Dashboard

Årskurs 7 Visa detaljer

6. Omkrets Åk 7

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 7 /

Kapitel 3

Omkrets Åk 7

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Omkrets Åk 7

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Parallelltrapets
Parallellogram
Romb
Rektangel
Kvadrat
Cirkel
Omkrets

Förkunskaper

Vinkelsumma

Utforska

Letar efter likheter

Jämför figurerna nedan. Använd de verktyg som finns för att undersöka vad de har gemensamt och vad som skiljer dem åt.

En trapezoid, en parallelltrapets, en romb, en rektangel och en kvadrat. Ett verktyg för att mäta vinklar ges också, liksom en linjal

Teori

Fyrhörningar

Det finns fem speciella typer av fyrhörningar, och varje typ har sina egna egenskaper.

En parallelltrapets är en fyrhörning med minst ett par parallella sidor.
En parallellogram är en fyrhörning med två par parallella sidor.
En romb är en typ av parallellogram som har fyra lika långa sidor.
En rektangel är en parallellogram med fyra räta vinklar.
En kvadrat är en rektangel med fyra lika långa sidor.

Samband mellan fyrhörningar

Diagrammet visar hur de olika typerna av fyrhörningar hänger ihop med varandra.

Exempel

Analysera kopplingar

Överväg följande påståenden.

Påstående A: En kvadrat är också en rektangel.
Påstående B: En rektangel är också en kvadrat.

Avgör vilket påstående, om något, som är sant.

Alla kvadrater har fyra räta vinklar. Därför är alla kvadrater rektanglar.

För att en fyrhörning ska räknas som en rektangel behöver den bara ha fyra räta vinklar.

Alla rektanglar har fyra räta vinklar, men deras sidor behöver inte vara lika långa. Därför är en rektangel inte alltid en kvadrat.

För att en fyrhörning ska vara en kvadrat måste den ha fyra räta vinklar och fyra sidor av samma längd.

Svar: A är sant. B är falskt.

Exempel

Bestäm fyrhörningen utifrån dess egenskaper

Bestäm vilken typ av fyrhörning som motsvarar beskrivningen.

Att ha fyra sidor av samma längd är den enda egenskapen hos denna parallellogram.

Kvadrater

Rektanglar

Romber

Beskrivningen gäller specifikt parallellogram. Lista sedan parallellogrammen.

Rektanglar utesluts.

De fyra sidorna i en rektangel behöver inte ha samma längd.

Kvadrater utesluts eftersom de har mer än en egenskap.

Förutom att ha fyra sidor av samma längd har kvadrater också fyra räta vinklar. Alltså har de två egenskaper.

Romben uppfyller beskrivningen.

Romber är parallellogram med fyra sidor av samma längd och inga fler egenskaper.

Svar: Romb

Teori

Omkrets

Omkrets mäter hur långt det är runt en tvådimensionell figur. Omkretsen beräknas genom att lägga ihop alla sidlängder. Till exempel har en kvadrat med en sidlängd på 4 meter en omkrets på 16 meter, eftersom 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Exempel

Pingisbord

Ett pingisbord har en omkrets på 8,5 meter och en bredd på 1,5 meter.

Hur lång är längden på pingisbordet?

Omkrets av pingisbord: 8,5 meter
Bredd av pingisbord: 1,5 meter

Börja med att skriva ner det du vet.

O = 2b + 2l

Omkretsen är lika med summan av alla sidlängder i en polygon. Låt b beteckna bredden och l beteckna längden på pingisbordet.

8,5 m = 2 * 1,5 m +2l

Sätt in O = 8,5 m och b = 1,5 m i formeln.

8,5 m = 3 m +2l

5,5 m = 2l

l = 2,75 m

Svar: Längden på pingisbordet är 2,75 meter.

Övning

Att hitta omkretsen av en polygon

Beräkna omkretsen av polygonen.

Teori

Cirkel

En cirkel är en figur som består av alla punkter som ligger på samma avstånd från en given punkt, som kallas medelpunkten. För att beskriva en cirkel använder vi två viktiga begrepp.

Radien, betecknad med r, är avståndet från medelpunkt till en punkt på cirkeln.
Diametern, betecknad med d, är en linje som går tvärs över cirkeln, genom medelpunkt.

Kom ihåg

En viktig egenskap hos cirkeln är att diametern alltid är dubbelt så lång som radien:

d = 2 * r

Utforska

Jämföra mynt

Alla mynt har något gemensamt utöver att dem är runda.

Om man mäter omkretsen och diametern på olika mynt kan man upptäcka ett samband. Använd applet-ten nedan för att räkna ut omkretsen delad med diametern för varje mynt.

Efter att du har testat några mynt: Vad verkar de ha gemensamt?

Teori

Cirklars omkrets

När vi pratar om en cirkels omkrets, menar vi hur långt det är runt cirkeln. Förhållandet mellan cirkelns omkrets O och dess diameter d är en konstant som kallas π. Den har ett ungefärligt värde på 3,14.

Kom ihåg: Definitionen av talet π (pi)

Omkretsen dividerat med diametern är alltid lika med π (pi), oavsett cirkelns storlek. Det är detta som gör π till en konstant.

O/d = π

Detta betyder att om vi känner till diametern på en cirkel kan vi räkna ut omkretsen med en enkel formel:

Kom ihåg: Omkretsformeln för en cirkel

O = π * d

Diagrammet nedan visar detta samband.

Exempel

Basketplan

En vy ovanifrån av en basketplan visas.

Diametern på den blå yttre cirkeln i mitten av planen är 3,66 meter. Vad är omkretsen av denna cirkel? Avrunda svaret till tiondels meter.

Diameter: 3,66 meter

Börja med att skriva ner det du vet.

O = π * d

Teckna formeln för cirkelns omkrets.

O = π * 3,66 m =

Sätt in d = 3,66 m i formeln.

= 11,49 ... m ≈

≈ 11,5 m

Svar: Omkretsen är 11,5 m.

Övning

Beräkna längder av olika delar av en cirkel

Beräkna värdet av det som efterfrågas av den givna cirkeln. Använd följande formler för att konvertera mellan olika delar av en cirkel.

O = 2π r eller O = π d.
d=2r eller r=d/2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Omkrets Åk 7

Uppgift 3.1

Två cirklar har samma mittpunkt. Avståndet mellan den inre cirkeln och den yttre cirkeln är 21 centimeter.

Hur många centimeter längre är omkretsen av den yttre cirkeln än omkretsen av den inre cirkeln? Använd π = 22/7 i beräkningarna.

<row> <cell left="true" role="sol"> Avståndet mellan cirklarna är 21cm.
π = 22/7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = 2π r </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är två gånger radien gånger π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_(Inre) = 2π r_1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt r_1 vara radien på den inre cirkeln. Skriv ett uttryck för dess omkrets O_(Inre). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r_2 = (r_1+21)cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt r_2 vara radien på den yttre cirkeln. Skriv ett uttryck för r_2 i termer av r_1. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_(Yttre) = 2π r_2 = 2π (r_1+21)cm = (2π r_1 + 42π) cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv ett uttryck för den yttre cirkelns omkrets O_(Yttre). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_\text{Yttre} - O_\text{Inre} = (2\pi r_1 + 42\pi - 2\pi r_1)\text{ cm}= </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera omkretsarna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den yttre cirkelns omkrets är 132cm längre än den inre cirkelns omkrets. </cell> </row>

Diagrammet visar tre cirklar med samma centrum. Den innersta cirkeln har en diameter på 1 enhet. Varje cirkel som rör sig utåt har en diameter som är en enhet större än den föregående.

Utan att räkna, hur mycket längre är omkretsen av varje cirkel?

<row> <cell left="true" role="sol"> Tre cirklar med samma centrum.
Den innersta cirkeln har en diameter på 1 enhet.
Varje cirkel som rör sig utåt har en diameter som är en enhet större än den föregående. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Innersta: d=1
Mittersta: d = 1 + 1 = 2
Yttersta: d = 2 + 1 = 3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv diametrarna för alla cirklar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är lika med π gånger diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Innersta: O_I = π * 1 = π
Mittersta: O_M = π * 2 = 2π
Yttersta: O_Y = π * 3 = 3π </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna omkretsen för varje cirkel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_M - O_I = 2π - π = π
O_Y - O_M = 3π - 2π = π </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta skillnaden mellan omkretsen av på varandra följande cirklar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen av varje cirkel är π enheter längre än omkretsen av den föregående cirkeln. </cell> </row>

Förklara hur man ritar en cirkel med en omkrets av π^2cm. Rita sedan cirkeln.

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d så d = O/π </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är lika med π gånger diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = π/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av en cirkel är hälften av dess diameter. Beräkna radien. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkeln måste ha en diameter på πcm eller en radie på π/2cm.

</cell> </row>

Överväg en oregelbunden figur.

Vad är omkretsen av figuren? Anta att alla kvadrater har en sida på 1 centimeter.

Hur många fler kvadrater kan färgas utan att öka omkretsen på det färgade området?

<row> <cell left="true" role="sol"> Oregelbunden figur.
Varje kvadrat har sidlängden 1cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Figuren har:

2 sidor på 3cm.
6 sidor på 1cm.
1 sida på 4cm.
1 sida på 6cm.

</cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en figur är summan av alla dess sidlängder. Bestäm alla sidlängder. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = (2* 3 + 6* 1 + 4+6)cm= </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg ihop alla sidlängder. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen är 22cm. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Färgning av det övre högra hörnet ändrar inte figurens omkrets, 22cm. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Färga det övre högra hörnet och hitta omkretsen av den nya figuren.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Färgning av de två nedre högra hörnen ändrar inte figurens omkrets. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Beakta de nedre högra hörnen.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Färgning av det nedre högra hörnet ändrar inte figurens omkrets. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Färga det nedre högra hörnet av den resulterande figuren.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Fyra kvadrater kan färgas utan att öka figurens omkrets. </cell> <cell right="true" role="exp"> Inga fler kvadrater kan färgas utan att öka figurens omkrets. Räkna hur många kvadrater som färgades utan att ändra omkretsen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 4 kvadrater. </cell> </row>

En cirkel har en viss diameter. Hur påverkas omkretsen av cirkeln om diametern fördubblas?

<row> <cell left="true" role="sol"> O_1 = π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt d vara diametern av en cirkel. Cirkelns omkrets är π gånger d. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2d </cell> <cell right="true" role="exp"> Fördubbla diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_2 = π (2d) = 2π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv omkretsen av en cirkel med den fördubblade diametern. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen fördubblas när diametern fördubblas. </cell> </row>

Ett bildäck har en diameter på 45cm.

Hur långt har däcket färdats om det har snurrat 8 varv? Avrunda π till 3,14 och avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 45cm
8 varv.
π ≈ 3,14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Sträckan däcket har färdats efter ett helt varv är lika med däckets omkrets. Skriv formeln för omkretsen av en cirkel.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bildäcket färdas ungefär 141,3cm för varje varv. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 8* 141,3cm = 1 130,4cm ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera sträckan som bildäcket färdas efter ett varv med antalet varv. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 1 130cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Bildäcket färdas ungefär 1 130cm efter 8 varv. </cell> </row>

En tävlingsbil har däck med en diameter på 60cm.

Hur många hela varv har däcken snurrat när bilen har färdats 49 meter? Använd att en meter är 100cm och avrunda π till 3,14.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 60cm
Bilen har färdats 49 meter.
100cm = 1m
π ≈ 3,14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Sträckan bilen har färdats efter ett helt varv är lika med däckets omkrets. Skriv formeln för omkretsen av en cirkel.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bilen färdas 188,4cm per varv. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv sträckan som färdas per varv. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 49m/188,4cm/varv = </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera den totala sträckan som bilen färdats med sträckan bilen färdas per varv. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 900cm/188,4cm/varv = 26,00849...varv≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 100cm är samma som 1m, är den totala sträckan lika med 49* 100cm = 4 900cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 26varv </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Däcket har snurrat 26 hela varv. </cell> </row>

Kevin monterade isär en väggklocka för att lära sig hur den fungerar. Han såg två kugghjul som var ihopkopplade.

Det större kugghjulet snurrade 6 gånger per minut och dess rörelse fick det mindre kugghjulet att snurra. Hur många varv snurrar det mindre kugghjulet per minut?

<row> <cell left="true" role="sol"> d_1 = 1,2cm
d_2 = 3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_1 = π * 1,2cm = 1,2π cm
O_2 = π * 3cm = 3π cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är π gånger diametern av cirkeln. Hitta omkretsen för varje kugghjul. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_2/O_1 = 3πcm/1,2πcm = 2,5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera omkretsen av det större kugghjulet med omkretsen av det mindre kugghjulet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_2 = 2,5* O_1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen för O_2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> När det större kugghjulet gör ett varv, gör det mindre kugghjulet 2,5 varv. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv sambandet mellan kugghjulens omkretsar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Det mindre kugghjulet gör 6* 2,5 = 15 varv per minut. </cell> <cell right="true" role="exp"> Det större kugghjulet gör 6 varv per minut.
Hur många varv gör det mindre kugghjulet per minut? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det mindre kugghjulet snurrar alltså 15 varv per minut. </cell> </row>

Omkrets Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan