Potenser Åk 8

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 - 8 * 2 = 25 - 16 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Följ prioriteringsreglerna: först exponenter, sedan multiplikation, och subtraktion sist. Beräkna (5^2 = 25), multiplicera 8 med 2, och subtrahera sedan resultatet från 25. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 - (8 * 2) = 25 - 16 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Gör först beräkningen inom parentesen: (8 * 2 = 16). Beräkna sedan exponenten (5^2 = 25) och subtrahera 16 från 25. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 - 2 * 8 = 25 - 16 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna exponenten (5^2 = 25) först. Multiplicera därefter 2 med 8 och subtrahera sedan från 25. Multiplikationen går före subtraktionen. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> (5^2 - 8) * 2 = (25 - 8) * 2 = 17 * 2 = 34 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna exponenten (5^2 = 25), subtrahera 8 på grund av parentesen och multiplicera sedan med 2. Parentesen tvingar subtraktion före multiplikation. </cell> </row> <row> <cell role="sol"> Svar: (5^2 - 8) * 2 är annorlunda eftersom parentesen ändrar ordningen och ger resultatet 34 istället för 9. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 27 3 5 2=19 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 27 3 5 2= 9 + 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom multiplikation och division görs före addition och subtraktion kan du titta på två grupper: 27 3 och 5 2, och sedan kombinera dem. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 27/3_9+ 5 * 2_(10)= 19 </cell> <cell right="true" role="exp"> Om du först räknar 27 / 3 = 9 ser du att du behöver att den andra gruppen blir 5 * 2 = 10. På så sätt får du summan 9 + 10 = 19. Så de korrekta operatorerna är /, + och *. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: B </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9^2 11 8 4 1=60 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81 11 8 4 1=60 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna 9^2 först: 9^2 =9* 9 = 81. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81 + 11_(92) 8 4 1=60 </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt den första operatorn vara addition. Summan av 81 och 11 är 92. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81 +11_(92) - 8 * 4 * 1_(32) = 60 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skillnaden mellan 92 och 60 är 32. Om man tittar på de andra talen kan man få 32 genom att multiplicera 8, 4 och 1. Därför måste produkten av dessa tal subtraheras. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: A </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 6 15 9=24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 * 6_(30) 15 9=24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt den första operatorn vara multiplikation. Produkten av 5 och 6 är 30. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 * 6_(30) - 15 9=24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 30 är större än 24 kan du subtrahera nästa tal, 15, för att komma närmare 24. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 * 6 - 15_(15) + 9=24 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att få 24 måste du addera 9 till 15. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: B </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 14 2 7 3 9=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 14 * 2_(28) 7 3 9=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt den första operatorn vara multiplikation. Produkten av 14 och 2 är 28. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 14 * 2 / 7_4 3 9=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan dividera 28 med 7 för att få 4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 14 * 2 / 7_4 - 3 + 9=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu har du 4, 3 och 9 för att få 10. Om du adderar skillnaden mellan 4 och 3 till 9 får du 10. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: D </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3^3 * x = 3^6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3^3 * x/3^3 = 3^6/3^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan dividera båda sidor av ekvationen med 3^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 3^6/3^3 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 729/27 = 27 </cell> <cell right="true" role="exp"> 3^6 är 729 och 3^3 är 27. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: x=27 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * 5^(x-1)/5^2 = 0,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * 5^(x-1)/5^2 * 5^2 = 0,4 * 5^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan bli av med bråket genom att multiplicera båda sidor med 5^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * 5^(x-1) = 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> 0,4 * 5^2 = 0,4 * 5 * 5 = 10 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * 5^(x+1)/2=10/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^(x-1)= 5 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x-1 = 1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 5^(x-1) = 5^1 gäller att x-1 = 1. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x-1+1= 1+1
x= 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till 1 på båda sidor. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: x=2 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6^3 < 3^q </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt a = 6, b = 3 och p = 3 i olikheten a^b < p^q. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 216 < 3^q </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna först 6^3.
6^3 = 6 * 6 * 6 = 216 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> q=4:
3^q = 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3= 81 *

q=5:
3^q = 3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du behöver hitta det minsta heltalet q så att 3^q > 216. Testa några värden för q, till exempel q = 4 och q = 5.

Eftersom 3^5 = 243, vilket är större än 216, är det minsta heltalet q = 5. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: q=5 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> n=0:
0^2 = 0, så det är inte mindre än 0.

n=1:
1^2 = 1, så det är inte mindre än 1. </cell> <cell right="true" role="exp"> Testa några tal, till exempel 0 och 1, för att se om de uppfyller olikheten n^2 < n. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> n> 1:

• 2^2 = 4, så det är inte mindre än 2.
• 3^2 = 9, så det är inte mindre än 3.

</cell> <cell right="true" role="exp"> Testa tal som är större än 1, till exempel 2 och 3.
När man multiplicerar ett tal som är större än 1 med sig självt blir produkten alltid större än talet. Alltså är n^2 > n för alla tal större än 1. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 0 < n < 1:

• 0,5^2 = 0,25, så det är mindre än 0,5.
• 0,4^2 = 0,16, så det är mindre än 0,4.

</cell> <cell right="true" role="exp"> Testa tal som ligger mellan 0 och 1, till exempel 0,5 och 0,4.
När man multiplicerar ett tal som är mindre än 1 med sig självt blir produkten ännu mindre än talet. Alltså är n^2 < n för alla tal mellan 0 och 1. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, alla tal n mellan 0 och 1 har egenskapen att n^2 < n. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7 500 000 000 000 000 000 000 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7,5* 1 000 000 000 000 000 000 000 000= </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv talet som produkten av 7,5 och 1 000 000 000 000 000 000 000 000, eftersom 7,5 är mellan 1 och 10 och den andra faktorn är en tiopotens. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7,5 * 10^(24) </cell> <cell right="true" role="exp"> 1 000 000 000 000 000 000 000 000 kan skrivas som 10^(24) eftersom det är 10 multiplicerat med sig självt 24 gånger. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Antalet sandkorn på jorden är ungefär 7,5 * 10^(24) i grundpotensform. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 39 000 = 3,9 * 10^() </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 39 000= 3,9 * 10 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du skriver 39 000 som 3,9 * 10 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 3,9* 10^4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 10 000 = 10^4 är det givna talet i grundpotensform 3,9 * 10^4. Om du jämför detta resultat med högerledet i den givna ekvationen ser du att det saknade talet är 4. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 4 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6,77 * 10^() = 677 000 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 677 000 000= 6,77 * 100 000 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du skriver 677 000 000 som 6,77 * 100 000 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 6,77* 10^8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du vet att 100 000 000 = 10^8. Alltså skriver du talet som 6,77 * 10^8, och då ser du att det saknade talet är 8. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 8 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^8 = miljoner </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^8 = 100 000 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Talet 10^8 är lika med 100 000 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^8 = 100 * 1 000 000 miljoner </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan skriva 100 000 000 som 100 gånger 1 000 000. Eftersom 1miljon = 1  000  000 motsvarar det 100 miljoner. Därför är det saknade talet 100. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 100 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3^3+ 3^3 + 3^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vänstersidan av ekvationen. Du måste visa att 3^3 + 3^3 + 3^3 är lika med 3^4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =3 * 3^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> 3^3 adderas tre gånger, så det kan skrivas som en produkt.
3^3+ 3^3 + 3^3 =3 * 3^3 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =3^4 </cell> <cell right="true" role="exp"> 3^3 betyder 3 * 3 * 3. Att multiplicera med 3 lägger till ett extra 3, så 3 * 3^3 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4.
Detta visar varför upprepad addition av samma potens kan skrivas som en högre potens. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 10^3 = 10^7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 10^3/10^3 =10^7/10^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan isolera variabeln x på vänster sida med hjälp av balansmetoden. För att göra det dividerar du båda sidor med 10^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x =10^5/10^3 = 100 </cell> <cell right="true" role="exp"> 10^5 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 och 10^3 = 10 * 10 * 10. Om du förkortar bråket med tre 10:or, kvar blir 10 * 10 = 10^2 = 100. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: x=100 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^5/10^(1+x) = 10 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^(1+x) = 10^4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Med vilken tiopotens måste man dividera 10^5 för att få 10? Svaret är 10^4, eftersom 10^5/10^4 = 100 000/10 000 = 10. Alltså måste 10^(1+x) vara 10^4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1+x = 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Potenserna på varje sida har samma bas, därför måste exponenterna vara lika för att ekvationen ska stämma. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1+x-1 = 4-1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 1 från båda sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x=3 </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: x=3 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 10^x/10^6 = 0,6 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 10^x/10^6 * 10^6 = 0,6* 10^6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera båda sidor av ekvationen med 10^6 för att bli av med bråket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 10^x = 0,6* 10^6 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 10^x = 6* 10^5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 10^6 = 10 * 10^5, kan du skriva om högerledet.
0,6* 10^6 = 0,6 * 10 * 10^5 = 6* 10^5 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 10^x/6 = 6* 10^5/6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 6. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^x = 10^5 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att 10^x = 10^5 måste exponenterna vara lika, alltså är x = 5. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: x=5 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sträcka ljus på en sekund: 3 * 10^5 km
Jordens omkrets: 40 000 km </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * 10^5/40 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> För att ta reda på hur många gånger ljuset cirklar jorden på en sekund, dividerar man sträckan ljuset färdas på en sekund med jordens omkrets. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 3 * 100 000/40 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Täljaren är ett tal i grundpotensform. Talet 10^5 betyder 1 följt av 5 nollor, alltså 100 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 300 000/40 000 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 3 med 100 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7,5 </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ljuset gör 7,5 varv runt jorden på en sekund. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^(23) = 100 ... 000_(23nollor) </cell> <cell right="true" role="exp"> Exponenten för en tiopotens anger antalet nollor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10^(23) -23 = 100 ... 000 -23 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du subtraherar 23 från ett 24-siffrigt tal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 99 ... 9_(21nior)77 </cell> <cell right="true" role="exp"> Efter att ha subtraherat 23 blir de två sista siffrorna 77 (eftersom 100 - 23 = 77) och resten av siffrorna blir 9. Antalet siffror efter subtraktionen blir 23. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Summa av de första 21 siffrorna: 21 * 9=189
Summa av de två sista siffrorna: 7 + 7 = 14
Totalt: 189+14=203 </cell> <cell right="true" role="exp"> Var och en av de 21 niorna bidrar med 9 till totalsumman, och de två sista siffrorna, 7 och 7, ger tillsammans 14. Genom att lägga ihop dessa blir summan av alla siffror 189 + 14 = 203. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 203 </cell> </row>