Uppgift 16

Vi kommer att behandla varje del av denna övning en i taget, med början med en liksidig triangel.

Liksidig triangel

Betrakta den givna figuren.

En liksidig triangel har tre lika inre vinklar, var och en mäter 60^(∘). Den yttre vinkeln vid varje hörn är sidovinklar till den inre vinkeln vid det hörnet. Detta betyder att de tillsammans summerar till 180^(∘). 60^(∘) + v = 180^(∘) ⇓ v=120^(∘) Eftersom varje yttre vinkel i den liksidiga triangeln har samma mått, är summan av de tre yttre vinklarna 3 * 120^(∘) = 360^(∘)

Kvadrat

Därefter, betrakta den givna kvadraten.

Vi ombeds att hitta summan av de yttre vinklarna i en kvadrat. En kvadrat har fyra hörn, och vid varje hörn kan vi rita en yttre vinkel. En inre vinkel i en kvadrat är en rät vinkel och den bildar ett sidovinklar par med vinkeln u. 90^(∘) + u = 180^(∘) ⇓ u=90^(∘) Eftersom varje yttre vinkel i en kvadrat har samma mått, är summan av de fyra yttre vinklarna 4 * 90^(∘) = 360^(∘) Märk att detta är samma svar som för den liksidiga triangeln. Detta beror på att summan av de yttre vinklarna för vilken polygon som helst alltid är 360^(∘). Vi kommer att förklara anledningen bakom detta faktum i nästa avsnitt.

Femhörning

Undersök hur pennan roterar vid varje hörn när den ritar de yttre vinklarna.

När pennan skjuts längs en sida och sedan svängs vid varje hörn så att den alltid pekar längs nästa sida, utför pennan exakt ett helt varv totalt. Ett komplett varv är 360^(∘). Därmed summerar femhörnings fem yttre vinklar till 360^(∘). I en regelbunden polygon är alla yttre vinklar kongruenta. En femhörning har fem hörn, så vi hittar måttet på en yttre vinkel genom att dividera med 5. 360^(∘)/5=72^(∘) Alltså mäter en yttre vinkel 72^(∘). En inre vinkel och dess intilliggande yttre vinkel är sidovinklar. Om vi låter en inre vinkel vara lika med x, kan vi skriva följande ekvation. x+72^(∘)=180^(∘) ⇓ x=108^(∘) Därför är en inre vinkel i en regelbunden femhörning 108^(∘).

Valfri regelbunden polygon

För varje regelbunden polygon gör pennan fortfarande ett komplett varv, så summan av de yttre vinklarna är alltid 360^(∘). Om polygonen har n sidor, är varje yttre vinkel 360^(∘)/n Därför kan varje inre vinkel x hittas genom att lösa följande ekvation för x.

Dessa formler relaterar de inre och yttre vinklarna för vilken regelbunden polygon som helst.