Ett prisma är en tredimensionell form med en polygon som basyta. Om sidoytorna är rektanglar kallas det för ett räkt prisma. Alla rätblock är prismor, och eftersom en kub är ett rätblock, är en kub också ett prisma.

Det finns olika typer av prismor beroende på hur många sidor basytan har. Exempel:

Tresidigt prisma.
Fyrsidigt prisma (ett rätblock eller en kub).
Femsidigt prisma.

Formel: Volymen av ett prisma

Volymen av ett prisma (V) beräknas genom att multiplicera basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Till exempel, vi har ett rät prisma med en basyta som är en rektangel med längd 5cm, bredd 3cm och höjd 4cm. Då får vi:

Basytans area: B = 5 * 3 = 15cm^2

Volymen: V = 15 * 4 = 60cm^3

Formeln fungerar för alla typer av prismor.

Övning

Hitta volymen av prismor

Vad är volymen av prisma?

Exempel

En stjärnlampa

Basen på en stjärnformad lampa har en area på 350 kvadratcentimeter. Lampan är 12 centimeter hög.

Hur stor volym har lampan?

B = 350cm^2
h = 12cm

Börja med att skriva ner det du vet.

V = B * h

Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Samma princip gäller oavsett prismats form.

V = 350cm^2 * 12cm = 4 200cm^3

Svar: Lampan upptar ett utrymme på 4 200 cm^3.

Exempel

En skattkista

En skattkista har en längd på 15 centimeter, en bredd på 10 centimeter och en volym på 1 200 kubikcentimeter.

Bestäm höjden på skattkistan.

l = 15cm
b = 10cm
V = 1 200cm^3

Börja med att skriva ner det du vet.

B = 15cm* 10cm = 150cm^2

Eftersom skattkistan är ett rätblock har den en rektangulär bas. Basytans area beräknas genom att multiplicera längden med bredden.

V = B * h så h = V/B

Volymen av ett prisma (till exempel ett rätblock) är lika med basytans area gånger höjden. Här vill vi lösa ut höjden.

h = 1 200/150cm=8cm

Sätt in V=1 200cm^3 och B=150cm^2, och beräkna kvoten för att hitta höjden.

Svar: Skattkistan är 8cm hög.

Exempel

Kapaciteten för en loge

Huvudstrukturen i en loge är 6 meter bred, 15 meter lång och 13 meter hög. Loftet är 5,2 meter högt.

Vad är ladugårdens volym?

b = 6m, l = 15m, h_1 = 13m, h_2 = 5,2m

Börja med att skriva ner det du vet.

Total volym:
V_(loge) = V_(nedre) + V_(övre)

Logens totala volym är summan av den nedre rätblocket och det övre triangulära prismat.

Formel för prisma:
V=B* h

Volymen av ett prisma beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden.

Nedre del:
B_(nedre) = 6m * 15m = 90m^2
V_(nedre) = 90m^2* 13m = 1 170m^3

Den nedre delen har en rektangulär bas. Multiplicera basytan med höjden för att få volymen.

Övre del:
B_(övre) = 6 * 5,2/2m^2 = 15,6m^2
V_(övre) = 15,6m^2 * 15m = 234m^3

Loftet är ett triangulärt prisma. Triangelns area är hälften av basen gånger höjden.

V_(loge) = (1 170 + 234)m^3 = 1 404 m^3

Svar: Logen har en volym på 1 404 m^3.

Teori

Pyramid

En pyramid har en bas som är en polygon och sidor som består av trianglar.

Formel: Volym av en pyramid

Om en pyramid har samma basyta (B) och höjd (h) som ett prisma, är pyramidens volym (V) en tredjedel av prismats volym. Formeln är:

V = B * h/3

Till exempel, vi har en pyramid med en kvadratisk basyta där varje sida är 4cm och höjden är 6cm. Då får vi:

Basytans area: B = 4 * 4 = 16cm^2

Volymen: V = 16 * 6/3 = 32 cm^3

Exemplet visar hur vi kan använda formeln för att beräkna volymen med hjälp av basyta och höjd.

Exempel

Pyramider i Arkitektur

En pyramid har en bas som är en liksidig triangel med en sidlängd på 5 meter och en höjd på 4,33 meter. Pyramidens höjd är 12 meter.

Använd denna information för att beräkna pyramidens volym.

Basen av triangeln: b = 5m
Höjden av triangeln: h_1 = 4,33m
Pyramidens höjd: h_2 = 12m

Börja med att skriva ner det du vet.

Basytans area:
B = b * h_1/2

Arean av en triangel är hälften av produkten av basen och höjden.

B=5 * 4,33/2m^2=21,65/2m^2 =

=10,825m^2

Volym av pyramid:
V = B * h_2/3

Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger pyramidens höjd.

V=10,825 * 12/3m^3 = 129,9/3m^3 =

=43,3m^3

Svar: Pyramidens volym är 43,3 m^3.

Exempel

En Pentagonal Pyramid

Tänk på ett kärl som har formen av en pentagonal pyramid. Detta är en pyramid vars bas är en femhörning. Kärlets volym är 1 100cm^3 och basytan är 110cm^2.

Beräkna kärlets höjd.

V = 1 100cm^3
B = 110cm^2

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel för volym av pyramid:
V = 1/3B* h ↔ h = 3V/B

Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden.

h = 3* 1 100/110cm = 3 300/110cm =

= 30cm

Svar: Kärlets höjd är 30 centimeter.

Övning

Beräkning av volymen av pyramider

Vad är volymen av pyramid?

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Prisma och pyramid Åk 8

Uppgifter

Vad är volymen av Rubiks kuben?

<row> <cell left="true" role="sol"> Alla sidoytor är kvadrater med sidan 9cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en prisma är lika med basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 9^2cm^2 = 81cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen är en kvadrat med sidan 9cm. Bestäm dess area. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 81* 9cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Höjden h är 9 centimeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av Rubiks kuben är 729 cm^3. </cell> </row>

Vad är volymen av smörklimpen?

<row> <cell left="true" role="sol"> l = 12cm
b = 5cm
h = 3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 12* 5cm^2 = 60cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom smörklimpen är ett rätblock, är dess bas en rektangel. Då kan basens area beräknas genom att multiplicera längden och bredden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av smörklimpen är 180cm^3. </cell> </row>

Beräkna volymen för varje pyramid.

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 33m^2
h=23m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 90cm^2
h = 47cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

En fyrsidig pyramid har en kvadratisk bas med en sidlängd på 10 meter och en höjd på 12 meter.

Vad är volymen av den fyrsidiga pyramiden?

<row> <cell left="true" role="sol"> s = 10m
h = 12m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 10^2m^2 = 100m </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen är en kvadrat. Då är dess area lika med sidlängden i kvadrat. </cell> </row>

Vad är volymen av kroppen?

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett fast föremål vars överyta har en area på 28cm^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 28cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kroppen är ett prisma. Alla prismor har egenskapen att motsatta ytor är lika stora. Skriv basytan B. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h= 5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera prismats höjd h. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av kroppen är V = 140cm^3. </cell> </row>

Volymen av ett prisma är 2 700 kubikcentimeter och det är 12 centimeter högt. Vad är basytan?

<row> <cell left="true" role="sol"> V=2 700cm^3
h=12cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h så att B = V/h. </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. Lös formeln för B. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Basytan är 225cm^2. </cell> </row>

En rak fyrsidig prisma och en pyramid har samma basarea B och samma höjd h. Prismat har en volym på 12dm^3.

Hur stor volym har pyramiden? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Prismat och pyramiden har samma basarea B och höjd h.
Prismats volym är 12dm^3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(prisma) = B* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är lika med produkten av basen och höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(pyramid) = B* h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(pyramid) = V_(prisma)/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Pyramidens volym är en tredjedel av prismat volym när de har samma basarea och höjd. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(pyramid) = 12/3dm^3= 4dm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera prismat volym med 3 för att beräkna pyramidens volym. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Pyramiden har volymen 4dm^3. En pyramid har alltid en tredjedel av volymen jämfört med ett prisma med samma basarea och höjd.

</cell> </row>

En stor vattentank är formad som en pyramid med en basarea på 900 kvadratcentimeter.

Om vattentankens volym är 45 kubikdecimeter, hur högt är vattentanken i centimeter?

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 900cm^2
V=45dm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 45dm^3 * 1 000cm^3/1dm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Konvertera volymen till kubikcentimeter med hjälp av att 1 kubikdecimeter är lika med 1 000 kubikcentimeter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 så att h = 3V/B </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en pyramid är en tredjedel av basytans area gånger höjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Vattentanken är 150cm hög. </cell> </row>

Prisma och pyramid Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan