Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

1. Mönster och uttryck Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 3

Mönster och uttryck Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	36 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Mönster och uttryck Åk 9

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Teckna uttryck
Variabel
Mönster
Algebraiskt uttryck
Differensen
Variabeltermen
Sifferterm

Förkunskaper

Teori

Teckna uttryck

Här ska vi lära oss hur man kan teckna uttryck med hjälp av variabler och räknesätt. Följ stegen nedan:

Instruktion	Uttryck
Tänk på ett tal. Vi kan kalla det x.	x
Multiplicera talet med 3.	3 * x = 3x
Addera 9.	(3 * x) + 9 = 3x + 9
Dividera med 3.	3x+9/3 = x+3
Subtrahera 3.	x+3-3 = x

Nu är vi tillbaka vid samma tal som vi började med. I exemplet har vi tecknat uttryck med hjälp av variabeln x, som kan stå för vilket tal som helst.

Vi kan skapa många olika uttryck genom att kombinera variabler och räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division.

Exempel

Teckna ett uttryck enligt Lucas steg

Du tänker på ett tal mellan 1 och 10. Lucas ger dig några steg att följa:

Multiplicera ditt tal med 2.

Lägg till 9.

Subtrahera 3 från det.

Dela nu med 2.

Slutligen, subtrahera ditt ursprungliga tal.

Teckna ett uttryck som beskriver det sista resultatet, om du använder en variabel x för det ursprungliga numret.

Ursprungliga numret: x

Börja med att skriva ner det du vet.

2 * x = 2x

Multiplicera x med 2.

2x+9

Lägg till 9 till resultatet.

2x+9 - 3= 2x+6

Subtrahera 3 och förenkla.

2x+6/2 = x+3

Dividera nu med 2.

x+3 - x = 3

Subtrahera x från det.

Svar: Det uttrycket är 3.

Teori

Mönster

Vi tittar på ett mönster av kvadrater som byggs med tändstickor.

Mönster och uttryck Åk 9 slide 0301.svg

Figur I

Mönster och uttryck Åk 9 slide 0302.svg

Figur II

Mönster och uttryck Åk 9 slide 0303.svg

Figur III

För att göra en kvadrat behövs 4 tändstickor. Två kvadrater som sitter ihop kräver 7 tändstickor, och tre kvadrater kräver 10 tändstickor. Antalet tändstickor följer alltså ett mönster:

4, 7, 10...

Hur många tändstickor behövs i figur n?

Vi skriver ett algebraiskt uttryck för antalet tändstickor i figur n.

Antalet ökar med 3 för varje ny figur.

4 +3 ⟶ 7 +3 ⟶ 10 +3 ⟶ ...

Den ökningen kallas differensen och i uttrycket representeras den av variabeltermen 3n.

Vi sätter in n=1 och får 3 * 1 = 3. Eftersom den första figuren redan innehåller 4 tändstickor måste vi lägga till 1 som sifferterm.

Det algebraiska uttrycket för antalet tändstickor i den n:te figuren är alltså:

För att ta reda på hur många tändstickor som behövs i figur 50 sätter vi in n = 50:

3 * 50 +1 = 151

Alltså behövs 151 tändstickor i figur 50.

Exempel

Antal tändstickor i mönstret

Lucas använde tändstickor för att skapa de första tre figurerna i en följd.

Fil:Mönster och uttryck Åk 9 slide 0403.svg

Figur 1

Fil:Mönster och uttryck Åk 9 slide 0402.svg

Figur 2

Fil:Mönster och uttryck Åk 9 slide 0401.svg

Figur 3

a Skriv ett uttryck för antalet tändstickor i figur n.

Figur 1: 5 tändstickor

Figur 2: 9 tändstickor

Figur 3: 13 tändstickor

Börja med att skriva ner det du vet.

9-5=4

13-9=4

Differens: 4

Bestäm differensen.

Variabelterm: 4n

Skriv variabeltermen.

Sifferterm: 5-4 * 1 = 1

När n=1 är variabeltermen 4, så subtrahera 4 från antalet tändstickor i Figur 1 för att hitta siffertermen.

Uttryck: 4n+1

Skriv uttrycket för mönstret.

Figur 1: 4 * 1 + 1 = 5 ✓

Figur 2: 4 * 2 + 1 = 9 ✓

Figur 3: 4 * 3 + 1 = 13 ✓

Kontrollera ditt svar.

Svar:Antalet tändstickor i figur n ges av uttrycket 4n+1.

b Hur många tändstickor används för att skapa Figur 10?

4n+1

Använd uttrycket du fick i del A.

4 * 10 + 1 =

Ersätt n med 10 i uttrycket och förenkla.

=40+1=

=41

Svar: Figur 10 har 41 tändstickor.

c Vilken figur har 121 tändstickor?

Antal tändstickor: 121

Börja med att skriva ner det du vet.

4n+1=121

Ställ uttrycket du fick i del A lika med 121 och skriv en ekvation.

4n+1-1=121-1

Lös ekvationen för n med hjälp av balansmetoden.

4n = 120

4n/4 = 120/4

n=30

Svar: Figur 30 har 121 tändstickor.

Övning

Att identifiera ett specifikt tal i en talföljd

Följande applet visar de fem första termerna i en oändlig talföljd. Din uppgift är att hitta en regel som beskriver talföljden, så att du kan beräkna vilken term som helst i följden.

Applet som genererar aritmetiska sekvenser

Teori

Uttryck med parenteser

När man förenklar uttryck med parenteser gäller några viktiga regler:

Plustecken framför parentes

Om det står ett plustecken framför en parentes kan parentesen tas bort utan att något ändras.

x+(y+z) = x+y+z

p+(q-r) = p+q-r

Minustecken framför parentes

Om det står ett minustecken framför en parentes måste alla tecken inuti parentesen bytas när parentesen tas bort.

m-(n+k) = m-n-k

a-(b-c) = a-b+c

Kom ihåg

Ett plustecken blir till ett minus och ett minustecken blir till ett plus.

Faktor framför parentes

När en faktor multipliceras med en parentes måste faktorn multipliceras med varje term i parentesen.

2(x+y) = 2x+2y

3(a-b) = 3a-3b

Teori

Multiplikation av parenteser

När två parenteser står bredvid varandra, till exempel (a+b)(c+d), betyder det att hela det första uttrycket ska multipliceras med hela det andra.

Exempel

Vi börjar med ett exempel med siffror: (6+3)(4+2).

Ett sätt att förstå detta är att tänka på en rektangel med sidorna (6+3)cm och (4+2)cm. Arean är produkten av sidornas längder.

Ett annat sätt är att dela upp rektangeln i mindre delar och räkna ut varje area för sig:

Vi ser alltså att:

A = (6+3)(4+2)cm^2 =6 * 4 + 6 * 2 + 3 * 4 + 3 * 2cm^2 = 54cm^2

Hur man multiplicerar parenteser

När två parenteser multipliceras måste varje term i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen. Med bokstäver blir det:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

(a-b)(c+d) = ac + ad - bc - bd

(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd

(a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd

Exempel

Beräkna priser som algebraiska uttryck

Priserna på måltiderna ges som algebraiska uttryck. Till exempel kostar en kopp kaffe (a) kronor.

a Lucas beställer två koppar kaffe och två kakor. Skriv den enklaste formen av den totala kostnaden som Lucas måste betala.

Pris på kaffen: akr

Pris på kakan: 2bkr

Börja med att skriva ner det du vet.

2 * akr = 2akr

Priset för två koppar kaffe är 2 * akr.

2 * 2bkr = 4bkr

Priset för två kakor är 2 * 2bkr.

(2a+4b)kr

Hitta totalsumman genom att addera uttrycken.

Svar: Den totala kostnaden som Lucas måste betala är (2a+4b)kr.

b Molly beställer tre koppar juice och en pasta. Skriv den enklaste formen av den totala kostnaden som Molly måste betala.

Pris på en kopp juice: (a-b)kr

Pris på pasta: (a+b)kr

Börja med att skriva ner det du vet.

3 * (a-b)kr= (3a-3b)kr

Priset för tre koppar juice ar 3 * (a-b)kr.

(a+b) kr

Priset för pasta är (a+b)kr.

((3a -3b)+(a+b))kr=

Hitta totalsumman genom att addera uttrycken.

=(3a-3b + a + b)kr =

Ta bort parentesen med plustecknet.

=(4a-2b)kr

Svar: Den totala kostnaden som Molly måste betala är (4a-2b)kr.

c Om Lucas betalar mer än Molly, vad är skillnaden mellan de totala kostnaderna för deras beställningar? Skriv svaret i dess enklaste form.

Lucas kostnad: (2a + 4b)kr

Molly kostnad: (4a - 2b)kr

Börja med att skriva ner det du vet.

((2a+4b) - (4a-2b))kr=

Subtrahera Mollys kostnad från Lucas kostnad.

=(2a+4b - (4a-2b))kr=

Ta bort parentesen med plustecknet.

=(2a + 4b - 4a +2b )kr=

Ta bort parentesen med minustecknet och byt tecken.

=(6b-2a) kr

Svar: Skillnaden mellan Mollys och Lucas kostnad är (6b-2a) kr.

Exempel

Beräkning av ytor som algebraiska uttryck

Sidlängderna på Lucas och Mollys bakgårdar anges som algebraiska uttryck.

a Beräkna arean av Lucas bakgård och uttryck den i sin enklaste form.

Längd: 3x+2

Bredd: 2x-1

Börja med att skriva ner det du vet.

A=(2x - 1) * (3x+2)=

Använd formeln för arean av en rektangel, A = bh. Multiplicera längden med bredden.

= 2x * 3x + 2x * 2 - 1 * 3x - 1 * 2=

Multiplicera varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen.

=6x^2+4x-3x-2=

=6x^2+x-2

Svar: Arean av Lucas bakgård är 6x^2+x-2.

b Beräkna arean av Mollys bakgård och uttryck den i sin enklaste form.

(3x+2)-x = 3x+2-x = 2x+2

Mollys bakgård kan delas upp i två rektangulära.

Subtrahera x från 3x+2 för att hitta längden på den övre rektangeln.

A_(övre) = (2x+2) * y =

Använd formeln för arean av en rektangel, A = bh. Multiplicera längden med bredden.

=2xy +2y

A_(nedre) = x * (2y-1)=

Multiplicera längden och bredden på den nedre rektangeln.

=2xy - x

A = (2xy+2y)+(2xy-x)=

Hitta den totala arean genom att addera arean av den övre och nedre rektangeln.

=2xy+2y+2xy-x=

Ta bort parenteserna genom att skriva alla termer efter varandra.

=4xy+2y-x

Svar: Arean av Mollys bakgård är 4xy+2y-x.

Övning

Öva på att förenkla algebraiska uttryck med parenteser

Förenkla det givna algebraiska uttrycket genom att följa reglerna som diskuterades i lektionen. Kom ihåg att multiplicera en variabel med sig själv resulterar i variabelns kvadrat.

Applet genererar slumpmässigt algebraiska uttryck med parenteser och uppmanar till korrekt förenkling av uttrycket.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Mönster och uttryck Åk 9

Uppgifter

Talen i en talföljd beskrivs av följande formel. 3n-1 Vilka är de första tre termerna i följden?

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * 1 -1 = 3-1 = 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in n=1 i uttrycket för att hitta det första talet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * 2 -1 = 6-1 = 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in n=2 i uttrycket för att hitta det andra talet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * 3 -1 = 9-1 = 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in n=3 i uttrycket för att hitta det tredje talet. </cell> </row>

Betrakta följande talföljd. 2, 14, 26, 38, ... Skriv en generell regel för den givna talföljden.

<row> <cell left="true" role="sol"> Första talet: 2
Andra talet: 14
Tredje talet: 26
Fjärde talet: 38 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 14-2 = 12
26-14 = 12
38-26 = 12
Differensen: 12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Bestäm differensen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Variabelterm: 12n </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv variabeltermen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sifferterm: 2-12 * 1=-10 </cell> <cell right="true" role="exp"> När n=1 är variabeltermen 12, så subtrahera 12 från det första talet, 2, för att hitta siffertermen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12n-10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv uttrycket för mönstret. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12 * 1-10 = 12-10 = 2 ✓
12 * 2-10 = 24-10 = 14 ✓
12 * 3-10 = 36-10 = 26 ✓
12 * 4-10 = 48-10 = 38 ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera ditt svar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den generella regeln för talföljden är 12n−10. </cell> </row>

Förenkla uttrycket.

2b + (7b+10)

5k-(12-k)

<row> <cell left="true" role="sol"> 2b+(7b+10) = 2b + 7b + 10= </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parentesen. Tecknen behålls när det står plus framför. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =9b+10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla liknande termer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5k-(12-k) = 5k-12+k= </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parentesen. Tecknen byter när det står minus framför. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 6k-12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla liknande termer. </cell> </row>

Avgör om följande uttryck är korrekt förenklat.

<row> <cell left="true" role="sol"> 7x^2-3(2x-xy)+xy= </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan avgöra om uttrycket är korrekt förenklat genom att göra det själv. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =7x^2-6x+3xy+xy ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parentesen. Tecknen byter när det står minus framför. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7x^2-6x-3xy+xy * </cell> <cell right="true" role="exp"> Den visade proceduren ändrade inte tecknet på termen - xy. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, tecknen inuti parentesen ändrades inte när den togs bort, vilket är fel. </cell> </row>

Viktor läste x böcker under sommarlovet. Alva läste 2 fler böcker än Viktor. Skriv ett uttryck för hur många böcker Alva läste.

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal böcker Viktor läste: x
Alva läste 2 fler böcker än Viktor. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal böcker Alva läste: x+2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan uttrycka att Alva läste 2 fler böcker än Viktor genom att addera 2 till variabeln x. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Alva läste x+2 böcker under sommaren. </cell> </row>

Elsa köpte ett anteckningsblock för xkr, och ett pennfodral för dubbla detta belopp. Skriv ett algebraiskt uttryck för priset på pennfodralet.

<row> <cell left="true" role="sol"> Pris på anteckningsblocket: xkr
Pennfodralet är dubbelt så dyrt som anteckningsblocket. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Pris på pennfodralet: 2 * x = 2x </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan multiplicera priset på anteckningsblocket med 2 för att uttrycka priset på pennfodralet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Pennfodralet kostar 2xkr. </cell> </row>

En chokladkaka kostar 20kr och en jordnötspåse kostar 30kr. Skriv ett algebraiskt uttryck för priset på x chokladkakor och y jordnötspåsar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Chokladkaka: 20kr
Jordnötspåse: 30kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 20 kr = 20xkr </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan räkna ut totala priset för x chokladkakor genom att multiplicera antalet chokladkakor, x, med deras pris, 20. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y * 30kr = 30ykr </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera antalet jordnötspåsar, y, med deras pris, 30. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 20x kr+30y kr = (20x+30y)kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera båda uttrycken för att hitta totala priset. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Priset på x chokladkakor och y jordnötspåsar är (20x+30y)kr. </cell> </row>

Vilket tal saknas i följande talföljden? 7 13 19 ? 31

<row> <cell left="true" role="sol"> Första talet: 7
Andra talet: 13
Tredje talet: 19
Fjärde talet: ?
Femte talet: 31 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 13-7 = 6
19-13 = 6
Differensen: 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Bestäm differensen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6n </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv variabeltermen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sifferterm: 7 - 6 = 1 </cell> <cell right="true" role="exp"> När n=1 är variabeltermen 6, så subtrahera 6 från det första talet, 7, för att hitta siffertermen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6n+1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv uttrycket för mönstret. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Första talet: 6 * 1 + 1 = 7 ✓
Andra talet: 6 * 2 + 1 = 13 ✓
Tredje talet: 6 * 3 + 1 = 19 ✓
Femte talet: 6 * 5 + 1 = 31 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera ditt svar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Fjärde talet: 6 * 4 +1 = 24 +1 = 25
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt n=4 för att hitta det saknade talet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det saknade talet är 25. </cell> </row>

Skriv uttrycken utan parentes.

7(x+5)

3(y-8)

z(x-2y)

<row> <cell left="true" role="sol"> 7(x+5)=7 * x + 7 * 5= </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera faktorn 7 med varje term inuti parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3(y-8) = 3 * y - 3 * 8= </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera faktorn 3 med varje term inuti parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> z(x-2y) = z * x - z * (2y)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera faktorn z med varje term inuti parentesen. </cell> </row>

Förenkla uttrycken.

3x+2(x-3)+8

5-3(2-x)+3x

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+2(x-3)+8 =
=3x + 2 * x - 2 * 3 + 8= </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera faktorn 2 med varje term inuti parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =5x+2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla liknande termer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5-3(2-x)+3x =
=5 - (6 - 3x) + 3x = </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera faktorn 3 med varje term inuti parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =5 - 6 + 3x + 3x= </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parentesen. Tecknen byter när det står minus framför. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =6x-1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla liknande termer. </cell> </row>

Skriv ett uttryck för triangelns omkrets och förenkla det.

<row> <cell left="true" role="sol"> (x+3)+(2x+2)+(13-x)= </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan hitta triangelns omkrets genom att lägga ihop längden på dess sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =x+3+2x+2+13-x= </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parenteserna. Tecknen behålls när det står plus framför. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =2x+18 </cell> <cell right="true" role="exp"> Samla liknande termer. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangelns omkrets är 2x+18. </cell> </row>

Finns det ett värde på x som gör att uttrycken 3x+1 och x+3 har samma värde?

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+1=x+3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Om du vill veta för vilket värde på en variabel två uttryck har samma värde, kan du sätta dem lika med varandra för att skriva en ekvation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x=x+2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen med balansmetoden. Subtrahera 1 från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x=2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera x från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x=1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * 1 + 1 ? = 1+3
3 + 1 ? = 1+3
4 = 4 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera ditt svar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:Ja, när x=1 har uttrycken samma värde. </cell> </row>

Mönster och uttryck Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan