Uppgifter
Logga in
Använd potensregeln för att hitta en primitiv funktion till 3x^2. Tillämpa sedan analysens huvudsats för att beräkna den bestämda integralen.
7
För att beräkna integralen ∫_1^2 3x^2dx algebraiskt behöver vi först bestämma en primitiv funktion till integranden 3x^2. En primitiv funktion till 3x^2 kan hittas med hjälp av potensregeln för integration.
∫ x^n dx = x^(n+1)/n+1 + C för n ≠ -1
Eftersom konstanter kan flyttas ut ur integralen skriver vi:
∫ 3x^2 dx = 3 * ∫ x^2 dx
Tillämpa potensregeln på x^2:
3 * ∫ x^2 dx = 3 * x^(2+1)/2+1 = 3 * x^3/3 = x^3
Alltså är en primitiv funktion till 3x^2 lika med x^3 + C. Nu kan vi beräkna den bestämda integralen från 1 till 2 med hjälp av analysens huvudsats:
∫_1^2 3x^2dx = F(2) - F(1)
där F(x) = x^3. Beräkna:
F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7
Integralen har värdet 7.