Studera kontinuiteten vid x=2. Funktionen f är kontinuerlig vid 2 om gränsvärdet när x närmar sig 2 existerar och är lika med f(2). Hitta och jämna ut de laterala gränsvärdena för att hitta k.
B
Studera kontinuiteten vid x=4. Funktionen g är kontinuerlig vid 4 om gränsvärdet när x närmar sig 4 existerar och är lika med g(4). Hitta och jämna ut de laterala gränsvärdena för att hitta k.
A
k=5
B
k=15/4
Övning ger färdighet
Varje del av funktionen är en linjär polynom. Därefter är varje del kontinuerlig. Punkten där funktionen kan vara diskontinuerlig är där funktionsregeln ändras. Detta sker vid x=2.
f(x) =
x+1, forx< 2
- x+k, forx≥ 2
Funktionen f är kontinuerlig vid 2 om gränsvärdet när x närmar sig 2 existerar och är lika med f(2). Låt oss börja med att hitta gränsvärdet. Vi behöver studera de laterala gränsvärdena. När vi närmar oss 2 från vänster sida måste vi använda den första delen av f.
lim _(x→ 2^-) f(x) &= lim _(x→ 2^-) x+1
&= 2+1
&= 3
Nu ska vi hitta högergränsvärdet. Den här gången kommer vi att använda den andra delen av f.
lim _(x→ 2^+) f(x) &= lim _(x→ 2^+) - x+k
&= - 2+k
De laterala gränsvärdena måste vara lika om vi vill att gränsvärdet ska existera. Låt oss jämna ut dem för att hitta k.
Som vi kan se, om k=5, är funktionsvärdet vid x=2 3, samma som gränsvärdet. Därför är funktionen kontinuerlig om k=5.
Varje del av funktionen är kontinuerlig eftersom de är polynom. Punkten där funktionen kan vara diskontinuerlig är där funktionsregeln ändras, vilket sker vid x=4.
g(x) =
kx, forx≤ 4
x^2-1, forx> 4
Funktionen g är kontinuerlig vid 4 om gränsvärdet när x närmar sig 4 existerar och är lika med g(4). Vi kan hitta gränsvärdet genom att studera de laterala gränsvärdena. När vi närmar oss 4 från vänster sida måste vi använda den första delen av g.
lim _(x→ 4^-) g(x) &= lim _(x→ 4^-) kx
&= 4k
Låt oss hitta högergränsvärdet. Den här gången kommer vi att använda den andra delen av g.
lim _(x→ 4^+) g(x) &= lim _(x→ 4^+) x^2-1
&= 4^2-1
&= 15
Vi vill att gränsvärdet ska existera och därför måste de laterala gränsvärdena vara lika. Låt oss jämna ut dem för att hitta k.
