Ett tal kan bestå av en eller flera siffror. Genom att kombinera dessa siffror kan vi skapa en mängd olika tal. Till exempel kan siffran 5 användas för att skriva talen 5 och 555, men även tal i decimalform som 5,55.

Beroende på siffrans plats, eller position, i talet har siffran olika värde. Vi säger att siffrans platsvärde beror på dess position i talet. I talet 9 542 står till exempel 9 på tusentalsplatsen och har då värdet 9 000.

Om vi tittar på alla siffrors platsvärden i talet 9 542 ser det ut så här:

9 542 = 9 000 + 500 + 40 + 2

När ett tal uttrycks som en summa av sina platsvärden, sägs det vara skrivet i utvecklad form. När vi adderar alla siffrornas platsvärden får vi talets totala värde.

Teori

Olika typer av tal

Talen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... kallas för naturliga tal. De naturliga talen kan delas in i olika grupper. En vanlig indelning är i jämna tal och udda tal. De jämna talen är jämnt delbara med 2 och de udda talen är inte det.

Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och som bara kan delas jämnt med 1 och sig själv. De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Alla naturliga tal som inte är primtal kallas för sammansatta tal. Dessa kan alltid uttryckas som en produkt av primtalsfaktorer. Ta till exempel talet 42. Det kan faktoriseras som 2 * 3 * 7.

Naturliga tal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
Jämma tal	0		2		4		6		8		10		...
Udda tal		1		3		5		7		9		11	...
Primtal			2	3		5		7				11	...
Sammansatta tal					4		6		8	9	10		...

Observera att talen 0 och 1 varken är primtal eller sammansatta tal.

Teori

Faktorträd

När vi ska hitta primtalsfaktorerna till sammansatta tal, kan vi använda så kallade faktorträd. Med ett faktorträd kan vi dela upp talet i mindre faktorer, steg för steg, ända tills vi når primtalsfaktorerna.

Ta till exempel talet 36.

Vi börjar med att dela 36 med 2, eftersom 36 är ett jämnt tal, vilket är lika med 18.
Sedan delar vi 18 med 2 igen, vilket är lika med 9.
Nu är 9 inte längre delbart med 2, utan vi provar istället nästa primtal, som är 3. 9 dividerat med 3 är lika med 3. Eftersom 3 är ett primtal kommer vi inte längre.

Alltså kan vi skriva talet 36 som 2 * 2 * 3 * 3.

Teori

Delbarhet

När vi säger att ett tal är delbart med ett annat tal, menar vi att divisionen går jämnt ut utan någon rest. Till exempel är talet 18 delbart med 3 och 6, eftersom 18/3 = 6 och 18/6 = 3, utan att det blir någon rest. För att lättare kunna avgöra om ett tal är delbart med ett annat, finns det några användbara delbarhetsregler. Dessa regler hjälper oss att snabbt se om ett tal kan delas jämnt med exempelvis 2, 3, 4 eller 5.

Delbart med...	Regel	Till exempel
2	Om den sista siffran i talet är jämn (det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8).	Talet 7 4 är delbart med 2 eftersom sista siffran är 4, som är ett jämnt tal.
3	Om summan av talets siffror är delbart med 3.	Talet 345 är delbart med 3, eftersom summan av siffrorna är 3+4+5=12, som är delbart med 3.
4	Om de två sista siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med 4.	Talet 7 16 är delbart med 4 eftersom talet som bildas av de två sista siffrorna, 16, är delbart med 4.
5	Om den sista siffran i talet antingen är 0 eller 5.	Talet 36 5 är delbart med 5, eftersom den sista siffran i talet är 5.

Illustration

En algoritm för att hitta primtal

Den grekiska matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta alla primtal upp till ett visst tal. Metoden går ut på att ta bort multiplar av varje primtal, eftersom multiplarna inte är primtal. De tal som till sist blir kvar är primtal. Följ metoden för att hitta alla primtal mellan 1 och 100:

Eratosthenes algoritm för att hitta primtal

Det finns alltså 25 primtal mellan 1 och 100.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Exempel

Från ord till siffror

Skriv trettiotvåtusen åttahundra sju med siffror.

Trettiotvåtusen åttahundra sju

Trettiotvåtusen = 32  000

Åttahundra = 800

Sju = 7

32 807

Eftersom det inte finns några angivna tiotal, skriver du en nolla på tiotalspositionen.

Svar: Talet är 32 807.

Exempel

Skriva tal i utvecklad form

Skriv 6 065 i utvecklad form.

6 065

Beräkna platsvärdet för varje siffra.
Tusental: 6 * 1 000 = 6 000

Hundratal: 0 * 100 = 0

Tiotal: 6 * 10 = 60

Ental: 5 * 1 = 5

6 065 = 6 000 + 60 + 5

Eftersom det finns 0 hundratal behöver du inte ta med hundratalen när du skriver talet i utvecklad form.

Svar: 6 065 = 6 000 + 60 + 5

Exempel

Bilda tal

Använd siffrorna 0, 3, 4, 8 och 9 och bilda det jämna tal som är så nära 40 000 som möjligt.

40 398

Börja med att bilda ett tal som är lite större än 40 000 genom att först placera 4 i tiotusen-positionen. Sedan placerar du de övriga siffrorna i en ordning så att du får ett jämnt tal så nära 40 000 som möjligt. Talet 40 389 är ännu mindre, men är inte ett jämnt tal.

39 840

Testa nu istället att bilda ett tal som är mindre än 40 000. Börja då med att placera 3 i tiotusen-positionen och därefter placerar du siffrorna i storleksordning så att talet blir så stort som möjligt.

40 000 - 39 840 = 160 ✓
40 398 - 40 000 = 398 *

39 840 är närmare 40 000 än 40 398 är.

Svar: Talet är 39 840 är närmast 40 000.

Övning

Bilda det närmaste talet

Övning

Primtal, sammansatta tal och delbarhetsregler

Använd dina kunskaper om delbarhetsregler för att svara på frågan.

Ett tal mellan 2 och 100 visas och frågar om det är delbart med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 eller 10.

Övning

Primtalsfaktoriseringen av tal

Skriv primtalsfaktorisering av talet.

Använd asterisk tecknet (∗) på tangentbordet för att skriva multiplikationstecknet.

Slumpmässiga tal som ska primtalsfaktoriseras

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Naturliga tal Åk 7

Uppgift 2.1

Skriv talen med siffror.

fyrtiotretusen åttiotre

etthundratrettiotusen niohundratjugosju

<row> <cell left="true" role="sol"> fyrtiotretusen åttiotre </cell> <cell right="true" role="exp"> Fyrtiotretusen = 43 000
Åttiotre = 83 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 43 083 </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu lägger du bara ihop dem alla:
43 000 + 83= 43 083 </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Talet är 43 083. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> etthundratrettiotusen niohundratjugosju </cell> <cell right="true" role="exp"> Etthundratrettiotusen = 130 000
Niohundratjugosju =927 </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Talet är 130 927. </cell> </row>

Para ihop platsvärdet med siffran som har det platsvärdet.

</cell>

</row>

<row> <cell role="exp"> Eftersom det största talet har sex siffror, rita ett diagram som visar platsvärden upp till hundratusentalet. Placera de fyra givna talen i detta diagram. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Siffran 9 i talet 1 03 9 har platsvärdet 9.
Siffran 1 i talet 93  114 har platsvärdet 100.
Siffran 7 i talet 7 763 har platsvärdet 7 000.
Siffran 3 i talet 591 300 har platsvärdet 300. </cell> <cell right="true" role="exp"> Diagrammet gör det enklare att se vilken siffra som hör till vilket platsvärde. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:

Tal	Platsvärde
1 039	9
93 114	100
7 763	7 000
591 300	300

</cell> </row>

Ali har bråttom och låser sin nya telefon utan att komma ihåg att skriva ner lösenordet han just gjorde!

För ett ögonblick drabbas han av panik. Som tur är skrev han faktiskt en anteckning när han gjorde lösenordet. Enligt anteckningen är lösenordet till telefonen det udda talet närmast 600 000, om man använder siffrorna nedan. Ali tar ett djupt andetag och går igenom siffrorna han kan använda för att bilda talet.

0 2 5 6 7 9

Vad är lösenordet till Alis telefon?

<row> <cell left="true" role="sol"> Givna siffror: 0, 2, 5, 6, 7 och 9
Mål: Bilda ett udda tal som är närmast 600 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att skapa ett 6-siffrigt tal nära 600 000 är det lämpligt att sätta 6 i hundratusentalets plats. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 2 5 7 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att få talet så litet som möjligt kan man placera de återstående siffrorna i stigande ordning direkt efter 6, det vill säga 0, 2, 5, 7, 9. Observera också att den sista siffran är udda. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Lösenordet till Alis telefon är 602 579. </cell> </row>

Vilka av talen är delbara med 3?

Vilka av talen är delbara med 4?

<row> <cell left="true" role="sol"> 87 är delbart med 3 eftersom siffrornas summa är 8+7=15.
124 är inte delbart med 3 eftersom siffrornas summa är 1+2+4=7.
156 är delbart med 3 eftersom siffrornas summa är 1+5+6=12.
219 är delbart med 3 eftersom siffrornas summa är 2+1+9=12.
308 är inte delbart med 3 eftersom siffrornas summa är 3+0+8=11. </cell> <cell right="true" role="exp"> Ett tal är delbart med 3 om summan av dess siffror är delbar med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 87: de två sista siffrorna är 87. Eftersom 87/4 = 21 rest 3 är det inte delbart.
124: de två sista siffrorna är 24. Eftersom 24/ 4 = 6 utan rest är det delbart.
156: de två sista siffrorna är 56. Eftersom 56/4 = 14 utan rest är det delbart.
219: de två sista siffrorna är 19. Eftersom 19/ 4 = 4 rest 3 är det inte delbart.
308: de två sista siffrorna är 08. Eftersom 8/ 4 = 2 utan rest är det delbart. </cell> <cell right="true" role="exp"> Ett tal är delbart med 4 om de två sista siffrorna bildar ett tal som är delbart med 4. </cell> </row> <row> <cell role="sol"> Svar: 87, 156 och 219 </cell> </row>

Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?

<row> <cell left="true" role="sol"> 99 är inte ett primtal eftersom det kan delas med andra tal än 1 och sig självt, till exempel 3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med det största tvåsiffriga talet, 99. Det är inte ett primtal eftersom 99 är delbart med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 98 är inte ett primtal eftersom det är ett jämnt tal. </cell> <cell right="true" role="exp"> Nästa tal är 98. Det är inte ett primtal eftersom det är delbart med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 97 har bara två faktorer, 1 och 97, så det är ett primtal. </cell> <cell right="true" role="exp"> Inga andra naturliga tal delar 97 utan rest. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det största tvåsiffriga primtalet är 97. </cell> </row>

Det tresiffriga talet nedan har 3 som en faktor. 3 5 Vad kan den okända siffran vara?

<row> <cell left="true" role="sol"> Tresiffrigt tal: 3 5
Det är delbart med 3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3+ + 5 = 8 + </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom talet är delbart med 3 måste summan av dess siffror vara delbar med 3. </cell> </row>

Okänd siffra	Summa	Är summan delbar med 3?
0	8+ 0=8	Nej
1	8+ 1=9	Ja
2	8+ 2=10	Nej
3	8+ 3=11	Nej
4	8+ 4=12	Ja
5	8+ 5=13	Nej
6	8+ 6=14	Nej
7	8+ 7=15	Ja
8	8+ 8=16	Nej
9	8+ 9=17	Nej

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Undersök vilka tal som gör summan delbar med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Talen 3 15, 3 45 och 3 75 är alla delbara med 3. </cell> </row>

Välj den korrekta primtalsfaktoriseringen av varje tal.

150

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Börja med att rita ett faktorträd för 84. Eftersom det är jämnt delas det med 2 och blir 42, som delas med 2 igen och blir 21. Nästa primtal är 3, och 21/3 = 7. Eftersom 7 är ett primtal är faktorträdet klart, och alla tal 2, 2, 3 och 7 är primtal. </cell> </row>

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Börja med att rita ett faktorträd för 150. Eftersom det är jämnt delas det med 2 och blir 75. Nästa primtal som går jämnt upp i 75 är 3, och 75/3 = 25. Slutligen delas 25 med 5 två gånger: 25/5 = 5. Eftersom 5 är ett primtal är faktorträdet klart, och alla tal 2, 3, 5 och 5 är primtal. </cell> </row>

I en idrottsklubb finns det 24 medlemmar. Klubben vill dela in medlemmarna i lag för att spela ett lagspel. Varje lag ska ha lika många medlemmar, och alla ska vara med. Det ska dessutom bli minst tre lag. På hur många olika sätt kan klubben delas in i sådana lag?

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal medlemmar: 24
Alla ska vara med i ett lag.
Alla lag ska ha lika många medlemmar.
Det ska vara minst 3 lag. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Tal som delar 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Att dela ett tal i lika stora grupper betyder att man utför division. Till exempel kan man göra en grupp med 24 eller två grupper med 12. Börja med att lista alla delare av 24. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Möjligt antal lag:
3, 4, 6, 8, 12, 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Uteslut fallen med 1 lag och 2 lag, eftersom det måste finnas minst 3 lag. I det här fallet kan lagen bildas på 6 olika sätt. Till exempel 3 lag med 8 spelare vardera eller 24 lag med 1 spelare vardera. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klubben kan delas in på 6 olika sätt med de givna förutsättningarna. </cell> </row>

Naturliga tal Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan