Normalfördelning

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Beroende på vad man undersöker kommer ett statistiskt material att fördela sig på olika sätt. En av de vanligaste fördelningarna kallas normalfördelning och kan ofta användas för att beskriva t.ex. längder och vikter. Nedan har man gjort ett histogram med uppmätta vikter av en viss typ av godispåsar med medelvärdet 112.5112.5 g.

Ju fler observationer man gör desto mer kommer histogrammet likna en kulle med sin högsta punkt vid medelvärdet. Observationerna fördelar sig symmetriskt kring medelvärdet och bredden bestäms av standardavvikelsen. De flesta värdena hamnar nära medelvärdet och blir mer ovanliga längre ut i "svansarna." En kurva med det här utseendet kallas för normalfördelningskurva eller Gausskurva.

normalfördelning med standardintervall och procentsatser utsatta
Medelvärdet brukar betecknas med den grekiska bokstaven μ\mu ("my") och standardavvikelsen med σ\sigma ("sigma"). Procenttalen anger hur stor andel av observationerna som hamnar i de markerade intervallen. De två 2.3%2.3\,\%-intervallen i "svansarna" inkluderar samtliga observationer längre bort än 2σ2\sigma från medelvärdet. Observationer längre än 3σ3\sigma från medelvärdet är mycket sällsynta, men inte omöjliga.
Begrepp

Egenskaper hos normalfördelat material

Allt material som är normalfördelat fördelar sig på samma sätt. Exempelvis ligger alltid ca 68.2%,68.2 \, \%, alltså ungefär två tredjedelar, av observationerna inom en standardavvikelse från medelvärdet, oavsett vad medelvärdet μ\mu och standardavvikelsen σ\sigma är.

Normalfördelning med de två mittersta intervallen markerade

Utseendet på själva kurvan ändras med olika värden på standardavvikelsen. Om standardavvikelsen ökar eller minskar blir kurvan bredare respektive smalare. Procentsatserna ändras dock inte – man hittar ändå samma andel av värdena i de olika intervallen och summan av dem blir alltid 100%100\,\%.

Uppgift

Reaktionstiden för ett visst test är normalfördelad med medelvärdet 250250 ms och standardavvikelsen 5050 ms. Hur många av testresultaten kan man förvänta sig hamnar mellan 200200 och 350350 ms?

Normalfördelning med angivna värden
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Födelsevikten för kattungar är normalfördelad runt medelvärdet 100100 g, med standardavvikelsen 1515 g. Hur stor andel av kattungarna kan man förvänta sig väger mellan 7070 g och 130130 g?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor andel av det statistiska materialet representeras av de färgade områdena?

a
Normalfördelning
b
Normalfördelning
c
Normalfördelning
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor andel av normalfördelningen är markerad?

a
Normalfördelning markerad upp till medelvärdet plus en standardavvikelse
b
Normalfördelning markerad mellan medelvärdet och två standardavvikelser upp
c
Normalfördelning med allt utom en standardavvikelse markerad
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figurerna har tre normalfördelningar med standardintervall ritats ut. Rita av fördelningarna och fyll i de värden och procentsatser som saknas. Ange även medelvärdet och standardavvikelsen.

a
Normalfördelning
b
Normalfördelning
c
Normalfördelning
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kurvorna AA och BB visar två olika normalfördelade material.

Två normalfördelningar med olika medelvärde och standardavvikelse
a

Vilken fördelning har störst medelvärde?

b

Vilken fördelning har störst standardavvikelse?

c

Vilken fördelning har störst antal observationer?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera ditt svar.


a

Lådagram visar spridning kring medelvärdet, normalfördelning visar spridning kring medianen.

b

Både lådagram och normalfördelning visar alltid symmetrisk spridning.

c

I ett normalfördelat material är medelvärdet och medianen alltid samma.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vikten på nykläckta kycklingar är normalfördelad med ett medelvärde på 3838 g och en standardavvikelse på 55 g.

a

Hur stor andel av nykläckta kycklingar förväntas väga över 3838 gram?

b

Hur stor andel av nykläckta kycklingar förväntas väga mellan 3333 och 4848 gram?

c

Kycklingar som väger över 4747 gram anses feta. Hur många av 1000010\,000 nykläckta kycklingar kommer sannolikt att vara feta?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man kan anta att brinntiden för en lågenergilampa, alltså tiden den kan vara tänd innan den går sönder, är normalfördelad med medelvärdet 51005100 timmar och standardavvikelsen 120120 timmar. Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald lågenergilampa...

a

...håller mellan 51005100 och 52205220 timmar?

b

...håller minst 49804980 timmar?

c

...går sönder efter mindre än 49804980 timmar?

d

...har en brinntid som är under 48604860 timmar eller över 53405340 timmar?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Carl vet att ett normalfördelat material har medelvärdet 2727 kg och standardavvikelsen 44 kg. Han undrar om det finns något intervall som utgör 47.7%47.7\,\% av fördelningen, och där intervallgränserna dessutom ligger på hela standardavvikelser. Hjälp Carl att avgöra vilket viktintervall det kan vara.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Företaget "Vikttillverkarna" säljer vikter till träningslokaler. När gymmet "PUMPA" ska köpa in nya 2525-kilosvikter kontaktar de Vikttillverkarna som meddelar att minst 68%68 \, \% av dem ligger inom intervallet 24.9924.99 kg till 25.0125.01 kg. Vad är standardavvikelsen för vikterna i gram?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Människors fysiologiska egenskaper är vanligtvis normalfördelade, exempelvis maxpulsen. För personer i 3535-årsåldern gäller att de 2.3%2.3 \,\% av befolkningen som har lägst maxpuls inte kommer upp i mer än 163163 slag/min, medan de 15.9%15.9 \,\% med högst maxpuls har en puls på över 196196 slag/min. Vad kan man förvänta sig att den genomsnittliga maxpulsen är för en 3535-åring?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En maskin tillverkar stearinljus. Ljusens längder är normalfördelade med en standardavvikelse på 22 mm. Vad kan medelvärdet för stearinljusens längder vara om ca 82%82 \, \% av ljusen har en längd som ligger mellan 275275 mm och 281281 mm?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag som tillverkar müsli väger 10001000 förpackningar i en undersökning. Vikten visar sig vara normalfördelad runt medelvärdet 380380 gram med en standardavvikelse på 2020 g.

Normalfördelningskurva med medelvärde 380 och standardavvikelse 20

I deras marknadsföring lovar de dock att paketen ska innehålla 400400 g. De vidtar åtgärder och efter ett år har medelvikten ökat till 400400 g, och standardavvikelsen minskat till 1010 g. Rita av kurvan ovan och skissa hur den nya normalfördelningskurvan ser ut i jämförelse.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Maria ska lära ut hur normalfördelningar funkar och mäter därför längden på skolans elever. Hon sammanställer resultatet i två diagram, ett som beskriver killars längd och ett som beskriver tjejers.

Normalfördelning som visar killars och tjejers längd


a

Beskriv hur längderna för killarna och tjejerna skiljer sig åt.

b

Torvald och Tindra går i samma klass. Hur sannolikt är det att Torvald är kortare än 188188 cm samtidigt som Tindra är längre än 174174 cm?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag fyller konservburkar med krossade tomater. Enligt märkningen innehåller en burk 400400 g tomater. Tomaternas vikt är normalfördelad kring medelvärdet 395395 g och standardavvikelsen är 5.05.0 g.

NP-tomater.svg


a

Hur många procent av konservburkarna kan förväntas innehålla mindre än de 400400 g som anges på burken?

b

Företaget vill inte ha för många missnöjda kunder och tänker därför fylla konservburkarna lite mer. De ändrar kravet till att minst 97.7%97.7 \, \% av burkarna ska innehålla minst 400400 g tomater. Standardavvikelsen antas fortfarande vara 5.05.0 g. Beräkna vilket medelvärde på vikten som motsvarar detta nya krav.

Nationella provet VT12 2c/2b
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Carl Friedrich har samlat in en stor mängd data om medellivslängden i en viss stad i Tyskland. Han antar att åldrarna är normalfördelade, så han gör ett antal beräkningar och skissar upp en modell.

Normalfördelning med felaktiga värden

Carl Friedrich visar figuren för sin vän John Tukey och förklarar hur han har tänkt. John tittar igenom siffrorna i figuren och kommer fram till att de stämmer, men han säger ändå att Carl Friedrich har tänkt fel.


a

Hur har Carl Friedrich tänkt fel?

b

Med hjälp av de värden du känner till, hjälp Carl Friedrich att visualisera sin data på något annat sätt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Lennart ska mönstra genomgår han ett styrkeprov. Lennart lyckas göra 5050 armhävningar och blir väldigt nöjd eftersom testet är normalfördelat runt medelvärdet 3838 st. med en standardavvikelse på 7.7. När hans bror Robert mönstrar året därpå har styrketestet förändrats. Robert får göra enarmade armhävningar och lyckas göra 77 stycken. Vem av Lennart och Robert har lyckats bäst om du vet att det nya testet är normalfördelat runt medelvärdet 55 st. med en standardavvikelse på 1?1?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Livslängden på en viss sorts vinglas är normalfördelat med ett medelvärde på 22 år och en standardavvikelse på 77 månader. En restaurang har precis köpt in 628628 nya vinglas. De köper fler vinglas när 100100 av dessa har gått sönder. Uppskatta hur många månader det tar innan restaurangen behöver köpa nya glas.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mauricio har köpt 4040 potatisar på ICA som han har vägt. Resultaten presenteras i gram.

104167165173171150156193175162199153158155165105174174176174183180169154186164161100176101199187195187151158166175156187\begin{aligned} & 104 \quad \phantom{1}67 \quad \phantom{1}65 \quad \phantom{1}73 \quad \phantom{1}71 \\ & \phantom{1}50 \quad \phantom{1}56 \quad \phantom{1}93 \quad \phantom{1}75 \quad \phantom{1}62 \\ & \phantom{1}99 \quad \phantom{1}53 \quad \phantom{1}58 \quad \phantom{1}55 \quad \phantom{1}65 \\ & 105 \quad \phantom{1}74 \quad \phantom{1}74 \quad \phantom{1}76 \quad \phantom{1}74 \\ & \phantom{1}83 \quad \phantom{1}80 \quad \phantom{1}69 \quad \phantom{1}54 \quad \phantom{1}86 \\ & \phantom{1}64 \quad \phantom{1}61 \quad 100 \quad \phantom{1}76 \quad 101 \\ & \phantom{1}99 \quad \phantom{1}87 \quad \phantom{1}95 \quad \phantom{1}87 \quad \phantom{1}51 \\ & \phantom{1}58 \quad \phantom{1}66 \quad \phantom{1}75 \quad \phantom{1}56 \quad \phantom{1}87 \\ \end{aligned}


a

Är vikterna på potatisarna normalfördelade? Motivera ditt svar.

b

Vad kan det bero på?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I Sverige bor ca 1010 miljoner människor och intelligenskvoten (IQ) är normalfördelad med medelvärdet 100100 och standardavvikelsen 15.15. I kommunen Intelligensia med 150000150\,000 invånare, är däremot intelligenskvoten normalfördelad med medelvärdet 115.115. Standardavvikelsen är samma som för hela Sverige. Hur stor andel av Sveriges befolkning med IQ över 130130 kan man förvänta sig bor i Intelligensia?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

ID2544NoText.svg

Vid ett experiment släpptes 14781478 kulor ner i en Galtonbräda med 1616 fack. I fack 66 hamnade 136136 kulor, i fack 77 hamnade 223223 kulor och i fack 88 hamnade 281281 kulor.

Hur många kulor bör ha hamnat i fack 5?5?

Nationella provet VT15 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}