Matematisk argumentation

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser.
Begrepp

Axiom

Ett axiom är ett påstående som antas vara sant utan att bevisas. Matematiken bygger på bevisföring, men man kan bara bevisa något med hjälp av saker man redan vet. Därför måste beviskedjan börja någonstans, och axiomen utgör den här startpunkten. Några axiom som används i matematiken är:

  • Två punkter kan alltid förbindas med en rät linje.
  • Om a=ba=b är b=ab=a.
  • Talet efter ett naturligt tal är alltid ett naturligt tal.
Begrepp

Definition

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal vars definition är "ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt". Definitioner kan också vara specifika för en viss situation, t.ex. att längden på en sida i en viss triangel är xx.
Begrepp

Sats

En sats är ett påstående som kan bevisas. Ett exempel på en sats är den som beskriver sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel: a2+b2=c2, a^2 + b^2 = c^2,

dvs. Pythagoras sats. Det måste dock inte röra sig om ekvationer. Påståenden som "jämna tal är delbara med 2" är också satser så länge de kan bevisas.
Begrepp

Bevis

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

  • Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: "Det där leder till det här". Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
  • Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att "talet 12 är jämnt" visar man att "om ett tal är udda, så är det inte 12", vilket har samma innebörd.
Pythagoras sats är ett exempel på en sats som kan bevisas med hjälp av dessa metoder. Av tradition brukar ett bevis avslutas med en förkortning som talar om att beviset är slut. Ett vanligt exempel är Q.E.D. som kommer från latinets "Quod Erat Demonstrandum", vilket betyder ungefär "vilket skulle bevisas". Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta: .\square.
Uppgift
Visa att om en mindre cirkel skrivs in mellan mittpunkten och randen på en större cirkel så att den mindre cirkelns mittpunkt ligger på den större cirkelns diameter, så är den större cirkelns area alltid 44 gånger så stor som den lilla cirkelns area.
Lösning

Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som r.r. Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. 22 cm, för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien 2.2.

Skills forhallande 1.svg

Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir r2.\frac{r}{2}.

Skills forhallande 2.svg

Nu ska vi ställa upp uttryck för stora och lilla cirkelns areor. Det är praktiskt att definiera areorna som t.ex. AStorA_{\text{Stor}} och ALiten.A_{\text{Liten}}. Med formeln för cirkelns area får vi AStor=πr2. A_{\text{Stor}}=\pi r^2. För att uttrycka den lilla cirkelns area sätter vi in radien r2\frac{r}{2} i formeln och förenklar.

ALiten=π(r2)2A_{\text{Liten}}=\pi \cdot \left(\dfrac{r}{2}\right)^2
ALiten=πr24A_{\text{Liten}}=\pi \cdot \dfrac{r^2}{4}
ALiten=πr24A_{\text{Liten}}=\dfrac{\pi r^2}{4}

Nu beräknar vi hur många gånger större den stora cirkelns area är genom att använda andelsformeln.

Andel=AStorundefinedALiten\text{Andel}=\left.A_{\text{Stor}}\middle/A_{\text{Liten}}\right.
Andel=πr2undefinedπr24\text{Andel}=\left.{\color{#0000FF}{\pi r^2}}\middle/{\color{#009600}{\dfrac{\pi r^2}{4}}}\right.
Andel=πr24πr2\text{Andel}=\dfrac{\pi r^2 \cdot 4}{\pi r^2}
Andel=4\text{Andel}=4

Den stora cirkelns area är alltså 44 gånger så stor.

Q.E.D.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Implikation

En implikation är ett samband av typen "Om ..., så ...". T.ex. råder en implikation mellan påståendena A: "Figuren är en kvadrat" och B: "Figuren är en fyrhörning". Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.

Implikation wordlist.svg

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Implikation Wordlist 1.svg
Begrepp

Ekvivalens

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som 2+52+5 och 3+43+4, eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående A: "Triangeln är rätvinklig" är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående B: "Pythagoras sats gäller", eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Ekvivalens wordlist.svg

Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.

ABA \Leftrightarrow B

Uppgift

Avgör om det råder implikation (\Rightarrow eller \Leftarrow) eller ekvivalens (\Leftrightarrow) mellan följande par av påståenden.

A. Mariah r 17 r a¨a˚& B. Mariah r en tonring.a¨a˚C. Polygonens vinkelsumma r  a¨360&D. Polygonen r en fyrhrning.a¨o¨E. Det r natt a¨& F. Man kan se mnen.a˚\begin{aligned} &A. \text{ Mariah är 17 år } \& \ B. \text{ Mariah är en tonåring.} \\ \\ &C. \text{ Polygonens vinkelsumma är $360^\circ$ } \&\\ &D. \text{ Polygonen är en fyrhörning.} \\ \\ &E. \text{ Det är natt } \& \ F. \text{ Man kan se månen.} \\ \end{aligned}

Lösning

Vi undersöker paren av påståenden, ett i taget.

  • Om... Mariah är 1717 år så... är hon också en tonåring. Alltså gäller AB.A \Rightarrow B. Men om Mariah är tonåring måste hon inte vara just 17.17. Hon kanske är 1313 eller 1919 år. Implikationen gäller alltså bara åt höger.

AB A \Rightarrow B

  • Om vi stöter på en polygon med vinkelsumman 360360^\circ är det per definition en fyrhörning. Och om polygonen är en fyrhörning har den alltid vinkelsumman 360.360^\circ. Påståendena är likvärdiga dvs. ekvivalenta.

CD C \Leftrightarrow D

  • Bara för att det är natt är det inte säkert att månen syns. Det kan t.ex. vara molnigt. Om månen är synlig, är det då med säkerhet natt? Nej, för ibland syns månen även på dagen. Det råder ingen implikation.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}