Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Primitiva funktioner

F(x)F(x) kallas en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x).

Samband mellan derivata och primitiv funktion

Exempelvis är F(x)=x2F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x)=2xf(x)=2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation

info
Primitiv funktion: F(x)F(x)

En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan F(x)F(x) vara primitiv funktion till f(x)f(x) vilket utläses som att "stora FF av xx" är primitiv funktion till "lilla ff av xx". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion Primitiv funktion
f(x)f(x) F(x)F(x)
g(x) g(x) G(x)G(x)
f(x) f(x) D-1(f(x))D^{\text{-}1}\left(f(x)\right)
f(x) f(x) f(x) dx\int f(x)\ \text dx

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är f(x)f(x) en primitiv funktion till f(x).f'(x).

Uppgift


Är F(x)=4x315x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x} en primitiv funktion till f(x)=12x215+4ex?f(x)=12x^2-15+4e^x?

Lösning

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om F(x)=f(x).F'(x)=f(x). Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F(x)=4x315x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x}
F(x)=D(4x3)D(15x)+D(2e2x)F'(x)=D\left(4x^3\right)-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
F(x)=12x2D(15x)+D(2e2x)F'(x)=12x^2-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
F(x)=12x215+D(2e2x)F'(x)=12x^2-15+D\left(2e^{2x}\right)
F(x)=12x215+4e2xF'(x)=12x^2-15+4e^{2x}
Om vi jämför f(x)=12x215+4exf(x)=12x^2-15+4e^x med F(x)F'(x) ser vi att den sista termen skiljer sig åt: 4e2x4ex.4e^{2x} \neq 4e^x. Det innebär att F(x)f(x). F'(x) \neq f(x). F(x)F(x) är alltså inte en primitiv funktion till f(x).f(x).
info Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Varför kan f(x)f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen F(x)=x3F(x) = x^3 är en primitiv funktion till f(x)=3x2,f(x)=3x^2, eftersom derivatan till x3x^3 är 3x2.3x^2. Men kan 3x23x^2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x2,3x^2, exempelvis G(x)=x3+5 och H(x)=x33.8. G(x) = x^3 + 5 \quad \text{ och } \quad H(x) = x^3 - 3.8. Det betyder att funktionen 3x23x^2 har minst tre primitiva funktioner: x3,x^3, x3+5x^3+5 och x33.8.x^3 - 3.8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x23x^2 skrivas F(x)=x3+C, F(x)=x^3 + C,

där CC är en godtycklig konstant. F(x)=x3+CF(x)=x^3 + C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x2.f(x)=3x^2. Eftersom det finns oändligt många värden som CC kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).f(x).
Uppgift

Para ihop funktionerna 1-3 med motsvarande primitiva funktioner A-E.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A-E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

F(x)=f(x),F'(x)=f(x), vilket ska gälla om F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x).

F(x)F(x) F(x)F'(x)
A x45x^4 - 5 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
B x2+0.1 x^2 + 0.1 2x{\color{#009600}{2x}}
C x4 x^4 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
D 777 777 0{\color{#FF0000}{0}}
E 23 2^3 0{\color{#FF0000}{0}}

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1-3. Då ser vi att A är primitiv funktion till 1,1, B är primitiv funktion till 3,3, etc.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward