mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Matematisk bevisföring

Inom matematiken är logik läran om hur man drar korrekta slutsatser givet vissa premisser. Matematiska bevis är typexempel på hur logik tillämpas — här är varje steg tydligt och välmotiverat, bl.a. genom användning av korrekta definitioner och påståenden. Dessa kan vara axiom, dvs. grundläggande matematiska sanningar, eller bevisade satser. För att föra resonemang på ett kompakt sätt används logiksymboler.

Symbol Innebörd Exempel
Implikation P: Figuren är en kvadrat
P: Figuren är en fyrhörning
P P
Ekvivalens P: Figuren är en kvadrat
P: Figuren har fyra rätvinkliga hörn
och lika långa sidor
P P
Negation P: Figuren är en kvadrat
P: Figuren är inte en kvadrat
Motsägelse P: Figuren har hörn
P: Figuren är en triangel
(P och P)
fullscreen
Uppgift

Masumi och Povilas ska ha ett bevis-battle, och Masumi har bestämt sig för att visa att är lika med Povilas blir inte särskilt imponerad och kontrar med att han kan visa att är ett jämnt tal om är ett jämnt tal. Här är deras bevis.

BevisSkillLogik.svg

Har de gjort rätt?

Visa Lösning
Lösning
Vi undersöker ett bevis i taget.

Exempel

Masumis bevis

Masumi påstår sig ha bevisat att Detta verkar inte särskilt troligt, så hon har nog gjort fel någonstans. Vi undersöker ett steg i taget. På första raden anger hon att och är alltså samma tal. På andra och tredje raden multiplicerar hon med respektive subtraherar med Detta går bra eftersom man alltid kan multiplicera och subtrahera båda led med vilket tal som helst utan att göra likheten ogiltig. Hon väljer sedan att utveckla vänsterledet med konjugatregeln samt bryta ut ur högerledet. Detta går också bra — det är ju bara omskrivningar.

Så här långt är alltså det matematiska resonemanget korrekt. Från rad till rad händer dock något ogiltigt: Masumi dividerar båda led med Detta kanske inte verkar konstigt vid första anblick men eftersom och är samma tal dividerar Masumi med när hon dividerar med Nolldivision är inte tillåtet så detta steg är inte giltigt!

Bevisfel.svg

Stegen som kommer efteråt är rätt men det spelar ingen roll: Om ett steg i beviset är fel är hela beviset fel. Vi kan alltså konstatera att Masumis bevis inte stämmer.

Exempel

Povilas bevis

Povilas verkar ha utgått från att jämna tal är delbara med och brukar skrivas på formen där är ett heltal. Han har dock inte definierat vad står för i sitt bevis, vilket han borde ha gjort. Stegen därefter är inga konstigheter: Båda led upphöjs till och högerledet utvecklas med potenslagarna. Han påstår sedan att Detta är sant om är ett heltal, eftersom produkten av flera heltal också är ett heltal. Han borde dock ha motiverat detta tydligare eftersom man inte bara kan gissa att det är på det sättet. Han skriver till sist om som vilket är klokt eftersom det då är lätt att se att högerledet är ett jämnt tal: Povilas bevis är alltså rätt om man antar att et i hans bevis är ett heltal. Vid bevisföring är det dock extremt viktigt att man anger vad olika okända faktiskt står för, annars är beviset oanvändbart. Povilas skulle kunna förbättra sitt bevis genom att utveckla det ungefär såhär.
Nyttbevis.svg

Begrepp

Bevismetoder

Många bevis går ut på att visa att ett påstående, P, leder till ett annat påstående, Q. Man kan t.ex. visa att för två heltal och Detta kan skrivas som implikationen P Q, som säger att om talen och är udda så är produkten udda. Det finns många olika bevismetoder och beroende på hur man har valt att formulera sitt problem kan en viss metod vara mer eller mindre lämplig.

Begrepp

Direkt och indirekt bevis

Det mest intuitiva är antagligen att följa implikationen och
utgå från att P är sant och visa att Q följer av det.

Detta kallas för ett direkt bevis. Ibland kan det dock vara enklare att gå åt det motsatta hållet och använda ett så kallat indirekt bevis. Då visar man istället implikationen alltså att

utgå från att Q inte är sant och visa att P då inte heller kan vara det.

För exemplet ovan visar man då att om produkten är jämn måste minst ett av talen och vara jämnt. Detta är ekvivalent med ett direkt bevis och visar alltså precis samma sak.

Begrepp

Motsägelsebevis

En tredje bevismetod är motsägelsebevis. Man antar då motsatsen till det man vill bevisa och visar att detta leder till en motsägelse. Om man t.ex. vill bevisa påståendet
R: Kvadraten av ett jämnt tal är delbar med
skulle man anta motsatsen
R: Kvadraten av ett jämnt tal är inte delbar med

Sedan visar man att detta leder till en motsägelse, t.ex. att eller att jämna tal både är och inte är delbara med Så länge resonemanget som leder fram till motsägelsen är korrekt kan man dra slutsatsen att R är falskt, vilket betyder att det ursprungliga påståendet R måste vara sant. För implikationer på formen kan motsatsen

skrivas som P och Q.
Då antar man alltså att både påståendet P och motsatsen till påståendet Q är sanna och undersöker sedan eventuella motsägelser som detta leder till. För påståendena P och Q ovan skulle man då anta att talen och är udda samt att produkten är jämn.
fullscreen
Uppgift

Tula säger att ett heltal är jämnt om dess kvadrat är jämn. Visa detta med ett indirekt bevis.

Visa Lösning
Lösning
Vi börjar med att formulera det Tula säger matematiskt och kallar heltalet för Tula säger då att om är jämnt så är är jämnt: Vi ska visa detta med ett indirekt bevis och negerar därför båda påståendena och byter plats på dem. Negationen till att är jämnt är att det är udda och negationen till att är jämnt är att det är udda. Detta betyder att vi ska visa att Detta påstående är helt ekvivalent med det som Tula säger. Eftersom jämna tal är delbara med kan de alltid skrivas på formen där är ett heltal. Efter varje jämnt tal kommer ett udda och det betyder att alla udda tal kan skrivas på formen Vi låter vara och kvadrerar det.
De två första termerna innehåller båda faktorn Vi bryter ut den.
Uttrycket är ett jämnt tal — det har vi redan konstaterat. är en produkt av heltal eftersom är ett heltal, och när man multiplicerar heltal får man ett heltal. är alltså en summa av heltal vilket betyder att det också är ett heltal. Vi kan kalla det Eftersom är ett heltal betyder det att är jämnt, enligt definitionen av jämna tal. Efter ett jämnt tal kommer alltid ett udda tal så är udda. Detta innebär alltså att är udda.
Q.E.D.

Exempel

Kommentar

I beviset antas att både summan av heltal och produkten av heltal är heltal. Detta är en egenskap hos heltalen som kallas slutenhet och som under vissa omständigheter anses vara ett axiom. Det brukar därför vara tillåtet att anta detta utan bevis.

Begrepp

Jämförelse av bevis

Till sist sammanfattas de olika bevistyperna och hur de tolkas för påståendena där och är heltal. Tabellen visar vilken strategi som används i respektive metod, samt hur de tillämpas.

Bevis Strategi Tillämpning
Direkt Anta att och är udda
och visa att är udda
Indirekt Anta att produkten är jämn
och visa att minst en av och
måste vara jämn
Motsägelse P och Q Anta att och är udda
samt att produkten är jämn
och visa att detta leder till en motsägelse