triangeln: $h_1 = 4,33\text{ m}$
Pyramidens höjd: $h_2 = 12\text{ m}$
Börja med att skriva ner det du vet.
Basytans area:
$B = \dfrac{b \t h_1}{2}$
Arean av en triangel är hälften av produkten av basen och höjden.
$B=\dfrac{5 \t 4,33}{2}\text{ m}^2=\dfrac{21,65}{2}\text{ m}^2 =$
$=10,825\text{ m}^2$
Volym av pyramid:
$V = \dfrac{B \t h_2}{3}$
Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger pyramidens höjd.
$V=\dfrac{10,825 \t 12}{3}\text{ m}^3 = \dfrac{129,9}{3}\text{ m}^3 =$
$=43,3\text{ m}^3$
Svar: Pyramidens volym är $43,3 \text{ m}^3.$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
En Pentagonal Pyramid
Tänk på ett kärl som har formen av en pentagonal pyramid. Detta är en pyramid vars bas är en femhörning. Kärlets volym är $1\,100\text{ cm}^3$ och basytan är $110\text{ cm}^2.$
Beräkna kärlets höjd.
$V = 1\,100\text{ cm}^3$
$B = 110\text{ cm}^2$
Börja med att skriva ner det du vet.
Formel för volym av pyramid:
$V = \dfrac{1}{3}B\t h \ \leftrightarrow \ h = \dfrac{3V}{B}$
Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden.
$h = \dfrac{3\t 1\,100}{110}\text{ cm} = \dfrac{3\,300}{110}\text{ cm} =$
$= 30\text{ cm}$
Svar: Kärlets höjd är $30$ centimeter.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Beräkning av volymen av pyramider
Dela
Rapportera fel
Översätt
Prisma och pyramid Åk 8
Uppgifter
Vad är volymen av Rubiks kuben?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{ cm}^3$","answer":{"text":["729"]}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> Alla sidoytor är kvadrater med sidan $9\text{ cm}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = B\t h$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en prisma är lika med basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $B = 9^2\text{ cm}^2 = 81\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen är en kvadrat med sidan $9\text{ cm}.$ Bestäm dess area. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = 81\t 9\text{ cm}^3 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Höjden $h$ är $9$ centimeter. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=729\text{ cm}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av Rubiks kuben är $729 \text{ cm}^3.$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vad är volymen av smörklimpen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{ cm}^3$","answer":{"text":["180"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
$\ell = 12\text{ cm}$
$b = 5\text{ cm}$
$h = 3\text{ cm}$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $B = 12\t 5\text{ cm}^2 = 60\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom smörklimpen är ett rätblock, är dess bas en rektangel. Då kan basens area beräknas genom att multiplicera längden och bredden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = B\t h$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = 60\t 3\text{ cm}^3 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $B=60\text{ cm}^2$ och $h = 3\text{ cm}.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=180\text{ cm}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av smörklimpen är $180\text{ cm}^3.$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{m}^3$","answer":{"text":["253"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{cm}^3$","answer":{"text":["1410"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
$B = 33\text{ m}^2$
$h=23\text{ m}$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{B\t h}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{33\t 23}{3}\text{ m}^3 = \dfrac{759}{3}\text{ m}^3 = 253\text{ m}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: $V=253\text{ m}^3$ </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
$B = 90\text{ cm}^2$
$h = 47\text{ cm}$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{B\t h}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V =\dfrac{90\t 47}{3}\text{ cm}^3 =$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=\dfrac{4\,230}{3}\text{ cm}^3 = 1\,410\text{ cm}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: $V = 1\,410 \text{ cm}^3$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En fyrsidig pyramid har en kvadratisk bas med en sidlängd på 10 meter och en höjd på 12 meter.
Vad är volymen av den fyrsidiga pyramiden?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{m}^3$","answer":{"text":["400"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
$s = 10\text{ m}$
$h = 12\text{ m}$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{B\t h}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $B = 10^2\text{ m}^2 = 100\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen är en kvadrat. Då är dess area lika med sidlängden i kvadrat. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{100\t 12}{3}\text{ m}^3 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $B = 100\text{ m}^2$ och $h = 12\text{ m}.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=\dfrac{1\,200}{3}\text{ m}^3 = 400\text{ m}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: $V = 400\text{ m}^3$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vad är volymen av kroppen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{ cm}^3$","answer":{"text":["140"]}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> Ett fast föremål vars överyta har en area på $28\text{ cm}^2.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $B = 28\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Kroppen är ett prisma. Alla prismor har egenskapen att motsatta ytor är lika stora. Skriv basytan $B.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $h= 5\text{ cm}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera prismats höjd $h.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = B\t h$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = 28\t 5 \text{ cm}^2 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $B = 28\text{ cm}^2$ och $h = 5\text{ cm}.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=140\text{ cm}^3$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av kroppen är $V = 140\text{ cm}^3.$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Volymen av ett prisma är 2 700 kubikcentimeter och det är 12 centimeter högt. Vad är basytan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$B=$","formTextAfter":"$\\text{ cm}^2$","answer":{"text":["225"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
$V=2\,700\text{ cm}^3$
$h=12\text{ cm}$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = B\t h$ så att $B = \dfrac{V}{h}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. Lös formeln för $B.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $B = \dfrac{2\,700}{12}\text{ cm}^2 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $V = 2\,700\text{ cm}^3$ och $h=12\text{ cm}.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=225\text{ cm}^2$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Basytan är $225\text{ cm}^2.$ </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En rak fyrsidig prisma och en pyramid har samma basarea B och samma höjd h. Prismat har en volym på 12dm^3.
Hur stor volym har pyramiden? Motivera ditt svar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"$V=$","formTextAfter":"$\\text{ dm}^3$","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Prismat och pyramiden har samma basarea $B$ och höjd $h.$
Prismats volym är $12\text{ dm}^3.$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V_{\text{prisma}} = B\t h$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V_{\text{pyramid}} = \dfrac{B\t h}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V_{\text{pyramid}} = \dfrac{V_{\text{prisma}}}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Pyramidens volym är en tredjedel av prismat volym när de har samma basarea och höjd. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V_{\text{pyramid}} = \dfrac{12}{3}\text{ dm}^3= 4\text{ dm}^3$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera prismat volym med $3$ för att beräkna pyramidens volym. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Pyramiden har volymen $4\text{ dm}^3.$ En pyramid har alltid en tredjedel av volymen jämfört med ett prisma med samma basarea och höjd.
</cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En stor vattentank är formad som en pyramid med en basarea på 900 kvadratcentimeter.
Om vattentankens volym är 45 kubikdecimeter, hur högt är vattentanken i centimeter?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["200"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
$B = 900\text{ cm}^2$
$V=45\text{ dm}^3$
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $45\text{ dm}^3 \t \dfrac{1\,000\text{ cm}^3}{1\text{ dm}^3} =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Konvertera volymen till kubikcentimeter med hjälp av att $1$ kubikdecimeter är lika med $1\,000$ kubikcentimeter. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=45\,000\text{ cm}^3$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $V = \dfrac{B\t h}{3}$ så att $h = \dfrac{3V}{B}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $h = \dfrac{3\t 45\,000}{900}\text{ cm} =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $B = 900\text{ cm}^2$ och $V = 45\,000\text{ cm}^3.$ </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> $=\dfrac{135\,000}{900}\text{ cm} = 150\text{ cm}$ </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Vattentanken är $150\text{ cm}$ hög. </cell> </row>
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Prisma och pyramid Åk 8
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll