Rita grafen för polynomet och se var den skär x-axeln.
B
Om a är ett nollställe för ett polynom, då är (x-a) en faktor av polynomet. Den faktoriserade formen av ett polynom är lika med produkten av alla dess faktorer. Multiplicera faktorerna med den ledande koefficienten av p(x).
C
Kan faktorn x^2+2 vara lika med 0? En grafritningsverktyg visar bara reella rötter.
A
x_1=-7 och x_2=10
B
p(x) = -(x^2+2)(x+7)(x-10)
C
Se lösningen.
Övning ger färdighet
Låt oss betrakta följande fjärdegradspolynom.
p(x) = - x^4+3x^3+68x^2+6x+140
Vi kan hitta rötterna till ekvationen p(x)=0 grafiskt genom att rita polynomet p(x) och se var det skär x-axeln. Vi kan rita det med hjälp av verktyg som GeoGebra. Oavsett vilket grafritningsverktyg vi använder får vi följande graf.
Vi kan se att grafen skär x-axeln vid x=-7 och x=10. Det betyder att två rötter till polynomet p(x) är x_1=-7 och x_2=10.
Denna gång måste vi skriva p(x) i faktoriserad form. Vi får veta att x^2+2 är en faktor av p(x). Från del A vet vi att -7 och 10 är nollställen för p(x). Det betyder att (x+7) och (x-10) också är faktorer av p(x). Därefter kan vi skriva p(x) som produkten av dessa tre faktorer.
p(x) = a(x^2+2)(x+7)(x-10)
Observera att p(x) är ett fjärdegradspolynom med endast tre faktorer. Dock är en av dem ett kvadratiskt polynom. Eftersom den ledande koefficienten för p(x) är -1, har vi a=-1 också. Den faktoriserade formen ser ut som följer.
p(x) = -(x^2+2)(x+7)(x-10)
Grafiskt kan vi bara bestämma reella nollställen, vilka är platserna där grafen skär x-axeln. För vilket reellt tal som helst är faktorn x^2+2 aldrig lika med 0. På grund av detta kan denna faktor inte bestämmas grafiskt.
