{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Integraler

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Integraler
Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

F(x)F(x) kallas en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F′(x)F'(x) är lika med f(x).f(x).

Samband mellan derivata och primitiv funktion

Exempelvis är F(x)=x2F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x)=2xf(x)=2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation
Primitiv funktion: F(x)F(x)

En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan F(x)F(x) vara primitiv funktion till f(x)f(x) vilket utläses som att "stora FF av xx" är primitiv funktion till "lilla ff av xx". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion Primitiv funktion
f(x)f(x) F(x)F(x)
g(x) g(x) G(x)G(x)
f(x) f(x) D-1(f(x))D^{\text{-}1}\left(f(x)\right)
f(x) f(x) ∫f(x) dx\int f(x)\ \text dx

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är f(x)f(x) en primitiv funktion till f′(x).f'(x).

Uppgift


Är F(x)=4x3−15x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x} en primitiv funktion till f(x)=12x2−15+4ex?f(x)=12x^2-15+4e^x?

Lösning

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om F′(x)=f(x).F'(x)=f(x). Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F(x)=4x3−15x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x}
Derivera funktion
F′(x)=D(4x3)−D(15x)+D(2e2x)F'(x)=D\left(4x^3\right)-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
D(axn)=a⋅nxn−1D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}
F′(x)=12x2−D(15x)+D(2e2x)F'(x)=12x^2-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
D(ax)=aD\left(ax\right) = a
F′(x)=12x2−15+D(2e2x)F'(x)=12x^2-15+D\left(2e^{2x}\right)
D(aekx)=a⋅kekxD\left( ae^{kx}\right) = a\cdot ke^{kx}
F′(x)=12x2−15+4e2xF'(x)=12x^2-15+4e^{2x}
Om vi jämför f(x)=12x2−15+4exf(x)=12x^2-15+4e^x med F′(x)F'(x) ser vi att den sista termen skiljer sig åt: 4e2x≠4ex.4e^{2x} \neq 4e^x. Det innebär att F′(x)≠f(x). F'(x) \neq f(x). F(x)F(x) är alltså inte en primitiv funktion till f(x).f(x).
Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Varför kan f(x)f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen F(x)=x3F(x) = x^3 är en primitiv funktion till f(x)=3x2,f(x)=3x^2, eftersom derivatan till x3x^3 är 3x2.3x^2. Men kan 3x23x^2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x2,3x^2, exempelvis G(x)=x3+5 och H(x)=x3−3.8. G(x) = x^3 + 5 \quad \text{ och } \quad H(x) = x^3 - 3.8. Det betyder att funktionen 3x23x^2 har minst tre primitiva funktioner: x3,x^3, x3+5x^3+5 och x3−3.8.x^3 - 3.8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x23x^2 skrivas F(x)=x3+C, F(x)=x^3 + C,

där CC är en godtycklig konstant. F(x)=x3+CF(x)=x^3 + C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x2.f(x)=3x^2. Eftersom det finns oändligt många värden som CC kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).f(x).
Uppgift

Para ihop funktionerna 1−-3 med motsvarande primitiva funktioner A−-E.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A−-E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

F′(x)=f(x),F'(x)=f(x), vilket ska gälla om F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x).

F(x)F(x) F′(x)F'(x)
A x4−5x^4 - 5 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
B x2+0.1 x^2 + 0.1 2x{\color{#009600}{2x}}
C x4 x^4 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
D 777 777 0{\color{#FF0000}{0}}
E 23 2^3 0{\color{#FF0000}{0}}

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1−-3. Då ser vi att A är primitiv funktion till 1,1, B är primitiv funktion till 3,3, etc.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är F(x)F(x) en primitiv funktion till f(x)?f(x)? Motivera ditt svar.

a

f(x)=8x3−3F(x)=2x4−3x+5f(x)=8x^3-3 \qquad \qquad F(x)=2x^4-3x+5

b

f(x)=35e7x−ex−2xF(x)=5e7x−ex−2f(x)=35e^{7x}-e^x-2x \qquad F(x)=5e^{7x}-e^x-2

c

f(x)=3−4e3xF(x)=3x−e4xf(x)=3-4e^{3x} \qquad \qquad F(x)=3x-e^{4x}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till


a

f(x)=3x2.f(x)=3x^2.

b

f(x)=5e5x.f(x)=5e^{5x}.

c

f(x)=2x.f(x)=2x.

d

f(x)=10x4.f(x)=10x^4.

e

f(x)=e7x.f(x)=e^{7x}.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)=x55+x2F(x)=\dfrac{x^5}{5} +x^2 är en primitiv funktion till f(x)=x4+2x.f(x)=x^4+2x.

a

Ge ytterligare två exempel på primitiva funktioner till f(x).f(x).


b

Ange alla primitiva funktioner till f(x).f(x).

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla primitiva funktioner till funktionerna.

a

f(x)=4x3.f(x)=4x^3.

b

f(x)=ex.f(x)=e^x.

c

f(x)=10e5x.f(x)=10e^{5x}.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd pilar för att markera hur funktioner och primitiva funktioner i bilden hänger ihop, så att F(x)F(x) pekar på f(x). f(x).

samling av funktionsuttryck
 Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koefficienten kk om

a

F(x)=ke3xF(x)=ke^{3x} är en primitiv funktion till

f(x)=e3x3. f(x)=\frac{e^{3x}}{3}.


b

F(x)=e3x3F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3} är en primitiv funktion till f(x)=ke3x. f(x)=ke^{3x}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x). Bestäm konstanterna aa och b.b.

a

F(x)=ax3+4xF(x)=ax^3+4x och f(x)=x2+4f(x)=x^2+4

b

F(x)=xb+(b−1)x2F(x)=x^b+(b-1)x^2 och f(x)=bxb−1−20xf(x)=bx^{b-1}-20x

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en funktion g(x)g(x) vars andraderivata är g′′(x)=30x4−12x.g''(x)=30x^4-12x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sammare och en naturare ska bestämma en primitiv funktion till samma funktion f(x).f(x). Sammaren får svaret F1(x)=5x4+16F_1(x) = \dfrac{5}{x^4} + 16 och naturaren svarar F2(x)=5x-4.F_2(x) = 5x^{\text{-}4}.


a

Skulle båda svar kunna vara korrekta?


b

Funktionen de skulle bestämma primitiv funktion till var f(x)=20x5.f(x) = \dfrac{20}{x^5}. Vem hade rätt?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av de ritade graferna kan representera en primitiv funktion till f(x)=kx?f(x) = kx?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen G(x)G(x) är en primitiv funktion till g(x)=5x−10. g(x)=5x-10. Har G(x)G(x) en lokal extrempunkt i intervallet 0<x<30 < x < 3? Motivera ditt svar.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)=x.f(x) = x. Vad är lutningen, k,k, på F(x)F(x) för de olika xx-värdena?


xx -2\text{-}2 -1\text{-}1 00 11 22
Lutning
b

Hur kan grafen till F(x)F(x) se ut? Använd tabellen för att skissa F(x)F(x) i ett koordinatsystem.


c

Finns det fler sätt att rita F(x)F(x) på?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla primitiva funktioner till

a

f(x)=2x2+x22.f(x) = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{x^2}{2}.

b

g(x)=(3x−3-1/2)2.g(x) = \left(\sqrt{3}x - 3^{\text{-}1/2}\right)^2.

c

h(x)=5xx.h(x) = \dfrac{5x}{\sqrt{x}}.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är följande påståenden korrekta? Motivera dina svar.

a

F(x)=3exF(x)=3e^x är en primitiv funktion till f(x)=e3x.f(x)=e^{3x}.

b

Grafen till f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax har tre olika nollställen om konstanten a≤0.a\leq 0.

Nationella provet HT12 3b/3c
 Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}