Dashboard

Årskurs 7 Visa detaljer

6. Omkrets Åk 7

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 7 /

Kapitel 3

Omkrets Åk 7

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Omkrets Åk 7

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Parallelltrapets
Parallellogram
Romb
Rektangel
Kvadrat
Cirkel
Omkrets

Förkunskaper

Vinkelsumma

Utforska

Letar efter likheter

Jämför figurerna nedan. Använd de verktyg som finns för att undersöka vad de har gemensamt och vad som skiljer dem åt.

En trapezoid, en parallelltrapets, en romb, en rektangel och en kvadrat. Ett verktyg för att mäta vinklar ges också, liksom en linjal

Teori

Fyrhörningar

Det finns fem speciella typer av fyrhörningar, och varje typ har sina egna egenskaper.

En parallelltrapets är en fyrhörning med minst ett par parallella sidor.
En parallellogram är en fyrhörning med två par parallella sidor.
En romb är en typ av parallellogram som har fyra lika långa sidor.
En rektangel är en parallellogram med fyra räta vinklar.
En kvadrat är en rektangel med fyra lika långa sidor.

Samband mellan fyrhörningar

Diagrammet visar hur de olika typerna av fyrhörningar hänger ihop med varandra.

Exempel

Analysera kopplingar

Överväg följande påståenden.

Påstående A: En kvadrat är också en rektangel.
Påstående B: En rektangel är också en kvadrat.

Avgör vilket påstående, om något, som är sant.

Alla kvadrater har fyra räta vinklar. Därför är alla kvadrater rektanglar.

För att en fyrhörning ska räknas som en rektangel behöver den bara ha fyra räta vinklar.

Alla rektanglar har fyra räta vinklar, men deras sidor behöver inte vara lika långa. Därför är en rektangel inte alltid en kvadrat.

För att en fyrhörning ska vara en kvadrat måste den ha fyra räta vinklar och fyra sidor av samma längd.

Svar: A är sant. B är falskt.

Exempel

Bestäm fyrhörningen utifrån dess egenskaper

Bestäm vilken typ av fyrhörning som motsvarar beskrivningen.

Att ha fyra sidor av samma längd är den enda egenskapen hos denna parallellogram.

Kvadrater

Rektanglar

Romber

Beskrivningen gäller specifikt parallellogram. Lista sedan parallellogrammen.

Rektanglar utesluts.

De fyra sidorna i en rektangel behöver inte ha samma längd.

Kvadrater utesluts eftersom de har mer än en egenskap.

Förutom att ha fyra sidor av samma längd har kvadrater också fyra räta vinklar. Alltså har de två egenskaper.

Romben uppfyller beskrivningen.

Romber är parallellogram med fyra sidor av samma längd och inga fler egenskaper.

Svar: Romb

Teori

Omkrets

Omkrets mäter hur långt det är runt en tvådimensionell figur. Omkretsen beräknas genom att lägga ihop alla sidlängder. Till exempel har en kvadrat med en sidlängd på 4 meter en omkrets på 16 meter, eftersom 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Exempel

Pingisbord

Ett pingisbord har en omkrets på 8,5 meter och en bredd på 1,5 meter.

Hur lång är längden på pingisbordet?

Omkrets av pingisbord: 8,5 meter
Bredd av pingisbord: 1,5 meter

Börja med att skriva ner det du vet.

O = 2b + 2l

Omkretsen är lika med summan av alla sidlängder i en polygon. Låt b beteckna bredden och l beteckna längden på pingisbordet.

8,5 m = 2 * 1,5 m +2l

Sätt in O = 8,5 m och b = 1,5 m i formeln.

8,5 m = 3 m +2l

5,5 m = 2l

l = 2,75 m

Svar: Längden på pingisbordet är 2,75 meter.

Övning

Att hitta omkretsen av en polygon

Beräkna omkretsen av polygonen.

Teori

Cirkel

En cirkel är en figur som består av alla punkter som ligger på samma avstånd från en given punkt, som kallas medelpunkten. För att beskriva en cirkel använder vi två viktiga begrepp.

Radien, betecknad med r, är avståndet från medelpunkt till en punkt på cirkeln.
Diametern, betecknad med d, är en linje som går tvärs över cirkeln, genom medelpunkt.

Kom ihåg

En viktig egenskap hos cirkeln är att diametern alltid är dubbelt så lång som radien:

d = 2 * r

Utforska

Jämföra mynt

Alla mynt har något gemensamt utöver att dem är runda.

Om man mäter omkretsen och diametern på olika mynt kan man upptäcka ett samband. Använd applet-ten nedan för att räkna ut omkretsen delad med diametern för varje mynt.

Efter att du har testat några mynt: Vad verkar de ha gemensamt?

Teori

Cirklars omkrets

När vi pratar om en cirkels omkrets, menar vi hur långt det är runt cirkeln. Förhållandet mellan cirkelns omkrets O och dess diameter d är en konstant som kallas π. Den har ett ungefärligt värde på 3,14.

Kom ihåg: Definitionen av talet π (pi)

Omkretsen dividerat med diametern är alltid lika med π (pi), oavsett cirkelns storlek. Det är detta som gör π till en konstant.

O/d = π

Detta betyder att om vi känner till diametern på en cirkel kan vi räkna ut omkretsen med en enkel formel:

Kom ihåg: Omkretsformeln för en cirkel

O = π * d

Diagrammet nedan visar detta samband.

Exempel

Basketplan

En vy ovanifrån av en basketplan visas.

Diametern på den blå yttre cirkeln i mitten av planen är 3,66 meter. Vad är omkretsen av denna cirkel? Avrunda svaret till tiondels meter.

Diameter: 3,66 meter

Börja med att skriva ner det du vet.

O = π * d

Teckna formeln för cirkelns omkrets.

O = π * 3,66 m =

Sätt in d = 3,66 m i formeln.

= 11,49 ... m ≈

≈ 11,5 m

Svar: Omkretsen är 11,5 m.

Övning

Beräkna längder av olika delar av en cirkel

Beräkna värdet av det som efterfrågas av den givna cirkeln. Använd följande formler för att konvertera mellan olika delar av en cirkel.

O = 2π r eller O = π d.
d=2r eller r=d/2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Omkrets Åk 7

Uppgift 2.1

I parallellogram ABCD där sidan AB är 5,5cm lång. Sidan BC är dubbelt så lång som AB. Rita parallellogrammen och beräkna dess omkrets.

<row> <cell left="true" role="sol"> ABCD är ett parallellogram.
AB = 5,5cm
BC = 2AB </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> En parallellogram är en fyrhörning med två par parallella sidor. De motsatta sidorna har samma mått.
Rita en parallellogram med de funna måtten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = (5,5+11+5,5+11)cm = 33cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av ett parallellogram är summan av dess sidlängder. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: O=33cm

</cell> </row>

Två cirklar, P och Q, är givna. Cirkeln Q ligger inuti cirkeln P.

Vad är diametern av cirkeln P?

Vad är radien av cirkeln Q?

<row> <cell left="true" role="sol"> En cirkel med centrum i P och radie r=5. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 2r </cell> <cell right="true" role="exp"> Diametern av en cirkel är dubbelt så stor som dess radie. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Diametern av cirkeln P är 10. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> En cirkel med centrum i Q.
En cirkel med centrum i P och radie 5. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Diametern av Q är 5. </cell> <cell right="true" role="exp"> Diametern av cirkeln med centrum i Q är lika med radien av cirkeln med centrum i P. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = d/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av en cirkel är hälften av dess diameter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Radien av cirkeln Q är alltså 2,5. </cell> </row>

Beräkna omkretsen av följande föremål. Avrunda π till 3,14 och avrunda varje svar till en decimal.

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett mynt med diametern 2,426cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är lika med dess diameter gånger π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7,61764 cm≈ 7,6cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen av myntet är alltså ungefär 7,6cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> En CD med radien 6cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 2r </cell> <cell right="true" role="exp"> Diameter är två gånger radien. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är lika med dess diameter gånger π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 37,7cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: CD-skivans omkrets är ca 37,7 centimeter. </cell> </row>

Betrakta följande traktor.

Omkretsen av framhjulet är 478 centimeter. Vad är diametern? Avrunda π till 3,14 och avrunda svaret till en decimal. Motivera ditt svar.

Omkretsen av bakhjulet är 646,4 centimeter. Vad är radien? Avrunda π till 3,14 och avrunda svaret till en decimal. Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> O_1 = 478cm
π ≈ 3,14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d så d = O/π. </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är π gånger diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d ≈ 478/3,14cm = 152,229299... cm ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in de givna värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 152,2cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Diametern på traktorns framhjul är ungefär 152,2 centimeter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O_2 = 646,4cm
π ≈ 3,14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = 2π r så r = O/2π. </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är två gånger radien gånger π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r ≈ 646,4/2(3,14)cm = 102,929936... cm ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in de givna värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 102,9cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Radien av bakhjulet är alltså ca 102,9 centimeter. </cell> </row>

Figuren består av fyra halvcirklar. Två av halvcirklarna har en diameter på 4cm och de andra två har en diameter på 1cm.

Vad är omkretsen av figuren? Skriv svaret i termer av π.

<row> <cell left="true" role="sol"> d_1 = d_2 = 4cm
d_3 = d_4 = 1cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Längden på en halvcirkel är π d/2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Längden på den kurvade delen av en halvcirkel med diametern d är hälften av omkretsen av hela cirkeln med diametern d.
Omkretsen av en cirkel är π gånger diametern.
Skriv ett uttryck för längden på den kurvade delen av en halvcirkel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d_1/2 + π d_2/2 + π d_3/2 + π d_4/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera längderna på alla kurvade delar. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Omkretsen av figuren är 5πcm. </cell> </row>

Det största trädet i världen efter volym finns i Sequoia National Park. Diametern vid basen är 11 meter. Om en person med utsträckta armar kan nå 2 meter, hur många personer skulle det ta att nå runt basen av trädet? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 11m
En person med utsträckta armar kan nå 2 meter. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är π gånger diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O ≈ 3,14* 11m = 34,54m </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna omkretsen av trädets bas. Sätt in π ≈ 3,14. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 34,54/2 = 17,27 ≈ 18 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela omkretsen av trädets bas med längden som en person kan nå med sina armar. Avrunda resultatet till närmaste heltal uppåt.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Eftersom trädets diameter är 11 meter, är dess omkrets ungefär 34,54 meter. Varje person kan täcka 2 meter, så det skulle krävas 34,54/2 = 17,27 personer för att omringa trädet. Därför behövs 18 personer för att nå runt trädets bas. </cell> </row>

En satellit befinner sig i en cirkulär bana runt jorden. Jordens radie är ungefär 6 400 kilometer, och satelliten befinner sig 36 000 kilometer från jordens yta. Vad är omkretsen av satellitens bana?

<row> <cell left="true" role="sol"> Jordens radie är 6 400km
Sateliten är 36 000km från jorden. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Radien på satellitens omloppsbana är (6 400 + 36 000)km = 42 400km. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Radien för satellitens bana är summan av jordens radie och avståndet från jordens yta till satelliten.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = 2π r </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en cirkel är två gånger radien gånger π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Satellitens bana har en omkrets på ungefär 266 272 kilometer. </cell> </row>

Gradskivan har formen av en halvcirkel med en omkrets på 35,98 centimeter.

Hur lång är den raka sidan av gradskivan? Använd π ≈ 3,14 i beräkningarna.

<row> <cell left="true" role="sol"> O = 35,98cm
π ≈ 3,14 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π d/2 + d </cell> <cell right="true" role="exp"> Omkretsen av en halvcirkel med diametern d är hälften av omkretsen av en cirkel med samma diameter plus längden på den raka sidan.
Omkretsen av en cirkel är π gånger diametern.
Den raka sidan är diametern på halvcirkeln. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den raka sidan av gradskivan är 14cm lång. </cell> </row>

Omkrets Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan