Medellutning

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Lutning

Lutningen för en graf anger hur yy-värdet ökar eller minskar för större och större xx-värden, dvs. hur mycket den växer eller avtar. Om lutningen är positiv innebär det att funktionen växer medan en negativ lutning innebär att den avtar. För en horisontell linje, som varken ökar eller minskar, är lutningen 0.0.

Positiv, negativ och ingen lutning

Räta linjer har en konstant lutning som kan läsas av direkt som kk-värdet, men för funktioner som inte är räta ändrar sig lutningen med xx-värdet. För andragradsfunktionen nedan är grafens lutning negativ när xx är negativt och positiv när xx är positivt, och ju längre från origo man går desto brantare blir grafen.

Regel

Enhet för lutning

När en grafs lutning tolkas som en förändringshastighet går det att bestämma dess enhet med hjälp av enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Lutningens enhet=y-axelns enhetx-axelns enhet\text{Lutningens enhet}=\dfrac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}
Begrepp

Sekant

En rät linje som skär en kurva mer än en gång, dvs. två eller fler gånger, kallas för en sekant. Exempelvis är den röda linjen i koordinatsystemet en sekant eftersom den skär den blå kurvan två gånger.

Kurvan behöver inte vara grafen till en funktion. En rät linje som skär en geometrisk figur på två ställen är också en sekant. Om den geometriska figuren är en cirkel kallas den delen av sekanten som befinner sig inuti cirkeln för korda.
Uppgift

Bestäm ekvationen för den sekant som funktionen f(x)f(x) har mellan x=-4x = \text{-}4 och x=1x = 1.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Ändringskvot

En ändringskvot, ΔyΔx,\frac{\Delta y}{\Delta x}, beskriver den genomsnittliga förändringen för en funktion på ett intervall. Den kan till exempel beskriva medelhastigheten för en bil under en viss tid eller medeltillväxten för bakterier under ett experiment. För att beräkna ändringskvoten bestämmer man ändpunkterna på intervallet, (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar förändringen i yy-led med den i xx-led.

ΔyΔx=y2y1x2x1\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Man använder alltså en motsvarighet till kk-formeln och resultatet kan tolkas som medellutningen över intervallet. Ändringskvoten kan dock beräknas för vilken funktion som helst, till skillnad från kk-värdet som endast kan beräknas för räta linjer. Ett annat sätt att tolka ändringskvoten är som lutningen för den sekant som ritas mellan intervallets ändpunkter.

Uppgift

Johanna har värmt en macka som hon ska äta när hon spelar datorspel. Hon sätter igång spelet 55 minuter efter att mackan är färdig men blir så distraherad att hon glömmer att äta den i ytterligare 1515 minuter. Grafen visar mackans temperatur TT i ^\circC som en funktion av tiden tt i minuter.

Bestäm och tolka ändringskvoten mellan t1=5t_1=5 och t2=20.t_2=20.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Beräkna ändringskvot

För att beräkna en funktions ändringskvot på intervallet mellan x1x_1 och x2x_2 använder man formeln ΔyΔx=y2y1x2x1. \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Om man har funktionens graf kan man direkt läsa av koordinaterna, men man måste inte ha tillgång till den utan det går även bra med funktionsuttrycket eller ibland en värdetabell. Man kan t.ex. bestämma ändringskvoten för funktionen y=21.1xy=2\cdot 1.1^x på intervallet mellan x=10x=10 och x=30.x=30.

Om ändpunkternas xx-koordinater är givna, som i det här fallet, kan ändpunkternas yy-värden beräknas genom att sätta in xx-värdena i funktionsuttrycket.

xx 21.1x2 \cdot 1.1^x yy
10{\color{#0000FF}{10}} 21.1102 \cdot 1.1^{\color{#0000FF}{10}} 5.187\sim 5.187
30 {\color{#0000FF}{30}} 21.1302\cdot 1.1^{{\color{#0000FF}{30}}} 34.899\sim 34.899

Intervallets ändpunkter är i det här fallet ungefär (10,5.187)(10,5.187) och (30,34.899).(30,34.899). Genom att behålla många decimaler undviker man stora avrundningsfel.

Nu sätter vi in koordinaterna i formeln och beräknar ändringskvoten.

ΔyΔx=y2y1x2x1\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
ΔyΔx=34.8995.1873010\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{{\color{#0000FF}{34.899}}-{\color{#009600}{5.187}}}{{\color{#0000FF}{30}}-{\color{#009600}{10}}}
ΔyΔx=29.71220\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{29.712}{20}
ΔyΔx=1.4856\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1.4856
ΔyΔx1.5\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \approx 1.5

Ändringskvoten är ungefär 1.5.1.5.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande grafer har hela tiden positiv lutning, negativ lutning respektive lutningen 0?0?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ray och Ari ska beräkna medellutningen för funktionen y=3.21x+4.5y=3.21x+4.5 mellan x=-3x=\text{-}3 och x=7.x=7. Ray börjar beräkna intervallets ändpunkter men Ari säger "Sluta, du gör det svårare än vad det är!" Förklara vad Ari menar med sitt påstående.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Till grafen till y=x2y=x^2 har två sekanter ritats.


a

Bestäm ändringskvoten för y=x2y=x^2 på intervallet mellan x=-2x=\text{-}2 och x=-1.x=\text{-}1.

b

Bestäm ändringskvoten för y=x2y=x^2 på intervallet mellan x=-1x=\text{-}1 och x=2.x=2.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Henrik köper aktier i ett nystartat företag för 10001000 kr. Efter 3030 år har värdet på aktierna ökat till 3000030\,000 kr.

a

Med hur många procent har aktiernas värde vuxit per år i genomsnitt?

b

Vad är medelökningen i kr/år under de 3030 åren?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren är grafen till funktionen f(x)f(x) utritad.

Bestäm ekvationen för den sekant som skär f(x)f(x) i

a

x=1x = 1 och x=3.x = 3.

b

x=3x = 3 och x=5.x = 5.

c

x=1x = 1 och x=5.x = 5.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sekant skär kurvan till y=x35x+3y=x^3-5x+3 i (-2,5)(\text{-} 2,5) och (2,1).(2,1). Vad är ändringskvoten mellan punkterna?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ändringskvoten mellan x=1x=1 och x=4x=4 för följande funktioner. Avrunda till två decimaler.

a

f(x)=-4x+5f(x)=\text{-}4x+5

b

g(x)=52xg(x)=5\cdot2^x

c

h(x)=2x+54x2h(x)=\dfrac{2x+5}{4x-2}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar sträckan i meter ss för en cykel som färdats i tt sekunder.

Beräkna medelhastigheten för följande intervall.

a

00-44 sekunder

b

44-88 sekunder

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar funktionen T(x)T(x) som beskriver hur en kall läskburk ökar i temperatur tt timmar efter att den tagits ut ur ett kylskåp och ställts i rumstemperatur.

Bestäm den genomsnittliga temperaturökningen för läsken från en timme efter att den tagits ut till fyra timmar efter att den tagits ut. Ange svaret med en decimal.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På intervallet ax1.6a\leq x\leq1.6 är ändringskvoten för funktionen 0.48.0.48. Bestäm koordinaterna för punkten (a,a+0.3).(a,a+0.3).

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den 11 januari år 20172017 var värdet på en av Oves skogsaktier 22 kr. Under året steg den sedan med i genomsnitt med 0.500.50 kr per månad fram till 3131 december. Skissa en graf som visar hur aktiens värde kan ha varierat under årets månader.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns andragradskurvan y=-x2+7x9y=\text{-}x^2+7x-9 och en sekant, samt en av sekantens skärningspunkter med kurvan.

a
Vad är ändringskvoten mellan de punkter där sekanten skär andragradskurvan?
b
Bestäm sekantens andra skärningspunkt med kurvan.
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Michelle har under de senaste åren jobbat extra i en butik och tabellen nedan visar hennes timlön under dessa år.

xx (år) 20122012 20132013 20142014 20152015 20162016 20172017
yy (kr) 9494 9595 9898 103103 104104 109109
a

Beräkna ändringskvoterna för lönen 20122012 - 20152015 respektive 20152015 - 20172017.

b

Tolka och jämför dina resultat. Glöm inte enhet.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara skillnaden mellan kk-värde och ändringskvot.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sekant skär grafen till y=x3y=x^3 i tre punkter. Den ena punkten är (-2,-8).(\text{-}2, \text{-} 8). Bestäm sekantens övriga skärningspunkter med grafen om du vet att ändringskvoten för funktionen är 44 mellan varje par av punkter.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) är definierad som f(x)=2x328x2+100x. f(x) = 2x^3 - 28x^2 + 100x. För vilket eller vilka värden på bb gäller att funktionens ändringskvot på intervallet 0xb0 \leq x \leq b är lika med 10?10?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns grafen till f(x)=x23x+2f(x)=x^2-3x+2 samt en tangent som skär grafen i punkten (3,2).(3,2).

Uppskatta tangentens lutning med en ändringskvot.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tredjegradsfunktionen ff har ändringskvoten 0.50.5 mellan punkterna (0,f(0))(0, f(0)) och (2,f(2)).(2, f(2)). Samma ändringskvot gäller mellan (2,f(2))(2, f(2)) och (6,f(6)).(6, f(6)). Bestäm ändringskvoten mellan (0,f(0))(0, f(0)) och (6,f(6)).(6, f(6)). Motivera.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=4x2f(x)=4x^2 är ändringskvoten 2828 mellan x=ax=a och x=2.x=2. Bestäm a.a.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}