Primitiva funktioner

$F(x)$ kallas en primitiv funktion till $f(x)$ om derivatan $F'(x)$ är lika med $f(x).$

Exempelvis är $F(x)=x^2$ en primitiv funktion till $f(x)=2x$ eftersom derivatan av $x^2$ är just $2x.$ Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation
Primitiv funktion: $F(x)$

En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan $F(x)$ vara primitiv funktion till $f(x)$ vilket utläses som att "stora $F$ av $x$ " är primitiv funktion till "lilla $f$ av $x$ ". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion	Primitiv funktion
$f(x)$	$F(x)$
$g(x)$	$G(x)$
$f(x)$	$D^{\text{-}1}\left(f(x)\right)$
$f(x)$	$\int f(x)\ \text dx$

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är $f(x)$ en primitiv funktion till $f'(x).$

Kontrollera om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$

Uppgift

Är $F(x)=4x^3-15x+2e^{2x}$ en primitiv funktion till $f(x)=12x^2-15+4e^x?$

Lösning

$F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ om $F'(x)=f(x).$ Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F(x)=4x^3-15x+2e^{2x}

Derivera funktion

F'(x)=D\left(4x^3\right)-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

F'(x)=12x^2-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)

D\left(ax\right) = a

F'(x)=12x^2-15+D\left(2e^{2x}\right)

D\left( ae^{kx}\right) = a\cdot ke^{kx}

F'(x)=12x^2-15+4e^{2x}

Om vi jämför

f(x)=12x^2-15+4e^x

med

F'(x)

ser vi att den sista termen skiljer sig åt:

4e^{2x} \neq 4e^x.

Det innebär att

F'(x) \neq f(x).

F(x)

är alltså inte en primitiv funktion till

f(x).

Visa lösning

Förklaring

Varför kan $f(x)$ ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen $F(x) = x^3$ är en primitiv funktion till $f(x)=3x^2,$ eftersom derivatan till $x^3$ är $3x^2.$ Men kan $3x^2$ ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan $3x^2,$ exempelvis $G(x) = x^3 + 5 \quad \text{ och } \quad H(x) = x^3 - 3.8.$ Det betyder att funktionen $3x^2$ har minst tre primitiva funktioner: $x^3,$ $x^3+5$ och $x^3 - 3.8.$ Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till $3x^2$ skrivas $F(x)=x^3 + C,$

där

C

är en godtycklig konstant.

F(x)=x^3 + C

representerar då alla primitiva funktioner till

f(x)=3x^2.

Eftersom det finns oändligt många värden som

C

kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till

f(x).

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

Uppgift

Para ihop funktionerna 1 $-$ 3 med motsvarande primitiva funktioner A $-$ E.

Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A $-$ E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

$F'(x)=f(x),$ vilket ska gälla om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x).$

	$F(x)$	$F'(x)$
A	$x^4 - 5$	${\color{#0000FF}{4x^3}}$
B	$x^2 + 0.1$	${\color{#009600}{2x}}$
C	$x^4$	${\color{#0000FF}{4x^3}}$
D	$777$	${\color{#FF0000}{0}}$
E	$2^3$	${\color{#FF0000}{0}}$

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1 $-$ 3. Då ser vi att A är primitiv funktion till $1,$ B är primitiv funktion till $3,$ etc.

Visa lösning

Primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Notation

Exempel

Kontrollera om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$

Varför kan $f(x)$ ha oändligt många primitiva funktioner?

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Facit

Integraler

Notation

Exempel

Kontrollera om F(x)F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x)f(x)

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Facit

Kontrollera om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$