Medellutning

Begrepp

Lutning

Lutningen för en graf anger hur $y$ -värdet ökar eller minskar för större och större $x$ -värden, dvs. hur mycket den växer eller avtar. Om lutningen är positiv innebär det att funktionen växer medan en negativ lutning innebär att den avtar. För en horisontell linje, som varken ökar eller minskar, är lutningen $0.$

Räta linjer har en konstant lutning som kan läsas av direkt som $k$ -värdet, men för funktioner som inte är räta ändrar sig lutningen med $x$ -värdet. För andragradsfunktionen nedan är grafens lutning negativ när $x$ är negativt och positiv när $x$ är positivt, och ju längre från origo man går desto brantare blir grafen.

Regel

Enhet för lutning

När en grafs lutning tolkas som en förändringshastighet går det att bestämma dess enhet med hjälp av enheterna på koordinataxlarna.

Regel
$\text{Lutningens enhet}=\dfrac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$

Det går att motivera detta samband med hjälp av en graf som t.ex. visar en cykelresa, där $x$ -axeln har enheten minuter och $y$ -axeln har enheten kilometer från en viss startpunkt.

Lutningen på ett intervall, t.ex. de första $20$ minuterna, kan beräknas med $k$ -formeln: $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2 \text{ km}}{20 \text{ min}}=0.1 \text{ km/min.}$ När värdena divideras kommer även enheterna från diagrammet att divideras, och lutningen får då enheten km/min.

Begrepp

Sekant

En rät linje som skär en kurva mer än en gång, dvs. två eller fler gånger, kallas för en sekant. Exempelvis är den röda linjen i koordinatsystemet en sekant eftersom den skär den blå kurvan två gånger.

Kurvan behöver inte vara grafen till en funktion. En rät linje som skär en geometrisk figur på två ställen är också en sekant. Om den geometriska figuren är en cirkel kallas den delen av sekanten som befinner sig inuti cirkeln för korda.

Bestäm sekantens ekvation

Uppgift

Bestäm ekvationen för den sekant som funktionen $f(x)$ har mellan $x = \text{-}4$ och $x = 1$ .

Lösning

Eftersom en sekant är en rät linje har den en ekvation på formen $y = kx + m.$ Enligt uppgiften ska sekanten gå mellan $x = \text{-}4$ och $x = 1,$ så vi markerar dessa punkter på grafen till $f(x)$ och drar en rät linje genom dem.

Vi ser att sekanten går igenom punkterna $(\text{-} 4,0)$ och $(1,4).$ För att bestämma ekvationen till denna räta linje börjar vi med att bestämma $k$ -värdet genom att sätta in punkterna i $k$ -formeln.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{1,4}}\right)

&

\left({\color{#009600}{\text{-}4,0}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{4}}-{\color{#009600}{0}}}{{\color{#0000FF}{1}}-\left( {\color{#009600}{\text{-}4}} \right)}

a-(\text{-} b)=a+b

k=\dfrac{4-0}{1+4}

Förenkla termer

k=\dfrac{4}{5}

Beräkna kvot

k=0.8

Sätter vi in detta i ekvationen får vi $y = 0.8x + m.$ Vi bestämmer sedan $m$ -värdet genom att sätta in en av punkterna i ekvationen och lösa ut $m.$

y = 0.8x + m

x={\color{#0000FF}{1}}

,

y={\color{#009600}{4}}

{\color{#009600}{4}} = 0.8 \cdot {\color{#0000FF}{1}} + m

Multiplicera faktorer

4 = 0.8 + m

\text{VL}-0.8=\text{HL}-0.8

3.2 = m

Omarrangera ekvation

m = 3.2

Genom att sätta in $m = 3.2$ ser vi att sekanten har ekvationen $y = 0.8x + 3.2.$

Visa lösning

Regel

Ändringskvot

En ändringskvot, $\frac{\Delta y}{\Delta x},$ beskriver den genomsnittliga förändringen för en funktion på ett intervall. Den kan till exempel beskriva medelhastigheten för en bil under en viss tid eller medeltillväxten för bakterier under ett experiment. För att beräkna ändringskvoten bestämmer man ändpunkterna på intervallet, $(x_1, y_1)$ och $(x_2,y_2),$ och dividerar förändringen i $y$ -led med den i $x$ -led.

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Man använder alltså en motsvarighet till $k$ -formeln och resultatet kan tolkas som medellutningen över intervallet. Ändringskvoten kan dock beräknas för vilken funktion som helst, till skillnad från $k$ -värdet som endast kan beräknas för räta linjer. Ett annat sätt att tolka ändringskvoten är som lutningen för den sekant som ritas mellan intervallets ändpunkter.

Bestäm och tolka ändringskvoten

Uppgift

Johanna har värmt en macka som hon ska äta när hon spelar datorspel. Hon sätter igång spelet $5$ minuter efter att mackan är färdig men blir så distraherad att hon glömmer att äta den i ytterligare $15$ minuter. Grafen visar mackans temperatur $T$ i $^\circ$ C som en funktion av tiden $t$ i minuter.

Bestäm och tolka ändringskvoten mellan $t_1=5$ och $t_2=20.$

Lösning

Ändringskvoten kan i vårt fall beräknas med formeln $\dfrac{\Delta T}{\Delta t} =\dfrac{T_2-T_1}{t_2-t_1},$ där vi vet från uppgiften att $t_1=5$ och $t_2=20.$ Värdena på $T_1$ och $T_2$ kan vi läsa av från koordinatsystemet. Eftersom punkterna inte sitter på värden som är lätta att läsa av blir de ungefärliga. Vi kan också om vi vill rita en sekant mellan punkterna.

Nu sätter vi in i formeln och beräknar ändringskvoten.

\dfrac{\Delta T}{\Delta t} =\dfrac{T_2-T_1}{t_2-t_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{20,23}}\right)

&

\left({\color{#009600}{5,55}}\right)

\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{{\color{#0000FF}{23}} - {\color{#009600}{55}}}{{\color{#0000FF}{20}} - {\color{#009600}{5}}}

Förenkla termer

\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{\text{-} 32}{15}

Slå in på räknare

\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \text{-} 2.13333\ldots

Avrunda till

1

\dfrac{\Delta T}{\Delta t} \approx \text{-} 2.1

Vi får ett negativt värde på ändringskvoten, vilket innebär att det är en minskning. Enheten får vi genom att dividera $y$ -axelns enhet med $x$ -axelns vilket ger oss enheten $\left.^\circ\text{C}\middle/\text{min.}\right.$ Eftersom en ändringskvot beskriver en genomsnittlig förändring kan alltså $\frac{\Delta T}{\Delta t} \approx\text{-} 2.1$ tolkas som att mackan svalnade med i genomsnitt ungefär $2.1\, ^\circ\text{C}$ /minut mellan $5$ och $20$ minuter efter att mackan värmts klart.

Visa lösning

Metod

Beräkna ändringskvot

För att beräkna en funktions ändringskvot på intervallet mellan $x_1$ och $x_2$ använder man formeln $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$ Om man har funktionens graf kan man direkt läsa av koordinaterna, men man måste inte ha tillgång till den utan det går även bra med funktionsuttrycket eller ibland en värdetabell. Man kan t.ex. bestämma ändringskvoten för funktionen $y=2\cdot 1.1^x$ på intervallet mellan $x=10$ och $x=30.$

1

Bestäm intervallets ändpunkter

Om ändpunkternas $x$ -koordinater är givna, som i det här fallet, kan ändpunkternas $y$ -värden beräknas genom att sätta in $x$ -värdena i funktionsuttrycket.

$x$	$2 \cdot 1.1^x$	$y$
${\color{#0000FF}{10}}$	$2 \cdot 1.1^{\color{#0000FF}{10}}$	$\sim 5.187$
${\color{#0000FF}{30}}$	$2\cdot 1.1^{{\color{#0000FF}{30}}}$	$\sim 34.899$

Intervallets ändpunkter är i det här fallet ungefär $(10,5.187)$ och $(30,34.899).$ Genom att behålla många decimaler undviker man stora avrundningsfel.

2

Sätt in koordinaterna i formeln

Nu sätter vi in koordinaterna i formeln och beräknar ändringskvoten.

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{30,34.899}}\right)

&

\left({\color{#009600}{10,5.187}}\right)

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{{\color{#0000FF}{34.899}}-{\color{#009600}{5.187}}}{{\color{#0000FF}{30}}-{\color{#009600}{10}}}

Förenkla termer

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{29.712}{20}

Slå in på räknare

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1.4856

Avrunda till

1

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 1.5

Ändringskvoten är ungefär $1.5.$

$x$ (år)	$2012$	$2013$	$2014$	$2015$	$2016$	$2017$
$y$ (kr)	$94$	$95$	$98$	$103$	$104$	$109$

Medellutning

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lutning

Enhet för lutning

Regel

Sekant

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Ändringskvot

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

Beräkna ändringskvot

1

2

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning

Derivata

Regel

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

1

2

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lösning