Uppgift 15

Vi kommer att analysera fallen när sidorna av kvadraten är indelade i 3, 4 och 5 lika stora sektioner en efter en. Sedan kommer vi att betrakta det allmänna fallet när antalet lika stora sektioner är n. Slutligen kommer vi att lösa problemet som ges i den sista delen av uppgiften.

En kvadrat med sidor indelade i 3 lika stora sektioner

Låt oss betrakta den första figuren.

Det finns en kvadrat med sidor indelade i 3 lika stora sektioner. De markerade hörnen är bortklippta. Vi blir ombedda att bestämma vilken andel av kvadratens area som är bortklippt. För att göra detta, låt oss använda den givna indelningen av sidorna för att dela in kvadraten i ett rutnät.

Kvadraten har delats in i 3* 3 identiska kvadrater. Arean som är bortklippt representeras av 4 identiska trianglar. Observera att 2 av dessa trianglar passar perfekt in i en liten kvadrat.

Därför passar de 4 trianglarna perfekt in i 2 av 3* 3 kvadrater. Detta innebär att arean som är bortklippt är 2/3* 3 eller 2/9 av kvadratens area.

En kvadrat med sidor indelade i 4 lika stora sektioner

Låt oss sedan analysera situationen när sidorna av en kvadrat är indelade i 4 lika stora sektioner.

Återigen består arean som är bortklippt av 4 identiska trianglar. Som vi gjorde tidigare kan vi använda den givna indelningen av sidorna för att dela in kvadraten i ett rutnät.

Kvadraten har delats in i 4* 4 identiska kvadrater. De 4 trianglarna passar perfekt in i 2 av 4* 4 kvadrater. Detta innebär att arean som är bortklippt är 2/4* 4 eller 2/16 av kvadratens area.

En kvadrat med sidor indelade i 5 lika stora sektioner

Låt oss nu betrakta fallet när sidorna av en kvadrat är indelade i 5 lika stora sektioner.

Återigen kan vi använda den givna indelningen av sidorna för att dela in kvadraten i ett rutnät.

Kvadraten har delats in i 5* 5 identiska kvadrater. Liksom tidigare passar arean som är bortklippt perfekt in i 2 små kvadrater. Därför är det 2/5* 5 eller 2/25 av kvadratens area.

En kvadrat med sidor indelade i n lika stora sektioner

Vi kan använda våra resultat för att räkna ut andelen av en kvadrats area som är bortklippt om sidorna av en kvadrat är indelade i n lika stora sektioner.

Låt oss visa att vår formel är sann om n är ett heltal större än 1. Som tidigare kan vi göra detta med hjälp av ett diagram. Låt oss betrakta en kvadrat med sidorna indelade i n lika stora sektioner.

Arean som är bortklippt består av 4 identiska trianglar. Låt oss använda den givna indelningen av sidorna för att dela in kvadraten i ett rutnät av n* n identiska kvadrater.

De 4 trianglarna passar perfekt in i 2 av n* n kvadrater. Därför är arean som är bortklippt 2/n* n eller 2/n^2 av kvadratens area.

Lösa problemet

Vi får givet att sidorna av en kvadrat har delats in i ett okänt antal lika stora sektioner. Hörnen är bortklippta som i de tidigare fallen. Arean som är bortklippt är 1/50 av kvadratens area. Eftersom vi har hittat formeln för denna andel för n sektioner, kan vi använda formeln för att ställa upp en ekvation. 1/50=2/n^2 Låt oss lösa ekvationen för n.

Vi fann att sidorna av kvadraten har delats in i 10 lika stora delar.