AObservera att år 2010 har det inte gått några år. Befolkningen år 2010 ges genom att utvärdera N(t) vid t=0.
BBefolkningen i staden på lång sikt ges av gränsvärdet för N(t) när t närmar sig oändligheten.
ACa 21 700
B32 500
Övning ger färdighet
Befolkningen i staden t år efter 2010 ges av följande funktion.
N(t) = 65 000/2+3^(-0,5t)
Vi blir ombedda att hitta befolkningen år 2010. Observera att vid det här året har det inte gått några år sedan 2010. Befolkningen år 2010 ges genom att utvärdera N(t) vid t=0. Låt oss göra det!
År 2010 var befolkningen i staden cirka 21 700 personer. Låt oss kontrollera vårt resultat med hjälp av GeoGebra. Vi kommer definiera funktionen i första raden och sedan utvärdera den vid t=0.
Vi kan hitta befolkningen i staden på lång sikt genom att studera gränsvärdet för N(t) när t närmar sig oändligheten.
lim _(t→ ∞) N(t) = lim _(t→ ∞) 65 000/2+3^(-0,5t)
Innan vi utvärderar gränsvärdet, låt oss skriva om exponenten så att exponenten blir positiv.
3^(-0,5t) = 1/3^(0,5t)
Observera att 3^(0,5t) växer utan gränser när t närmar sig oändligheten. Detta innebär att 13^(0,5t) går mot 0 . Låt oss utvärdera gränsvärdet.
lim _(t→ ∞) 65 000/2+3^(-0,5t) &= 65 000/2+ 0
&= 65 000/2
&= 32 500
På lång sikt tenderar befolkningen i staden till 32 500 personer. Vi kan bekräfta vårt resultat med hjälp av GeoGebra. Vi kommer att använda instruktionen Gränsvärde.
