Ett tal kan bestå av en eller flera siffror. Genom att kombinera dessa siffror kan vi skapa en mängd olika tal. Till exempel kan siffran 5 användas för att skriva talen 5 och 555, men även tal i decimalform som 5,55.

Beroende på siffrans plats, eller position, i talet har siffran olika värde. Vi säger att siffrans platsvärde beror på dess position i talet. I talet 9 542 står till exempel 9 på tusentalsplatsen och har då värdet 9 000.

Om vi tittar på alla siffrors platsvärden i talet 9 542 ser det ut så här:

9 542 = 9 000 + 500 + 40 + 2

När ett tal uttrycks som en summa av sina platsvärden, sägs det vara skrivet i utvecklad form. När vi adderar alla siffrornas platsvärden får vi talets totala värde.

Teori

Olika typer av tal

Talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... kallas för naturliga tal. De naturliga talen kan delas in i olika grupper. En vanlig indelning är i jämna tal och udda tal. De jämna talen är jämnt delbara med 2 och de udda talen är inte det.

Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och som bara kan delas jämnt med 1 och sig själv. De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Alla naturliga tal som inte är primtal kallas för sammansatta tal. Dessa kan alltid uttryckas som en produkt av primtalsfaktorer. Ta till exempel talet 42. Det kan faktoriseras som 2 * 3 * 7.

Naturliga tal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
Jämma tal	0		2		4		6		8		10		...
Udda tal		1		3		5		7		9		11	...
Primtal			2	3		5		7				11	...
Sammansatta tal					4		6		8	9	10		...

Observera att talen 0 och 1 varken är primtal eller sammansatta tal.

Teori

Faktorträd

När vi ska hitta primtalsfaktorerna till sammansatta tal, kan vi använda så kallade faktorträd. Med ett faktorträd kan vi dela upp talet i mindre faktorer, steg för steg, ända tills vi når primtalsfaktorerna.

Ta till exempel talet 36.

Vi börjar med att dela 36 med 2, eftersom 36 är ett jämnt tal, vilket är lika med 18.
Sedan delar vi 18 med 2 igen, vilket är lika med 9.
Nu är 9 inte längre delbart med 2, utan vi provar istället nästa primtal, som är 3. 9 dividerat med 3 är lika med 3. Eftersom 3 är ett primtal kommer vi inte längre.

Alltså kan vi skriva talet 36 som 2 * 2 * 3 * 3.

Teori

Delbarhet

När vi säger att ett tal är delbart med ett annat tal, menar vi att divisionen går jämnt ut utan någon rest. Till exempel är talet 18 delbart med 3 och 6, eftersom 18/3 = 6 och 18/6 = 3, utan att det blir någon rest. För att lättare kunna avgöra om ett tal är delbart med ett annat, finns det några användbara delbarhetsregler. Dessa regler hjälper oss att snabbt se om ett tal kan delas jämnt med exempelvis 2, 3, 4 eller 5.

Delbart med...	Regel	Till exempel
2	Om den sista siffran i talet är jämn (det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8).	Talet 7 4 är delbart med 2 eftersom sista siffran är 4, som är ett jämnt tal.
3	Om summan av talets siffror är delbart med 3.	Talet 345 är delbart med 3, eftersom summan av siffrorna är 3+4+5=12, som är delbart med 3.
4	Om de två sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 4.	Talet 7 16 är delbart med 4 eftersom talet som bildas av de två sista siffrorna, 16, är delbart med 4.
5	Om den sista siffran i talet antingen är 0 eller 5.	Talet 36 5 är delbart med 5, eftersom den sista siffran i talet är 5.

Illustration

En algoritm för att hitta primtal

Den grekiska matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta alla primtal upp till ett visst tal. Metoden går ut på att ta bort multiplar av varje primtal, eftersom multiplarna inte är primtal. De tal som till sist blir kvar är primtal. Följ metoden för att hitta alla primtal mellan 1 och 100:

Eratosthenes algoritm för att hitta primtal

Det finns alltså 25 primtal mellan 1 och 100.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Exempel

Från ord till siffror

Skriv trettiotvåtusen åttahundra sju med siffror.

Trettiotvåtusen åttahundra sju

Trettiotvåtusen = 32  000

Åttahundra = 800

Sju = 7

32 807

Eftersom det inte finns några angivna tiotal, skriver du en nolla på tiotalspositionen.

Svar: Talet är 32 807.

Exempel

Skriva tal i utvecklad form

Skriv 6 065 i utvecklad form.

6 065

Beräkna platsvärdet för varje siffra.
Tusental: 6 * 1 000 = 6 000

Hundratal: 0 * 100 = 0

Tiotal: 6 * 10 = 60

Ental: 5 * 1 = 5

6 065 = 6 000 + 60 + 5

Eftersom det finns 0 hundratal behöver du inte ta med hundratalen när du skriver talet i utvecklad form.

Svar: 6 065 = 6 000 + 60 + 5

Exempel

Bilda tal

Använd siffrorna 0, 3, 4, 8 och 9 och bilda det jämna tal som är så nära 40 000 som möjligt.

40 398

Börja med att bilda ett tal som är lite större än 40 000 genom att först placera 4 i tiotusen-positionen. Sedan placerar du de övriga siffrorna i en ordning så att du får ett jämnt tal så nära 40 000 som möjligt. Talet 40 389 är ännu mindre, men är inte ett jämnt tal.

39 840

Testa nu istället att bilda ett tal som är mindre än 40 000. Börja då med att placera 3 i tiotusen-positionen och därefter placerar du siffrorna i storleksordning så att talet blir så stort som möjligt.

40 000 - 39 840 = 160 ✓
40 398 - 40 000 = 398 *

39 840 är närmare 40 000 än 40 398 är.

Svar: Talet är 39 840 är närmast 40 000.

Övning

Bilda det närmaste talet

Övning

Primtal, sammansatta tal och delbarhetsregler

Använd dina kunskaper om delbarhetsregler för att svara på frågan.

Ett tal mellan 2 och 100 visas och frågar om det är delbart med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 eller 10.

Övning

Primtalsfaktoriseringen av tal

Skriv primtalsfaktorisering av talet.

Använd asterisk tecknet (∗) på tangentbordet för att skriva multiplikationstecknet.

Slumpmässiga tal som ska primtalsfaktoriseras

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Naturliga tal Åk 7

Uppgift 3.1

Skriv talen med siffror.

tre fjärdedels miljon

en miljard och två miljoner

<row> <cell left="true" role="sol"> tre fjärdedels miljon </cell> <cell right="true" role="exp"> miljon=1 000 000
tre fjärdedels=3/4 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3/4 * 1 000 000 = 750 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> En fjärdedel av en miljon är 250 000.För att ta reda på vad tre fjärdedelar blir, multiplicerar du: 3* 250 000 =750 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> en miljard och två miljoner </cell> <cell right="true" role="exp"> en miljard = 1 000 000 000
två miljoner = 2 000 000 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 000 000 000+2 000 000 = 1 002 000 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla dem alla. </cell> </row>

Vilka tal saknas i faktoriseringsträden?

100 / \ 2 x / \ 2 y / \ z z

196 / \ 2 x / \ 2 y / \ z z

<row> <cell left="true" role="sol"> x = .100 /2.=50 </cell> <cell right="true" role="exp"> I faktoriseringsträdet delas 100 upp i två delar: 2 och x. När man delar 100 med 2 får man 50, alltså är x = 50. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = .50 /2. = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> I nästa steg delas 50 med 2, och resultatet blir y. Alltså är y = 50/2 = 25. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 25 = 5 * 5 = z * z
z =5 </cell> <cell right="true" role="exp"> I det sista steget i faktorträdet faktoriseras 25 till två lika primtal. Båda är 5 eftersom 5 * 5 = 25. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = .196 /2.=98 </cell> <cell right="true" role="exp"> När man delar 196 med 2 får man 98, alltså är x = 98. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = .98 /2. = 49 </cell> <cell right="true" role="exp"> 98 dividerat med 2 är 49. Så, y=49. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 49= 7 * 7 = z * z
z =7 </cell> <cell right="true" role="exp"> I det sista steget i faktorträdet faktoriseras 49 till två lika primtal, och båda är 7 eftersom 7 * 7 = 49. </cell> </row>

Välj den korrekta primtalsfaktoriseringen av varje tal.

294

1 170

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Börja med att rita ett faktorträd för 294. Eftersom talet är jämnt delas det med 2: 294/2 = 147. 147 är inte delbart med 2, men summan av siffrorna 1+4+7=12 visar att det går att dela med 3: 147/3 = 49. 49 delas med 7: 49/7 = 7. Eftersom alla faktorer är primtal är faktorträdet klart. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Börja med att rita ett faktorträd för 1 170. Eftersom det är jämnt delas det med 2 och blir 585. Nästa primtal som går jämnt upp i 585 är 3, och 585/3 = 195. Dela 195 med 3 igen: 195/3 = 65. Slutligen delas 65 med 5 och blir 13. Eftersom 13 är ett primtal är faktorträdet klart, och alla tal 2, 3, 3, 5 och 13 är primtal. </cell> </row>

Två primtal som skiljs åt med exakt två kallas för primtalstvillingar. Vilka är de tre sista primtalstvillingarna som består av tvåsiffriga tal?

<row> <cell left="true" role="sol"> 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lista alla tvåsiffriga primtal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 11 och 13 är primtvillingar eftersom 13 - 11 = 2.
17 och 19är primtvillingar eftersom 19 - 17 = 2.
29 och 31är primtvillingar eftersom 31 - 29 = 2.
41 och 43är primtvillingar eftersom 43 - 41 = 2.
59 och 61 är primtvillingar eftersom 61 - 59 = 2.
71 och 73 är primtvillingar eftersom 73 - 71 = 2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Leta efter primtvillingar, vilka är två primtal som har en differens på 2. Till exempel är 11 och 13 primtvillingar eftersom 13 −11 = 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> De sista tre primtalstvillingarna med tvåsiffriga tal är (41, 43), (59, 61), och (71, 73). </cell> </row>

År 1742 sa matematikern Christian Goldbach att alla jämna tal som är större än 2 kan skrivas som summan av två primtal. Till exempel:

10 = 3 + 7 (både 3 och 7 är primtal)
18 = 7 + 11 (både 7 och 11 är primtal)

Visa att Goldbachs idé också fungerar för dessa tal. Skriv svaret som summan av två primtal.

<row> <cell left="true" role="sol"> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att lista primtal mindre än 36. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 + 31 =36 ✓
7 + 29 =36 ✓
13 + 23=36 ✓
17 + 19=36 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Försök att lägga till olika par från den listan och se vilka som ger 36.
Det finns fyra olika sätt att skriva 36 som summan av två primtal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att lista primtal mindre än 52. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5 +47=52 ✓
11+41=52 ✓
23+29=52 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Försök att lägga till olika par från den listan och se vilka som ger 52.
Det finns tre olika sätt att skriva 52 som summan av två primtal, så Goldbachs idé fungerar för 52. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att lista primtal mindre än 64. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3+61=64 ✓
5+59=64 ✓
17+47=52 ✓
23+41=64 ✓

</cell> <cell right="true" role="exp"> Testa att kombinera olika primtal från listan och se vilka som ger summan 64.
Det finns fyra olika par av primtal som fungerar, så Goldbachs idé stämmer för 64. </cell> </row>

Bestäm de tre olika primtalen som har följande egenskaper:

E är störst och G är minst
E + F + G = 25
E - F - G = 9

<row> <cell left="true" role="sol"> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lista primtalen som är mindre än 25 eftersom summan av de tre olika primtalen är 25. Du kan hitta talen genom att eliminera alternativ. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> E = 23 *
E + F + G = 23 + F + G_2 = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Inga två primtal kan summera till 2, så detta fungerar inte. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> E = 19 *
E + F + G = 19 + F + G_6 = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Primtalet som kommer före 23 på listan är 19.
Enda primtalen som summerar till 6 är 3 + 3, men talen måste vara olika, så detta fungerar inte. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> E = 17 ✓
E + F + G = 17 + F + G_8 = 25
E+F+G = 17+5+3 = 25 ✓
E-F-G =17-5-3 = 9 ✓

</cell> <cell right="true" role="exp"> Primtal som summerar till 8 är 5 och 3.
Eftersom G är minst måste G vara 3. Då är F lika med 5. Detta fungerar. </cell> </row>

Varje sida i en tidning är numrerad. Totalt används 228 siffror till alla sidnummer.

Hur många sidor har tidningen?

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal siffror som används: 228 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal siffror till ensiffriga sidor: 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Det finns 9 ensiffriga sidor (1--9) som använder 1 siffra vardera, så det finns 9 siffror till ensiffriga sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal siffror till tvåsiffriga sidor: 2 * 90 = 180 </cell> <cell right="true" role="exp"> Det finns 90 tvåsiffriga sidor (10--99) som använder 2 siffror vardera, så det finns 90 * 2 = 180 siffror till tvåsiffriga sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 228-9-180 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Det totala antalet siffror som har använts hittills är 180 + 9 = 189. För att komma upp i 228 siffror behövs det 228 - 189 = 39 siffror till tresiffriga sidor. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal siffror för tresiffriga sidor: 39/3=13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera 39 med 3 för att hitta antalet tresiffriga sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (9 + 90 + 13)sidor = </cell> <cell right="true" role="exp"> Slutligen, lägg till antalet sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 112sidor </cell> <cell right="true" role="exp">

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Tidningen har alltså 112 sidor. </cell> </row>

Talen 702, 8 874 och 18 225 är alla delbara med 9. Men det är inte till exempel talen 4 351 och 10 438. Försök formulera en regel som gäller för tal som är delbara med 9.

<row> <cell left="true" role="sol"> 702 är delbart med 9.
8 874 är delbart med 9.
18 225 är delbart med 9.
4 351 är inte delbart med 9.
10 438 är inte delbart med 9. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 702: 7 + 0 + 2 = 9
8 874: 8 + 8 + 7 + 4 = 27
18 225: 1 + 8 + 2 + 2 + 5 = 18
4 351: 4 + 3 + 5 + 1 = 13
10 438: 1 + 0 + 4 + 3 + 8 = 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Den sista siffran ger ingen information om delbarhet med 9. I stället kan siffrorna adderas för att se om ett mönster framträder. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> För de tre första talen är summan av siffrorna 9, 27 och 18, vilket är delbart med 9.
För de två andra talen är summan av siffrorna 13 och 16, vilket inte är delbart med 9. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beskriv mönstret du hittade. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ett tal är delbart med 9 om siffersumman är delbar med 9. </cell> </row>

Naturliga tal Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan