Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x). Exempelvis är x2x^2 en primitiv funktion till 2x2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".
Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x)\sin(x) är cos(x),\cos(x), vilket innebär att sin(x)\sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).\cos(x).

Regel

D-1(cos(x))=sin(x)+CD^{\text{-1}}\left(\cos(x)\right)=\sin(x) +C

Man kan visa denna regel genom att derivera F(x)=sin(x)+C.F(x)=\sin(x)+C. Värdet på konstanten CC spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.0.

F(x)=sin(x)+CF(x)=\sin(x)+C
F(x)=D(sin(x))+D(C)F'(x)=D(\sin(x))+D(C)
F(x)=D(sin(x))F'(x)=D(\sin(x))
F(x)=cos(x)F'(x)=\cos(x)

Derivatan blir cos(x),\cos(x),sin(x)\sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).\cos(x).

På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x)\sin(x) vara -cos(x),\text{-} \text{cos}(x), eftersom derivatan av cos(x)\cos(x) är -sin(x).\text{-} \text{sin}(x).

Regel

D-1(sin(x))=-cos(x)+CD ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C
Genom att derivera F(x)=-cos(x)+CF(x)=\text{-}\cos(x)+C visar man denna regel.
F(x)=-cos(x)+CF(x)=\text{-}\cos(x) +C
F(x)=-D(cos(x))+D(C)F'(x)=\text{-} D(\cos(x))+D(C)
F(x)=-D(cos(x))F'(x)=\text{-} D(\cos(x))
F(x)=-(-sin(x))F'(x)=\text{-} (\text{-}\sin(x))
F(x)=sin(x)F'(x)=\sin(x)
Eftersom man får sin(x)\sin(x) när man deriverar -cos(x)\text{-} \text{cos}(x) måste det vara en primitiv funktion.
Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför x,x, som i cos(2x)?\cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D-1(cos(kx))=sin(kx)k+CD^{\text{-1}}\left(\cos(kx)\right)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C
Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.
F(x)=sin(kx)k+CF(x)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C
F(x)=1ksin(kx)+CF(x)=\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)+C
F(x)=D(1ksin(kx))+D(C)F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)+D(C)
F(x)=D(1ksin(kx))F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)
F(x)=1kkcos(kx)F'(x)=\dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \cos(kx)
F(x)=cos(kx)F'(x)=\cos(kx)
Derivatan blir cos(kx),\cos(kx),sin(kx)k+C\frac{\sin(kx)}{k}+C är de primitiva funktionerna till cos(kx).\cos(kx). Regeln gäller för k0.k\neq0.

Regel

D-1(sin(kx))=-cos(kx)k+CD ^{\text{-}1}(\sin(kx))=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C
Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.
F(x)=-cos(kx)k+CF(x)=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C
F(x)=-1kcos(kx)+CF(x)=\text{-}\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)+C
F(x)=-D(1kcos(kx))+D(C)F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)+D(C)
F(x)=-D(1kcos(kx))F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)
F(x)=-(-1kksin(kx))F'(x)=\text{-} \left( \text{-} \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx) \right)
F(x)=1kksin(kx)F'(x)= \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx)
F(x)=sin(kx)F'(x)= \sin(kx)
Eftersom derivatan är sin(kx)\sin(kx) måste -cos(kx)k+C\text{-}\frac{\cos(kx)}{k} + C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge k0.k\neq0.
Regel

Primitiv funktion till 1x\frac{1}{x}

Derivatan av ln(x)\ln(x) är 1x,\frac{1}{x}, vilket innebär att ln(x)\ln(x) måste vara en primitiv funktion till 1x.\frac{1}{x}.

Regel

D-1(1x)=ln(x)+CD ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln(x)+C
Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera ln(x)+C.\ln(x)+C.
F(x)=ln(x)+CF(x)=\ln(x)+C
F(x)=D(ln(x))+D(C)F'(x)=D(\ln(x))+D(C)
F(x)=D(ln(x))F'(x)=D(\ln(x))
F(x)=1xF'(x)=\dfrac{1}{x}

Derivatan är 1x,\frac{1}{x},ln(x)+C\ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till 1x.\frac{1}{x}. Regeln gäller för x>0.x>0.

Uppgift

Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=1x+sin(7x), f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x), givet att F(π)=4.F(\pi)=4.

Lösning
Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till f(x),f(x), men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=1x+sin(7x)f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x)
F(x)=D-1(1x)+D-1(sin(7x))+CF(x)=D ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C
F(x)=ln(x)+D-1(sin(7x))+CF(x)=\ln(x)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C
F(x)=ln(x)+(-cos(7x)7)+CF(x)=\ln(x)+\left(\text{-}\dfrac{\cos(7x)}{7}\right)+C
F(x)=ln(x)cos(7x)7+CF(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C
Nu använder vi den givna informationen F(π)=4F(\pi)=4 för att bestämma C.C.
F(x)=ln(x)cos(7x)7+CF(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C
F(π)=ln(π)cos(7π)7+CF({\color{#0000FF}{\pi}})=\ln({\color{#0000FF}{\pi}})-\dfrac{\cos(7{\color{#0000FF}{\pi}})}{7}+C
4=ln(π)cos(7π)7+C{\color{#0000FF}{4}}=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(7\pi)}{7}+C
Lös ekvationen
4=ln(π)cos(π)7+C4=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(\pi)}{7}+C
4=ln(π)-17+C4=\ln(\pi)-\dfrac{\text{-}1}{7}+C
4=ln(π)+17+C4=\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C
ln(π)+17+C=4\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C=4
ln(π)+C=417\ln(\pi)+C=4-\dfrac{1}{7}
C=417ln(π)C=4-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)
C=28717ln(π)C=\dfrac{28}{7}-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)
C=277ln(π)C=\dfrac{27}{7}-\ln(\pi)
Nu när vi känner till CC kan vi ange den specifika primitiva funktionen: F(x)=ln(x)cos(7x)7+277ln(π). F(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+\dfrac{27}{7}-\ln(\pi).
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}