Polynomdivision: Liggande Stolen, Kvot och Rest

För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis

42

, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex.

2

. Om man sedan dividerar

42

med

2

får man kvoten

21

, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp $\frac{1 3}{2},$ samt hur metoden fått sitt namn.

När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.

Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen

6 + \frac{1}{2} .

Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet

2

går

6

hela gånger i talet

13 .

Men

2 \cdot 6 = 12,

så det "fattas"

1

vilket kallas divisionens rest. Är resten

0

har divisionen gått jämnt upp.

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar

x^{2} + 4

med

x - 1

ställer man upp divisionen så här.

x + 1 x^{2} + 4 x - 1 h e j

När divisionen är klar får man följande uttryck.

h e j x + 1 3 x - 1 h e j

Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt:

(x + 1) + \frac{3}{x - 1} .

Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4},

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att

x^{3}

divideras med

x .

Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Multiplicera kvottermen från steg

2

med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger

x^{2} (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2} .

Subtrahera produkten från steg

3

från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x^{2} \cdot (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2}$

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2}) + 7 x - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som

x^{2} + \frac{x ^{2} + 7 x - 2}{x - 4} .

Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg

2,

3

och

4

igen.

Upprepa steg

2 - 4

tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg

2 - 4

upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{2}}{x} = x$

x^{2} + x x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x$

x^{2} + x x^{2} - (x^{2} + 7 x - 4 x) - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x x^{2} - x^{2} + 7 x + 4 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg

2 - 4

utförs ytterligare en gång.

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{1 1 x}{x} = 11$

x^{2} + x + 11 11 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $11 \cdot (x - 4) = 11 x - 44$

x^{2} + x + 11 11 x - (11 x - 2 - 44) x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x + 11 11 x - 11 x - 2 + 44 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x + 11 42 x - 4

Talet

42

är av grad

0

(precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs

42 x^{0} .

Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4}

är summan av kvoten och restbråket, dvs.

(x^{2} + x + 11) + \frac{4 2}{x - 4} .

Lös ekvationen med polynomdivision

fullscreen

x = 2

är en rot till ekvationen

x^{3} - 19 x + 30 = 0 .

Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.

Visa Lösning

Att

x = 2

löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet

x^{3} - 19 x + 30 .

Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då

(x - 2) q (x) = 0,

där

q (x)

är ett annat polynom. Om vi kan bestämma

q (x)

kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan

q (x)

lösas ut.

x^{3} - 19 x \Leftrightarrow q (x) + 30 = (x - 2) q (x) = \frac{x ^{3} - 1 9 x + 3 0}{x - 2}

Polynomet

q (x)

kan alltså bestämmas med en polynomdivision.

x^{3} - 19 x + 30 x - 2

PolDivQuot

$\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$

x^{2} x^{3} - 19 x + 30 x - 2

PolDivSub

Subtrahera $x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 2 x^{2}) - 19 x + 30 x - 2

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

PolDivQuot

$\frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x$

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - 19 x + 30 x - 2

PolDivSub

Subtrahera $2 x \cdot (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x$

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - (2 x^{2} - 19 x - 4 x) + 30 x - 2

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + 2 x 2 x^{2} - 2 x^{2} - 19 x + 4 x + 30 x - 2

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + 2 x - 15 x + 30 x - 2

PolDivQuot

$\frac{- 1 5 x}{x} = - 15$

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x + 30 x - 2

PolDivSub

Subtrahera $- 15 \cdot (x - 2) = - 15 x + 30$

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x - (- 15 x + 30 + 30) x - 2

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + 2 x - 15 - 15 x + 15 x + 30 - 30 x - 2

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + 2 x - 15 m 0 x - 2

Eftersom man får resten

0

går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att

x - 2

är en faktor till polynomet. Vi ser nu att

q (x) = x^{2} + 2 x - 15,

vilket kan sättas in i ekvationen.

(x - 2) q (x) = 0

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

(x - 2) (x^{2} + 2 x - 15) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x - 2 = 0 x^{2} + 2 x - 15 = 0

Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, $x = 2$ , så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med $p q -$ formeln.

x^{2} + 2 x - 15 = 0

Lös med

p q

-formeln

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 2, q = - 15$

x = - \frac{2}{2} \pm (\frac{2}{2})^{2} - (- 15)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 1 \pm 1^{2} - (- 15)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 1 \pm 1 - (- 15)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 1 \pm 16

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 1 \pm 4

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 5 x_{2} = 3

Ekvationen $x^{3} - 19 x + 30 = 0$ har alltså rötterna $x = - 5$ , $x = 2$ och $x = 3$ .

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Förklaring

Hur tolkas liggande stolen?

Begrepp

Terminologi för polynomdivision

Metod

Polynomdivision

Exempel

Lös ekvationen med polynomdivision

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}