Dashboard

Årskurs 8 Visa detaljer

1. Omkrets och area Åk 8

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 8 /

Kapitel 3

Omkrets och area Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Geometri i två dimensioner
Omkrets
Area

Förkunskaper

Omkrets
Area

Teori

Geometri i två dimensioner

En sträcka är en linje som har en viss längd, men ingen bredd. Den har alltså en dimension. Till exempel kan en sträcka vara 4cm lång.

En plan yta, som till exempel en rektangel eller en kvadrat, har två dimensioner: längd och bredd. Denna typ av yta har en area. Eftersom arean mäts i två dimensioner blir enheten för area kvadraten på längdenheten.

Exempel

Till exempel har en kvadrat med sidan 4cm en area som kan beräknas så här:

4 cm * 4 cm = 4 * 4 * cm * cm = 16 cm^2

Detta kan också skrivas som 4^2 = 16, alltså 4^2 cm^2 = 16 cm^2.

Teori

Omkrets

När vi talar om omkrets menar vi den totala längden runt en figur. Det kan vara en löparbana, en cykelväg runt en park eller en stor lekplats.

Om figuren är en månghörning, till exempel en triangel, fyrhörning eller femhörning, beräknas omkretsen genom att addera sidornas längder.

Formeln för cirkelns omkrets

För cirklar används en särskild formel för att beräkna omkretsen:

Omkretsen = π * diametern eller O = π * d

Här är diametern den sträcka som går tvärs över cirkeln, genom dess medelpunkt. Sträckan från medelpunkten till cirkelns kant kallas för radie.

Talet π är irrationellt, så dess decimalform kan inte skrivas exakt. Den vanligaste närmevärdet för π är 3,14. Därför kan vi säga att en cirkels omkrets är ungefär tre gånger så stor som dess diameter.

Övning

Beräkna omkretsen av en figur

Beräkna omkretsen av figuren nedan. Om figuren är en cirkel kan du bli ombedd att hitta antingen omkretsen eller radien.

Exempel

Omkrets och sidlängd

Betrakta figuren nedan som visar en liksidig triangel med sidor som är 24 centimeter långa och en kvadrat.

Triangelns omkrets är lika stor som kvadratens omkrets. Bestäm längden på kvadratens sidor.

Den liksidiga triangeln har alla sidor lika långa, 24cm.

Triangeln har samma omkrets som kvadraten.

Börja med att skriva ner det du vet.

Triangelns omkrets:

(3 * 24 ) cm = 72 cm

Multiplicera sidlängden med tre för att få triangelns omkrets.

Kvadratens sida:

72/4 cm = 18cm

Dividera omkretsen med fyra för att hitta kvadratens sidlängd.

Svar: Kvadraten har sidor som är 18 centimeter långa.

Teori

Area

När vi talar om area menar vi storleken på en yta. För att räkna ut arean för olika former finns det specifika formler som vi kan använda.

Arean av en kvadrat

Arean av en rektangel

Arean av en triangel

Arean av en romb

Arean av ett parallellogram

Arean av en parallelltrapets

Ett parallelltrapets kännetecknas av att det har minst två sidor som är parallella med varandra.

Exempel

Kvadrat och rektangel med samma omkrets

En kvadrat har en area på 1 296cm^2. Bestäm en möjlig area för en rektangel som har samma omkrets som kvadraten.

Arean av en kvadrat är 1 296cm^2.

Börja med att skriva ner det du vet.

Sidans längd:

rrl & 36 & cm *& 36 & cm & 1 296 & cm^2

Hitta heltalet som ger 1 296 cm^2 när det kvadreras. Därför är sidan 36cm.

Omkrets:

rrl & 36 & cm *& 4 & & 144 & cm

Multiplicera sidlängden med fyra för att få kvadratens omkrets.

Bas + höjd:

144/2 cm = 72 cm

För en rektangel delas omkretsen på två, så summan av bas och höjd är 72cm.

Möjliga sidor:

bas = 40 cm

höjd = 32 cm

Välj två tal vars summa är 72. Här används 40 och 32.

Rektangelns area:

rrl & 40 & cm *& 32 & cm & 1 280 & cm^2

Multiplicera basen med höjden för att få arean.

Svar: Rektangelns area kan vara 1 280 cm^2.

Exempel

Hjärtformad figur bestående av kvadrater

En hjärtformad figur är uppbyggd av kvadrater. De mindre kvadraterna har en area på 4dm^2.

Beräkna den totala arean av figuren.

Arean av den lilla kvadraten är 4dm^2.

Börja med att skriva ner det du vet.

Sidans längd på den lilla kvadraten: 2dm

Eftersom 2^2 = 4 är sidan på den lilla kvadraten 2dm.

Sidans längd på den medelstora kvadraten:

2 * 2dm = 4dm

Den medelstora kvadraten har en sida som är dubbelt så lång som den lilla, så multiplicera 2dm med 2.

Sidans längd på den stora kvadraten:

2 * 4dm = 8dm

Den stora kvadraten har en sida som är dubbelt så lång som den medelstora, så multiplicera 4dm med 2.

Area för varje typ av kvadrat:

Stor: (8 dm)^2 = 64dm^2

Medelstor:(4 dm)^2 = 16dm^2

Liten:(2 dm)^2 = 4dm^2

Kvadrera sidan på varje typ av kvadrat för att få dess area.

Total area per typ:

Stor: (1 * 64)dm^2 = 64dm^2

Medelstor: (3 * 16)dm^2 = 48dm^2

Liten: (4 * 4)dm^2 = 16dm^2

Multiplicera arean för varje typ med antalet kvadrater av den typen.

Total area för figuren:

rrl & 64 & dm^2 +& 48 & dm^2 +& 16 & dm^2 & 128 & dm^2

Addera de totala areorna för alla kvadrater för att få figurens totala area.

Svar: Den totala arean av den hjärtformade figuren är 128 dm^2.

Exempel

Area av en sammansatt figur – Rymdraket

Figuren nedan föreställer en rymdraket och är sammansatt av flera geometriska former.

Beräkna raketens totala area.

Rektangel: höjd = 38 cm, bas = 30 cm

Triangel: bas = 30cm, höjd = 15cm

Kvadrat: sida = 20cm

Parallellogram: bas = 20 cm, höjd= 8 cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Area av rektangeln:
A_r = (38 * 30)cm^2 =

=1 140cm^2

För rektangeln multiplicerar du basen med höjden.

Area av kvadraten:
A_k = (20 * 20)cm^2 =

=400cm^2

Kvadrera sidlängden eftersom alla sidor är lika långa.

Area av triangeln:
A_t = (30 * 15/2)cm^2 =

=225cm^2

Multiplicera basen med höjden och dela med 2, eftersom en triangel är hälften av en rektangel.

Area av de två parallellogrammerna:
A_p = 2 * (20 * 8 )cm^2 =

=320cm^2

Räkna ut arean för en parallellogram genom att multiplicera basen med höjden. Eftersom det finns två parallellogrammer, multiplicerar du sedan resultatet med 2.

Total area:

rrl & 1 140 & cm^2 +& 400 & cm^2 +& 225 & cm^2 +& 320 & cm^2 & 2 085 & cm^2

Addera arean av rektangeln, kvadraten, triangeln och de två parallellogrammerna för att få den totala arean.

Svar: Raketens totala area är 2 085cm^2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Omkrets och area Åk 8

Uppgift 3.1

En cirkel har en omkrets på 94cm och en diameter på 30cm.

Beräkna ett värde på π med hjälp av de givna måtten och avrunda till hundradelar.

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π * d </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv formeln för cirkelns omkrets. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> π = O/d </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ut π genom att dividera båda sidor med diametern d. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> π = 94/30≈ 3,13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in O=94 och d=30 och avrunda till hundradelar. </cell> </row>

En flagga har formen av en triangel. Basen är 3,5dm och höjden är 1,55m. Vi vill veta hur många flaggor som kan sys av ett tygstycke med arean 6m^2. 15 % av tyget kan inte användas. Hur många flaggor kan man sy av ett tygstycke med arean 6m^2?

<row> <cell left="true" role="sol"> 3,5 dm=0,35 m </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla basen från decimeter till meter genom att dividera med 10. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(flagga)=1/2 * 0,35 * 1,55 m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna arean av en flagga med formeln för triangelns area. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 m^2 * 0,85=5,1 m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den användbara tygarean genom att ta bort 15 %. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5,1/0,27125≈ 18,8 ⇒ 18 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera den användbara arean med arean av en flagga och avrunda nedåt. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Man kan sy 18 flaggor. </cell> </row>

Bilden visar en stor rektangel som är uppdelad i fyra kvadrater. De två minsta kvadraterna är lika stora och har vardera en area på 16 dm^2.

Beräkna hela figurens omkrets.

<row> <cell left="true" role="sol"> Area av små kvadraterna: 16dm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 * 4 = 16
Sidlängd: 4dm </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta sidlängden på de små kvadraterna genom att tänka vilket tal multiplicerat med sig självt ger 16. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Mellersta kvadraten:
(4 + 4) dm= 8dm </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd de små kvadraternas sidlängd för att beräkna sidlängderna på de större kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Stora kvadraten:
(8 + 4) dm= 12dm </cell> <cell right="true" role="exp">

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bredd: (12 + 8)dm = 20dm
Höjd: 12dm </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna rektangelns bredd och höjd. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> P = (2 * 20 + 2 * 12)dm = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för rektangelns omkrets. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Hela figurens omkrets är 64dm. </cell> </row>

Ett kvadratiskt pappersark har sidan 20cm. Från varje hörn skär man ut en liten kvadrat. Den återstående ytan har en area på 336cm^2. Vad är sidlängden på varje utskuren kvadrat? Förklara hur du kommer fram till ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av den ursprungliga kvadraten:
20 * 20 cm^2 = 400 cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den ursprungliga kvadratens area genom att multiplicera 20 med 20. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (400 - 336) cm^2= 64 cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera den nya arean 336cm^2 från 400cm^2 för att få bortklippt area. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 64/4cm^2 = 16cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela bortklippt area 64 cm^2 med 4 för att få arean av en utskuren kvadrat. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 * 4=16 ⇓ sidlängden= 4cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta talet som multiplicerat med sig självt ger 16. Då vet du sidlängden på de utskurna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Sidlängden på varje utskuren kvadrat är 4 cm. </cell> </row>

Arean av en rektangel är numeriskt lika med dess omkrets. Om rektangelns längd är 12 centimeter, vad är dess bredd?

<row> <cell left="true" role="sol"> Längd: 12cm
Area är lika med Omkrets (numeriskt) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 12 * b
P = 2 * 12 + 2b </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv uttryck för arean och omkretsen med längden 12 och bredden b. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12b = 2 * 12 + 2b </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt arean lika med omkretsen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12b = 24 + 2b </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10b = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 2b från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b = 24/10 = 2,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda led med 10 för att beräkna bredden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Rektangelns bredd är 2,4cm. </cell> </row>

En rektangulär åker har måtten 52,6m på 31,4m. Runt hela åkern finns en stig som är 2,3m bred.

Hur stor area har stigen? Avrunda till hela kvadratmeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Åkern är en rektangel: 52,6m * 31,4m.
Stigens bredd är 2,3m runt om. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Yttre mått:
(52,6+2,3+2,3)m=57,2m
och
(31,4+2,3+2,3)m=36,0m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till 2,3m på båda sidor av varje dimension för att få den yttre rektangelns längd och bredd. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Åkerns area:
52,6 * 31,4 m^2 = 1 651,64m^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera åkerns längd och bredd för att få åkerns area. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Yttre rektangelns area:
57,2 * 36,0m^2 = 2 059,2m^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera den yttre rektangelns längd och bredd för att få dess area. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Stigens area:
(2 059,2-1 651,64)m^2= </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera åkerns area från den yttre rektangelns area för att få stigens area. </cell> </row>

<row> <cell> Svar: Stigens area är 408m^2. </cell> </row>

En trapets har en area på 54cm^2. En av baserna är dubbelt så lång som den andra. Höjden är 6cm. En elev säger att det inte går att räkna ut baserna. Har eleven rätt? Räkna ut basernas längder och förklara hur du tänker.

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av en trapets är 54cm^2.
En bas är dubbelt så lång som den andra.
Höjden är 6cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Låt den kortare basen vara x och den längre basen vara 2x. </cell> <cell right="true" role="exp"> Inför en variabel för baserna enligt förhållandet. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Area=h(a+b)/2 ⇓ 6(x+2x)/2=54 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv formeln för arean av en trapets och sätt in höjden och baserna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 * 3x/2=54 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla ekvationen steg för steg och lös ut x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Kortare bas: x=6cm.
Längre bas: 2x=12cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna båda basernas längder. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Elevens påstående är felaktigt eftersom baserna kan beräknas med formeln och ekvationen ovan. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv en kort motivering till varför påståendet är fel. </cell> </row> <row> <cell> Svar: Baserna är 6cm och 12cm. </cell> </row>

Förhållandet mellan basen och höjden på en rektangel är 3:2. Om dess omkrets är 50 centimeter, vad är dess area? Visa hur du tänker.

<row> <cell left="true" role="sol"> Förhållandet mellan bas och höjd är 3:2.
Omkretsen är 50cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> Låt basen vara 3x och höjden vara 2x. </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt upp uttryck för bas och höjd med hjälp av förhållandet. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> 2*(3x+2x)=50 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv formeln för rektangelns omkrets och sätt in värdena. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> 2*5x = 50 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla uttrycket och lös ut x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bas: 3* 5 cm=15cm
Höjd: 2* 5 cm=10cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna basen och höjden genom att multiplicera med x. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> A=15 * 10 cm^2 = 150cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för arean av en rektangel och beräkna värdet. </cell> </row> <row> <cell> Svar: Rektangelns area är 150cm^2. </cell> </row>

Omkrets och area Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan