Primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

F(x)F(x) kallas en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x).

Samband mellan derivata och primitiv funktion

Exempelvis är F(x)=x2F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x)=2xf(x)=2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation

Primitiv funktion: F(x)F(x)

En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan F(x)F(x) vara primitiv funktion till f(x)f(x) vilket utläses som att "stora FF av xx" är primitiv funktion till "lilla ff av xx". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion Primitiv funktion
f(x)f(x) F(x)F(x)
g(x) g(x) G(x)G(x)
f(x) f(x) D-1(f(x))D^{\text{-}1}\left(f(x)\right)
f(x) f(x) f(x) dx\int f(x)\ \text dx

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är f(x)f(x) en primitiv funktion till f(x).f'(x).

Uppgift


Är F(x)=4x315x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x} en primitiv funktion till f(x)=12x215+4ex?f(x)=12x^2-15+4e^x?

Lösning

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om F(x)=f(x).F'(x)=f(x). Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F(x)=4x315x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x}
F(x)=D(4x3)D(15x)+D(2e2x)F'(x)=D\left(4x^3\right)-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
F(x)=12x2D(15x)+D(2e2x)F'(x)=12x^2-D\left(15x\right)+D\left(2e^{2x}\right)
F(x)=12x215+D(2e2x)F'(x)=12x^2-15+D\left(2e^{2x}\right)
D(aekx)=akekxD\left( ae^{kx}\right) = a\cdot ke^{kx}
F(x)=12x215+4e2xF'(x)=12x^2-15+4e^{2x}
Om vi jämför f(x)=12x215+4exf(x)=12x^2-15+4e^x med F(x)F'(x) ser vi att den sista termen skiljer sig åt: 4e2x4ex.4e^{2x} \neq 4e^x. Det innebär att F(x)f(x). F'(x) \neq f(x). F(x)F(x) är alltså inte en primitiv funktion till f(x).f(x).
Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Varför kan f(x)f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen F(x)=x3F(x) = x^3 är en primitiv funktion till f(x)=3x2,f(x)=3x^2, eftersom derivatan till x3x^3 är 3x2.3x^2. Men kan 3x23x^2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x2,3x^2, exempelvis G(x)=x3+5 och H(x)=x33.8. G(x) = x^3 + 5 \quad \text{ och } \quad H(x) = x^3 - 3.8. Det betyder att funktionen 3x23x^2 har minst tre primitiva funktioner: x3,x^3, x3+5x^3+5 och x33.8.x^3 - 3.8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x23x^2 skrivas F(x)=x3+C, F(x)=x^3 + C,

där CC är en godtycklig konstant. F(x)=x3+CF(x)=x^3 + C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x2.f(x)=3x^2. Eftersom det finns oändligt många värden som CC kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).f(x).
Uppgift

Para ihop funktionerna 1-3 med motsvarande primitiva funktioner A-E.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A-E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

F(x)=f(x),F'(x)=f(x), vilket ska gälla om F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x).

F(x)F(x) F(x)F'(x)
A x45x^4 - 5 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
B x2+0.1 x^2 + 0.1 2x{\color{#009600}{2x}}
C x4 x^4 4x3{\color{#0000FF}{4x^3}}
D 777 777 0{\color{#FF0000}{0}}
E 23 2^3 0{\color{#FF0000}{0}}

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1-3. Då ser vi att A är primitiv funktion till 1,1, B är primitiv funktion till 3,3, etc.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}