Polynomekvationer av högre grad

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex. x3x=7x2+3. x^3 - x = 7x^2 + 3. En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som x37x2x3=0 x^3 - 7x^2 - x - 3 = 0

vet man att den har maximalt 33 lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som pqpq-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.
Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 33 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen x3+8x2=20x x^3+8x^2=20x på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0,0, så man subtraherar 20x20x från båda led: x3+8x220x=0. x^3+8x^2-20x=0.

2

Dela upp vänsterledet i faktorer
Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.x.
x3+8x220x=0x^3+8x^2-20x=0
x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0

3

Använd nollproduktmetoden
Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.
x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0
{x=0x2+8x20=0\begin{cases}x=0 \\ x^2+8x-20=0 \end{cases}

4

Lös ekvationerna

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna x=0,x=0, x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen ax4+bx2+c=0,ax^4+bx^2+c=0, alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med pqpq-formeln. Ekvationen 2x436x2+160=0 2x^4-36x^2+160=0 kan exempelvis lösas med denna metod.

1

Skriv på formen x4+px2+q=0x^4+px^2+q=0

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pqpq-form, dvs. så att koefficienten framför x4x^4 är 11 och högerledet är lika med 0.0. I detta fall divideras ekvationen med 2,2, vilket ger x418x2+80=0. x^4-18x^2+80=0.

2

Substituera x2x^2 med tt

Låt x2=t.x^2=t. Mittentermen blir då -18t\text{-}18t och genom att skriva om x4x^4-termen som (x2)2\left(x^2\right)^2 ser man också att x4=t2.x^4=t^2.

x418x2+80=0x^4-18x^2+80=0
(x2)218x2+80=0\left(x^2\right)^2-18x^2+80=0
t218t+80=0{\color{#0000FF}{t}}^2-18{\color{#0000FF}{t}}+80=0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

3

Lös andragradsekvationen

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pqpq-formeln.

t218t+80=0t^2-18t+80=0
t=--182±(-182)280t=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{80}}}
t=-(-9)±(-9)280t=\text{-}(\text{-}9)\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±(-9)280t=9\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±8180t=9\pm\sqrt{81-80}
t=9±1t=9\pm\sqrt{1}
t=9±1t=9\pm1
t1=8t2=10\begin{array}{l}t_1=8 \\ t_2=10 \end{array}

4

Byt tillbaka till x2x^2

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x,x, inte t,t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x2=t,x^2=t, och för lösningarna t=8t=8 och t=10t=10 ger det att x2=8ochx2=10. x^2=8\quad \text{och}\quad x^2=10.

5

Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x2=8x^2=8
x=±8x=\pm\sqrt{8}

Två av lösningarna är alltså x=8x=\sqrt{8} och x=-8.x=\text{-} \sqrt{8}.

x2=10x^2=10
x=±10x=\pm\sqrt{10}

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså x=±8x=\pm \sqrt{8} och x=±10.x=\pm \sqrt{10}.

Metod

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen x4+2x3+8=9x2+2x x^4+2x^3+8=9x^2+2x på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är 00 kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna: x4+2x39x22x+8=0. x^4+2x^3-9x^2-2x+8=0. Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

2

Rita grafen till funktionen

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

3

Hitta nollställena

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är x=-4,x=\text{-}4, x=-1,x=\text{-}1, x=1x=1 och x=2x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.

Inskriven funktion på TI-räknare

Trycker man sedan på GRAPH visas grafen.

Graf ritad på TI-räknare

Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.

CALCULATE-menyn på TI-räknare

För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.

Nollställesökning på TI-räknare

Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Det går också att skriva in ett xx-värde och trycka på ENTER.

Nollställe på TI-räknare
Nollställets xx-koordinat visas till vänster och yy-koordinaten, som är 0,0, visas till höger. På grund av att räknaren löser problemet numeriskt blir ibland yy-koordinaten inte exakt 0,0, vilket innebär att resultat inte heller blir exakt. Vill man hitta fler nollställen kan man använda metoden igen och sätta gränserna runt ett annat intervall på grafen.
Uppgift

Lös ekvationen 2x(3x+5)(x7)=0.2x(3x+5)(x-7)=0.

Lösning

Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med 0.0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.

2x(3x+5)(x7)=02x(3x+5)(x-7)=0
{2x=0(I)3x+5=0(II)x7=0(III)\begin{cases}2x=0 & \, \, \text {(I)}\\ 3x+5=0 & \, \text {(II)}\\ x-7=0 & \text {(III)}\end{cases}
{x=03x+5=0x7=0\begin{cases}x=0 \\ 3x+5=0 \\ x-7=0 \end{cases}
{x=03x=-5x7=0\begin{cases}x=0 \\ 3x=\text{-} 5 \\ x-7=0 \end{cases}
{x=0x=-5/3x7=0\begin{cases}x=0 \\ x=\text{-} 5/3 \\ x-7=0 \end{cases}
{x1=0x2=-5/3x3=7\begin{cases}x_1=0 \\ x_2=\text{-} 5/3 \\ x_3=7 \end{cases}

Ekvationen har tre rötter: x=0,x=0, x=-5/3x=\text{-} 5/3 och x=7.x=7.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}