Om vi försöker beräkna det första talet med hjälp av 2 * 1 får vi värdet 2, vilket inte stämmer. För att få det första talet, som är 9, måste vi lägga till 7.

Formeln för denna talföljd är 2n + 7. I den här formeln är 2n variabeltermen och 7 är siffertermen.

Om vi vill räkna ut det 75:e talet i följden gör vi beräkningen

2 * 75 + 7 = 157

Övning

Identifiera talföljder

Appleten nedan visar de sex första termerna i en följd av tal. Studera talen och avgör om de bildar en talföljd. Motivera ditt svar genom att ange en regel.

Interaktiv applet som visar olika oändliga sekvenser

Exempel

Upptäck formlerna i böcker

Lucas undersöker en bok med mystiska siffror. Han hittar en formel som visar en talföljd: - 7n+5.

Skriv de första tre termerna i talföljden.

n = 1 : -7 * 1 + 5 = - 2

n = 2 : -7 * 2 + 5 = - 9

n = 3 : -7 * 3 + 5 = - 16

Sätt in n = 1, 2, 3 i formeln. Talen minskar med 7 för varje steg.

Svar: -2, -9, -16

Vilken term i sekvensen är lika med - 72?

-7n+5=-72

Ställ upp en ekvation och lös ut n. Subtrahera 5 och dela sedan med - 7.

-7n=-77

n=11

Svar: n=11

Exempel

Arbeta med en talföljd

Undersök talföljden 12, 20, 28, 36, ... och teckna ett uttryck för det n:e talet i talföljden.

& +8 ↷ +8 ↷ +8 ↷ & 12, 20, 28, 36, ...

Differens: 20 - 12 = 8

Hitta differensen mellan två på varandra följande termer.

Variabelterm: 8n

Multiplicera differensen med n för att få variabeltermen.

Siffratermen: +4

Titta på det första talet 12. När n = 1 är 8n = 8. För att nå 12 adderas 4.

Uttryck: 8n + 4

Kombinera variabeltermen och siffertermen till uttrycket för talföljden.

n = 1: 8* 1+4=12 ✓

n = 2: 8*2+4=20 ✓

n = 3: 8*3+4=28 ✓

Kontrollera att uttrycket stämmer genom att sätta in n = 1, 2, 3 och jämföra med de tre första termerna.

Svar: 8n+4

Använd uttrycket och räkna ut tal nummer 8.

8 * 8 + 4 =

Sätt in n=8 i uttrycket för det n:e talet och beräkna.

= 64 + 4 = 68

Svar: Det 8:e talet är 68.

Exempel

Analysera figurerna

Betrakta följande figurer.

Figur I

Figur II

Figur III

Fokusera på antalet cirklar i varje figur och hitta antalet cirklar i den 20:e figuren.

Figur I → 4

Figur II → 7

Figur III → 10

Börja med att räkna antalet cirklar i varje figur.

& +3 ↷ +3 ↷ & 4, 7, 10, ... Differens: 7-4=3

Differensen mellan två på varandra följande tal visar hur antalet cirklar ökar.

Variabelterm: 3n

Differensen 3 multipliceras med n, där n är figurens nummer.

Sifferterm: +1

När n = 1 ger 3n = 3. För att nå 4 adderas 1.

Uttryck: 3n+1

Genom att kombinera variabeltermen och siffertermen får du uttrycket för antalet cirklar.

n = 20 → 3 * 20+1=61

Sätt in n = 20 i uttrycket och beräkna antalet cirklar.

Svar: Det kommer att finnas 61 cirklar i den 20:e figuren.

Exempel

Hur många cirklar finns i varje figur?

I de följande figurerna representerar cirklarna de personer som kan sitta runt ett bord av olika längder. Använd appen för att förutsäga nästa figur i mönstret.

Figur I

Figur II

Figur III

Figur IV

Skriv ett uttryck för att representera antalet personer som sitter runt bordet i förhållande till figurnumret n. Anta att detta mönster fortsätter. Hur många bord behövs för 54 personer?

Figur I → 4

Figur II → 6

Figur III → 8

Börja med att räkna antalet cirklar i varje figur.

& +2 ↷ +2 ↷ & 4, 6, 8, ... Differens: 6-4=2

Differensen mellan två på varandra följande tal visar hur antalet personer ökar.

Variabelterm: 2n

Differensen 2 multipliceras med figurens nummer n.

Sifferterm: +2

När n = 1 ger 2n=2. För att få 4 adderas 2.

Uttryck: 2n+2

Genom att kombinera variabeltermen och siffertermen får du uttrycket för antalet personer.

Ekvation:

2n+2=54

För att ta reda på hur många bord som behövs för att rymma 54 personer, sätt uttrycket lika med 54 och lös för n.

2n=52

Subtrahera 2 från båda sidor av ekvationen.

n=26

Dela båda sidor med 2.

Svar: Det behövs 26 bord för att 54 personer ska kunna sitta.

Övning

Att identifiera ett specifikt tal i en talföljd

Följande applet visar de första fem termerna i en oändlig talföljd. Din uppgift är att hitta regeln som beskriver talföljden, så att du kan beräkna vilken term som helst i följden.

Applet som genererar aritmetiska sekvenser

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Mönster Åk 8

Uppgifter

Bestäm om följande lista med nummer representerar en nummersekvens eller inte. 32, 31, 25, 23

<row> <cell left="true" role="sol"> & -1 ↷ -4 ↷ -2 ↷ & 32, 31, 25, 23 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör kontrollera om differensen mellan två på varandra följande termer är konstant. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Nej, den här listan representerar inte en nummersekvens. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skillnaderna mellan de på varandra följande talen är inte desamma. </cell> </row>

Betrakta följande talföljd. 7, 27, 47, 67, ... Vilket påstående beskriver bäst sambandet mellan termerna i talföljden?

Hitta de tre följande termerna.

<row> <cell left="true" role="sol"> & +20 ↷ +20 ↷ +20 ↷ & 7, 27, 47, 67, ... </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör noggrant observera differensen mellan varje efterföljande term för att beskriva sekvensens mönster. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Varje term kan hittas genom att addera 20 till den föregående. </cell> <cell right="true" role="exp">

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> & +20 ↷ +20 ↷ +20 ↷ +20 ↷ & ... 67, 87, 107, 127, ... </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan utöka mönstret genom att addera 20 till varje föregående term för att få de nästa tre termerna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: De följande tre termerna är 87, 107, och 127. </cell> </row>

Hitta den saknade termen i talföljden.

Term	1	2	3	4
Talföljd	15		43	57

Term	1	2	3	4
Talföljd	130	205		355

<row> <cell left="true" role="sol"> & ↷ ↷ ? ↷ & 15 43 57 Differens: 57-43=14 </cell> <cell right="true" role="exp"> I en sekvens måste differensen mellan två på varandra följande termer vara densamma för alla termer. Därför kan du beräkna skillnaden mellan den fjärde och den tredje termen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 15+14=29 & +14 ↷ +14 ↷ +14 ↷ & 15 29 43 57 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skillnaden är 14. Nu kan du addera 14 till den första termen för att hitta den andra termen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den saknade termen i talföljden är 29. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Differens:
205-130=75 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör börja med att hitta skillnaden mellan den första och andra termen. Skillnaden är 75. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> & +75 ↷ +75 ↷ +75 ↷ & 130 205 355 </cell> <cell right="true" role="exp"> Varje term fås genom att lägga till 75 på föregående term. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 205+ 75=280 </cell> <cell right="true" role="exp"> Om du följer detta mönster blir den tredje termen 205 plus 75. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den saknade termen i talföljden är 280. </cell> </row>

En oändlig talföljd beskrivs med följande formel. 3n+23

Vilken term i talföljden är lika med 116?

Ingår numret 1 023 i talföljd?

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> 3n+23=116 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör sätta det givna uttrycket lika med 116 och lösa ut n. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: 116 är den 31:a termen i talföljden. </cell> </row>

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> 3n+23=1 023 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom n är termtalet ska det vara ett naturligt tal. Så, du bör sätta det givna uttrycket lika med 1 023 och se om n är ett naturligt tal. </cell> </row>

</expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> n ≈ 333,3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom du fick ett decimaltal kanske du vet att 1 023 inte ingår i sekvensen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, 1 023 inte ingår i sekvensen. </cell> </row>

Om mönstret fortsätter, hur många rektanglar kommer det att finnas i de nästa 2 figurerna?

Skriv ditt svar som en lista. Börja med antalet rektanglar i figur 4, följt av antalet i figur 5.

<row> <cell left="true" role="sol"> Figur 1: 16 rektanglar
Figur 2: 14 rektanglar
Figur 3: 12 rektanglar </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att räkna antalet rektanglar i varje figur. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Differens: 14-16=-2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna den gemensamma skillnaden genom att subtrahera antalet rektanglar i två följande figurer, till exempel figur 2 minus figur 1. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Figur 4: 12-2=10 rektanglar
Figur 5: 10-2=8 rektanglar
</cell> <cell right="true" role="exp"> Allt eftersom mönstret fortsätter bör du subtrahera 2 varje gång för att hitta antalet rektanglar i följande figurer. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: De två följande figurerna kommer att ha 10 respektive 8 rektanglar. </cell> </row>

Vilken sekvens följer regeln 3 n- 2, där n representerar positionen för ett term i sekvensen? A& 21,18,15,12,9, ... B& 3,6,9,12,15, ... C& 1,7,10,13,16, ... D& 1,4,7,10,13, ...

<row> <cell left="true" role="sol"> n= 1 → 3( 1)-2=1
n= 2 → 3( 2)-2=4
n= 3 → 3( 3)-2=7
n= 4 → 3( 4)-2=10
n= 5 → 3( 5)-2=13
</cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan ersätta n=1,2,3,... i det givna uttrycket 3n-2 för att se de första termerna i följden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Talföljd:
1, 4, 7, 10, 13, ... </cell> </row>

Heichi håller koll på antalet sidor han läser under en viss tidsperiod. Timmarna han läser och antalet sidor han läser visas i tabellen.

Timmar, n	Sidor lästa
1	20
2	35
3	50

Skriv en allmän regel som representerar förhållandet mellan antalet sidor Heichi läser och den tid han ägnar åt att läsa i timmar.

<row> <cell left="true" role="sol"> & +15 ↷ +15 ↷ & 20, 35, 50, ... Differens: 35-20=15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör först bara titta på antalet sidor för att se om de bildar en stigande sekvens. Du kan kontrollera om det finns en konstant differens mellan de på varandra följande termerna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Variabelterm: 15n </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu kan du skriva den variabla termen i uttrycket som produkten av differensen 15 och variabeln n, där n representerar timmar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Siffratermen: +5 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att hitta taltermen bör du titta på den första termen i talföljden: 20. Om n=1, så är 15n=15. För att få 20, måste du lägga till 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Uttryck: 15n+5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Genom att kombinera variabeltermen och siffratermen kan du få uttrycket för talföljden. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> n= 1: 15* 1+5=20 ✓
n= 2: 15* 2+5=35 ✓
n= 3: 15* 3+5=50 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du bör kontrollera om uttrycket är korrekt. Sätt in n = 1, 2, 3 och se om de matchar de tre första termerna i talföljden. </cell> </row>

Mönster Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan